Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Euler-Lagrange-Gleichung in 13 Schritten

Im Folgenden wollen wir die Euler-Lagrange-Gleichung hergeleiten, mit der wir ein System von Differentialgleichungen für die gesuchte Funktion $q$ aufstellen können. Für die Herleitung nehmen wir an, dass die Lagrange-Funktion $ L(t, q(t), \dot{q}(t)) $ und die Randwerte $ q(t_1) ~=~ q_1 $ und $ q(t_2) ~=~ q_2 $ der gesuchten Funktion $q$ bekannt sind. Die Lagrange-Funktion kann von der Zeit $t$, von dem Funktionswert $q(t)$ und von der Zeitableitung $\dot{q}(t)$ der Funktion $q$ an der Stelle $t$ abhängen.

Die Funktion $q(t)$ macht das Funktional $S[q]$ zwischen zwei festen Punkten extremal (z.B. minimal).

Die Funktion $ q $ macht das folgende Wirkungsfunktional $ S[q] $ stationär. Das heißt, wenn wir $ q(t) $ benutzen, um die Wirkung $ S[q] $ zu berechnen, wird $ S[q] $ uns einen Wert der Wirkung liefern, der entweder minimal, maximal oder ein Sattelpunkt ist:

$$ \begin{align} S[q] ~=~ \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, L(t, q, \dot{q}) \end{align} $$

Jetzt wollen eine infinitesimal kleine Variation $ \delta q $ von $q$ betrachten. Dazu definieren wir die Variation als $ \delta q := \epsilon \, \eta $. Hierbei ist $\epsilon$ eine sehr kleine reelle Zahl und $\eta(t)$ eine beliebige Funktion. Sie muss zwischen $t_1$ und $t_2$ in jedem Punkt definiert und differenzierbar sein, damit Du - weiter in der Herleitung - nach $ \epsilon $ ohne Probleme ableiten darfst.

Eine kleine Variation ("Störung") $\epsilon \, \eta(t)$ des Wegs $q(t)$ zwischen zwei festen Punkten.

Die Funktion $\eta(t)$ muss an den Randpunkten $t_1$ und $t_2$ verschwinden, weil die Randpunkte fixiert sind:

$$ \begin{align} \eta(t_1) ~=~ \eta(t_2) ~=~ 0 \end{align} $$

Anders gesagt: $ \eta(t) $ muss an den Randpunkten $t_1$ und $t_2$ mit $ q(t) $ übereinstimmen, damit auch die Funktion $ q(t) ~+~ \epsilon \eta(t) $ durch die Randpunkte geht.

Die Variation des Wirkungsfunktionals 1 sieht folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} J[q ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, L(t, q ~+~ \epsilon \,\eta, ~ \dot{q} ~+~ \epsilon \, \dot{\eta} ) \end{align} $$

Hierbei haben wir in 1 einfach die Funktion $q$ mit $q~+~ \epsilon \, \eta $ und ihre Ableitung $\dot{q}$ mit $\dot{q}~+~ \epsilon \, \dot{\eta} $ ersetzt.

Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum (Minimum, Maximum oder Sattelpunkt des Wirkungsfunktionals), ist das Verschwinden der ersten Ableitung von $ S[q ~+~ \epsilon\,\eta] $ nach $ \epsilon$. (Diese Bedingung muss in jedem Fall erfüllt sein, damit das Funktional $ S[q] $ für $ q $ stationär wird):

$$ \begin{align} \frac{\partial J[q ~+~ \epsilon \eta] }{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~\stackrel{!}{=}~ 0 \end{align} $$

Der Grund, warum wir den infinitesimal kleinen Parameter $\epsilon$ eingeführt haben, ist, dass wir um diesen Punkt eine Taylor-Entwicklung machen können und alle Terme höherer Ordnung als zwei vernachlässigen können. (Wir müssen die Terme höherer Ordnung nicht vernachlässigen. Damit wird jedoch die Euler-Lagrange-Gleichung eine viel kompliziertere Form haben und gleichzeitig keinen größeren Nutzen haben.)

Entwickeln wir also die Lagrange-Funktion $ L(t, q ~+~ \epsilon \,\eta, ~ \dot{q} ~+~ \epsilon \, \dot{\eta} ) $ um die Stelle $\epsilon = 0$ bis zur 1. Ordnung im Funktional 3:

$$ \begin{align} S[q ~+~ \epsilon \, \eta] ~=~ \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, \left( L ~+~ \epsilon \, \frac{\text{d} L}{\text{d} \epsilon} ~+~ \mathcal{O}(\epsilon^2) \right) \end{align} $$

Hierbei haben wir $ L(t, q ~+~ \epsilon \,\eta, ~ \dot{q} ~+~ \epsilon \, \dot{\eta} )_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} $ für die kompakte Notation mit $L$ abgekürzt. Die vernachlässigten Terme höherer Ordnung werden durch das Symbol $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ repräsentiert.

Als nächstes müssen wir in Gl. 5 die totale Ableitung $ \frac{\text{d} L}{\text{d} \epsilon} $ berechnen. Dazu müssen wir jedes Argument in $ L(t, q ~+~ \epsilon \,\eta, ~ \dot{q} ~+~ \epsilon \, \dot{\eta} ) $ ableiten:

$$ \begin{align} \frac{\partial L}{\partial \epsilon} ~=~ \frac{\partial L}{\partial q}\, \frac{\text{d} (q~+~\epsilon \eta)}{\text{d} \epsilon} ~+~ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \, \frac{\text{d} (\dot{q}~+~\epsilon \dot{\eta})}{\text{d} \epsilon} ~+~ \frac{\partial L}{\partial t} \, \frac{\text{d} t}{\text{d} \epsilon} \end{align} $$

Dabei sind die Ableitungen $\frac{\text{d} (q~+~\epsilon \eta)}{\text{d} \epsilon} = \eta$ und $\frac{\text{d} (\dot{q}~+~\epsilon \dot{\eta})}{\text{d} \epsilon} = \dot{\eta}$ sowie $\frac{\text{d} t}{\text{d} \epsilon} = 0 $. Damit wird 6 zu:

$$ \begin{align} \frac{\partial L}{\partial \epsilon} ~=~ \frac{\partial L}{\partial q} \, \eta ~+~ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \, \dot{\eta} \end{align} $$

Setze die ausgerechnete totale Ableitung wieder in das Funktional 5 ein:

$$ \begin{align} S[q ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, \left( L ~+~ \epsilon \, \frac{\partial L}{\partial q} \, \eta ~+~ \epsilon \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \, \dot{\eta} \right) \end{align} $$

Nun benutzt Du die notwendige Bedingung 4 für die Stationarität. Dazu leiten wir das Funktional 8 nach $\epsilon$ ab und setzen sie gleich Null:

$$ \begin{align} \frac{\partial S[y ~+~ \epsilon \, \eta]}{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}}
&~=~ \frac{\partial}{\partial \epsilon} \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, \left( L ~+~ \epsilon \, \frac{\partial L}{\partial q} \, \eta ~+~ \epsilon \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \, \dot{\eta} \right) \\\\
&~=~ \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, \left( \frac{\partial L}{\partial \epsilon} ~+~ \frac{\partial \epsilon}{\partial \epsilon} \, \frac{\partial L}{\partial q} \, \eta ~+~ \frac{\partial \epsilon}{\partial \epsilon} \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \, \dot{\eta} \right) \\\\
&~=~ \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, \left( \frac{\partial L}{\partial q} \, \eta ~+~ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \, \dot{\eta} \right) \\\\ &~=~ 0 \end{align} $$

Hierbei wurde im zweiten Schritt die Ableitung $\frac{\partial}{\partial \epsilon}$ in das Integral hineingezogen. Die Ableitung $\frac{\partial L}{\partial \epsilon}$ fällt weg, da $L = L(t, q ~+~ \epsilon \,\eta, ~ \dot{q} ~+~ \epsilon \, \dot{\eta} )_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} $ unabhängig von $\epsilon$ ist (es wurde ja Null gesetzt). Außerdem ist $ \frac{\partial \epsilon}{\partial \epsilon} = 1 $. Denk dran, dass die übrig gebliebene Terme aus dem selben Grund wie $L$ nicht von $\epsilon$ abhängen.

Die Ableitung des Funktionals 9 wird genau dann Null, wenn der Integrand verschwindet. Blöderweise hängt dieser noch von $\eta$ und $\eta'$ ab. Diese können wir durch partielle Integration eliminieren. Dazu wenden wir partielle Integration auf den zweiten Summanden in 9 an:

$$ \begin{align} \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, \frac{\partial L}{\partial q} \, \eta ~+~ \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \, \eta \right]_{t_1}^{t_2} ~-~ \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \, \eta ~=~ 0 \end{align} $$

Auf diese Weise haben wir die Ableitung von $\eta$ auf $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ übertragen. Der Preis, den wir für diese Übertragung bezahlen müssen, ist ein zusätzlicher Term im Integranden (in der Mitte). Das Gute ist jedoch, dass wegen der Voraussetzung $ \eta(t_1) ~=~ \eta(t_2) ~=~ 0 $, dieser Term wegfällt:

$$ \begin{align} \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, \frac{\partial L}{\partial q} \, \eta ~-~ \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \, \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \, \eta ~=~ 0 \end{align} $$

Klammere das Integral und $ \eta $ aus:

$$ \begin{align} \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \left(\frac{\partial L}{\partial q}~-~ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right)\eta ~=~ 0 \end{align} $$

Da $ \eta $ beliebig sein darf (also auch ungleich Null), muss der Ausdruck in der Klammer verschwinden, damit das Integral für alle $\eta$ Null ist. Als Ergebnis bekommen wir:

$$ \begin{align} \frac{\partial L}{\partial q}~-~ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} ~=~ 0 \end{align} $$

Wenn die Euler-Lagrange-Gleichung 11 für die Funktion $ q $ erfüllt ist, dann wird das Funktional $ S[q] $ in 1 stationär.