Euler-Lagrange-Gleichung und wie Du sie in 5 einfachen Schritten benutzt

Um diese Frage beantworten zu können, brauchen wir eine Größe, die Wirkung genannt wird und mit einem \(S\) abgekürzt wird. Wir können jedem der denkbaren Wege eine Wirkung zuordnen. Die Wirkung \(S\) nimmt eine ganze Funktion \(h\) im Argument und gibt eine Zahl \(S[h]\) aus, nämlich den Wert der Wirkung für die entsprechende Funktion.

Ein derartiges mathematisches Objekt, das eine Funktion \(h\) frisst und eine Zahl herausspuckt, wird Funktional genannt. Da das Funktional die Wirkung herausspuckt, nennt man \(S[h]\) als Wirkungsfunktional. Um das Wirkungsfunktional von üblichen Funktionen zu unterscheiden, die eine Zahl im Argument annehmen, benutzen wir eckige Klammern.

Die Wirkung hat die Einheit Joulesekunde (\(\mathrm{Js}\)). Zum Beispiel könnte ein Weg den Wert \( 3.5 \, \mathrm{Js}\) haben, ein anderer Weg den Wert \( 5.6 \, \mathrm{Js}\) und der Parabelweg \( 2 \, \mathrm{Js}\).

So jetzt nochmal zurück zu der Frage: Warum ausgerechnet eine Parabel? Die Erfahrung zeigt:

Das heißt, wenn wir für alle möglichen Wege \(h_1(t)\), \(h_2(t)\), \(h_3(t)\) und so weiter zwischen \(A\) und \(B\) die entsprechende Wirkung ausrechnen, dann nimmt die Natur den Wert, der entweder maximal, minimal oder ein Sattelpunkt ist. Für einen dieser Wege entscheidet sich die Natur. Welchen der extremalen Wege die Natur konkret nimmt, hängt von dem betrachteten Problem ab.

Im Fall eines im Gravitationsfeld nach oben geworfenen Teilchens hat der Weg die kleinste Wirkung. Da der parabelförmige Weg die kleinste Wirkung hat, entscheidet sich das Teilchen für diesen Weg im Ort-Zeit-Diagramm.

Doch wie berechnen wir konkret diese Werte der Wirkung? Dazu brauchen wir die Lagrange-Funktion \(L\). Sie hängt von der Zeit \(t\), von dem Funktionswert \(h(t)\) und von der Geschwindigkeit \( \dot{h}(t) \) ab. Die Lagrange-Funktion hat die Einheit der Energie, also Joule (\(\mathrm{J}\)).

Wenn wir die Lagrange-Funktion über die Zeit \(t\) zwischen \(t_1\) und \(t_2\) integrieren, bekommen wir eine Größe, die die Einheit Joulesekunde hat:

Das ist genau die Wirkung, die wir brauchen. Mit diesem Integral können wir konkret den Wert der Wirkung für jeden möglichen Weg \(h\) berechnen, wenn wir die Lagrange-Funktion konkret kennen.

Meistens verwendet man den Buchstaben \(q\) statt \(h\) und \( \dot{q} \) statt \( \dot{h} \) und nennt \(q\) generalisierte Koordinate und die Ableitung \( \dot{q} \) generalisierte Geschwindigkeit. Was mit „generalisiert“ gemeint ist, erfährst du in einer anderen Lektion. Für uns ist es erstmal nur wichtig zu wissen, dass \(q\) zum Beispiel eine Höhe über dem Erdboden sein kann oder zum Beispiel ein Winkel oder irgendeine andere Größe, die von der Zeit \(t\) abhängen kann.

Es ist natürlich total umständlich das Integral für alle möglichen Wege auszurechnen und den Weg zu nehmen, der den kleinsten Wert des Integrals ergibt. Um uns diese riesige Aufgabe zu ersparen, kommt die sogenannte Euler-Lagrange-Gleichung ins Spiel:

Die Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung basiert auf der Definition der Wirkung 2 und dem Prinzip der extremalen Wirkung. In dieser Lektion wollen wir nicht wissen, wie man auf die Euler-Lagrange-Gleichung kommt, sondern, wie man mit ihr konkret den gesuchten Weg \(q(t)\) bestimmt.

Die Euler-Lagrange-Gleichung enthält die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion \(L\) nach der genaralisierten Geschwindigkeit \(\dot{q}\): \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\). Diese Ableitung \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) wird auch als generalisierter Impuls bezeichnet und mit \(p\) abgekürzt. Der generalisierte Impuls wird anschließend nach der Zeit \(t\) abgeleitet:

Der zweite Term in der Euler-Lagrange-Gleichung ist die Ableitung der Lagrange-Funktion \(L\) nach der generalisierten Koordinate \(q\): \(\frac{\partial L}{\partial q}\).

Wenn wir die Euler-Lagrange-Gleichung nach der Zeitableitung des Impulses umformen, können wir daraus ablesen, ob der Impuls erhalten ist.

Dazu muss die Zeitableitung des Impulses Null sein. Wir müssen also nur ausrechnen, ob \(\frac{\partial L}{\partial q}\) Null ergibt.

Die Lagrange-Funktion \(L\) ist eine skalare Funktion, die für ein beliebiges Problem nicht hergeleitet werden kann, sondern kann nur erraten oder motiviert werden. Wenn du denkst, du hast eine passende Lagrange-Funktion für ein Problem entdeckt, sei es aus der Quantenmechanik, aus der klassischen Mechanik oder aus der Relativitätstheorie, dann kannst du mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichung leicht überprüfen, ob die gefundene Lagrange-Funktion dein Problem richtig beschreibt oder nicht.

In der klassischen Mechanik ist die Lagrange-Funktion die Differenz zwischen der kinetischen Energie \(W_{\text{kin}} \) und der potentiellen Energie \(W_{\text{pot}} \) eines Teilchens:

Wenn wir also die kinetische und die potentielle Energie eines Teilchens kennen, können wir daraus die Lagrange-Funktion bestimmen und diese dann in der Euler-Lagrange-Gleichung 3 nutzen.

Schauen wir anhand unseres Beispiels in der Einleitung an, nämlich wie wir die Parabel mithilfe der Lagrange-Funktion und der Euler-Lagrange-Gleichung berechnen können. Dazu musst du stets 5 folgende Schritte durchführen:

Wenn du das Ergebnis im Ort-Zeit-Diagramm plottest, bekommst du eine Parabel. Die Euler-Lagrange-Gleichung liefert also genau den Verlauf, den wir erwartet haben!