Experiment: Mach-Zehnder-Interferometer

Aufweitungslinse vor dem Laser

Platziere direkt vor der Lichtquelle eine Aufweitungslinse.

Die beiden Lichtstrahlen sind kaum divergent. Sie müssen also mit einer Aufweitungslinse - hinter dem Laser - divergent gemacht werden, damit auf dem Schirm nicht ein Punkt, sondern ein ausgedehntes Muster erscheint. Das Kreismuster entsteht, weil die Aufweitungslinse rotationssymmetrisch ist. Ein von einer punktförmigen Lichtquelle (hier: Laser) ausgehender Strahl breitet sich, nach dem er die Aufweitungslinse durchlaufen ist, kegelförmig aus.

Sind die beiden Lichtwege nicht gleich lang, so haben die beiden Lichtwellen einen Gangunterschied, sobald sie im zweiten Strahlteiler zusammengeführt werden. Damit können die beiden Lichtkegel miteinander interferieren, was zu Interferenzringen auf dem Schirm führt. Dabei werden aufgrund der Geometrie des Aufbaus am zweiten Strahlteiler wieder genau die zwei Lichtstrahlen zusammengeführt, die am ersten Strahlteiler gemeinsam aufgespalten wurden, und die zwei interferieren dann.

1. Experiment: Komplementäre Interferenzmuster

Durch die Platzierung der Aufweitungslinse direkt vor dem Laser wurde eine Ringinterferenz erzeugt. An hellen Stellen interferieren die Strahlen konstruktiv, an den dunkeln Stellen destruktiv.

Drückst Du die Aufbauplatte mit der Hand, dann wechselt während des Drückens der zuvor hell gewesene Ring zu dunkel, dann wieder zu hell. Das Ganze passiert mehrmals, je nachdem, wie stark Du auf die Platte drückst. Der Grund für den wechselnden Hell-Dunkel-Verlauf ist die unterschiedliche Änderung der Weglängen, welche die beiden am ersten Strahlteiler aufgespalteten Teilstrahlen durchlaufen müssen. Durch das Drücken auf die Aufbauplatte wird die Weglänge eins Strahls so verändert, dass sie nicht mehr mit der Weglänge des anderen Strahls übereinstimmt.

Stellst Du zwei Schirme an den beiden Ausgängen auf, dann beobachtest Du, dass da wo bei einem Interferenzbild eine helle Stelle (ein Maximum) ist, ist beim anderen Ausgang eine dunkle Stelle (ein Minimum) zu sehen. Diese Eigenschaft nennt man Komplementarität.

Sie kommt durch die Beschaffenheit des Strahlteilers zustande: Er besteht aus einer Glasscheibe, auf die auf einer Seite eine dünne Metallschicht aufgedampft ist. Dabei ist das Glas optisch dichter als das Metall, welches wiederum optisch dichter als die Luft ist. Trifft nun ein Lichtstrahl von der einen Seite auf den Strahlteiler, so wird er direkt am Metall reflektiert. Durch Reflektion an einem optisch dichterem Medium erhält das Licht hier einen Phasensprung von \( \pi \). Trifft das Licht hingegen von der anderen Seite auf den Strahlteiler, so geht es zuerst durchs Glas und wird dann am Metall reflektiert. Da es hier am optisch dünneren Medium reflektiert wurde, bekommt es keinen Phasensprung.

Für Mach-Zehnder-Interferometer bedeutet das:
Haben die beiden Lichtstrahlen am einen Ausgang den Phasenunterschied \( \phi \), so haben sie am anderen Ausgang den Phasenunterschied \( \phi ~+~ \pi \), da der reflektierte Strahl im einen Fall einen Phasensprung erfährt und im anderen Fall nicht. Wenn nun am einen Ausgang ein Minimum vorliegt (also: \( \Delta \phi ~=~ (2n ~-~ 1)\pi \)), so liegt am anderen Ausgang ein Maximum vor (also \( \Delta \phi ~=~ 2n\pi \)).

2. Experiment: Messung der Wellenlänge

In diesem Versuchsteil wurde die Linse hinter den zweiten Strahlteiler gestellt, sodass dieser Ausgang des Mach-Zehnder-Interferometers quasi als Doppelspalt fungiert. An diesem Aufbau wurden dann einige Messungen durchgeführt, um schließlich die Wellenlänge des Lasers zu bestimmen.

Im Bild ist der Verlauf der Mittelpunktstrahlen der beiden Laserstrahlbündel für einen Abstand Strahlteiler-Linse \( b~=~ f \) eingezeichnet. In diesem kannst Du durch Anwendung des Strahlensatzes folgern: \( \alpha ~=~ \beta \). In unserem Aufbau war \( b ~\gt~ f \). Da jedoch der Abstand zum Schirm \( a' ~\gt\gt~ b \) ist, gilt immernoch in guter Näherung \( \alpha ~\approx~ \beta \). Aus dem Bild kannst Du ablesen, dass: 1 \[ \tan\left( \frac{\alpha}{2} \right) ~=~ \frac{g'/2}{a'} \] aber auch: 2 \[ \tan\left( \frac{\beta}{2} \right) ~=~ \frac{g/2}{f} \]

Für \( \alpha ~\approx~ \beta \) gilt also, wenn Du 1 und 2 gleichsetzt: 3 \[ g ~\approx~ \frac{g' ~*~ f}{a'} \]

Messung:

• Abstand zwischen dem 2. Strahlteiler und dem Schirm: \( a' ~=~ (137~\pm~ 1) \, \text{cm} \)
• Abstand zwischen dem 2. Strahlteiler und der Linse: \( b ~=~ (11~\pm~ 1) \, \text{cm} \)
• Brennweite (wurde mithilfe eines scharfen Bildes ermittelt): \( f ~=~ (6,9~\pm~ 0,5) \, \text{cm} \)

Aus den Messwerten ergibt sich der Abstand zwischen dem Schirm und den beiden Brennpunkten, was sozusagen einem Abstand Doppelspalt-Schirm entspricht (bezeichne es mal mit \( a \)): 4 \[ a ~=~ a' ~-~ b ~-~ f ~=~ (119,1 ~\pm~ 2,5) \, \text{cm} \]

Die Wellenlänge bestimmst Du mithilfe der folgenden Beziehung: \[ \lambda ~=~ \frac{f}{a \, a'} \, s ~=~ s \, x \]

Um mithilfe dieser Gleichung und der obigen Messwerte die Wellenlänge des Lasers zu bestimmen, muss noch die Unsicherheit von \( \Delta y \) berechnet werden: \[ u(\Delta y) ~=~ \frac{u(N \, \Delta y)}{N}\]

Jetzt nur noch \( \Delta y(g') \) fitten (wobei die \( g' \)-Achse reziprok skaliert wurde) [BILD FEHLT]

Die verwendete Funktion beschreibt die obigen Messwerte recht gut; der Fit liegt innerhalb der Fehlerbalken. Es ergab sich eine Steigung der Ausgleichsgeraden von \( s ~=~ (11,8 ~\pm~ 0,3) \,*\, 10^{-6} \, \text{m}^2 \). Somit lautet die Wellenlänge: \[ \lambda ~=~ \frac{f}{a \, a'} \, s ~=~ \frac{6,9 \,*\, 10^{-2} \, \text{m} ~*~ 11,8 \,*\, 10^{-6} \text{m}^2}{119,1 \,*\, 10^{-2} \, \text{m} ~*~ 137 \,*\, 10^{-2} \, \text{m}} ~=~ 499 \text{nm} \]