Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:
Was ist die Poisson-Gleichung?
Wichtige Formel
$$\nabla^2 \, \varphi ~=~ - \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Nabla-Operator
$$ \nabla $$ Einheit $$ \frac{1}{\mathrm m} $$
Nabla-Operator ist ein Differential-Operator, deren Komponenten, partielle Ableitungen nach den Ortskoordinaten sind.
Elektrisches Potential
$$ \varphi $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} $$
Elektrisches Potential, mit dessen Hilfe elektrisches Feld berechnet werden kann.
Raumladungsdichte
$$ \rho $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^3} $$
Die elektrische Ladungsdichte gibt an, wie dich elektrische Ladungen beieinander liegen. Sie gibt die Ladung pro Volumen an.
Elektrische Feldkonstante
$$ \varepsilon_0 $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} $$Die elektrische Feldkonstante ist eine Naturkonstante, die in Gleichungen auftritt, die mit elektromagnetischen Feldern zu tun haben. Sie hat den folgenden experimentell bestimmten Wert:
$$ \varepsilon_0 ~\approx~ 8.854 \, 187 \, 8128 ~\cdot~ 10^{-12} \, \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} $$
Die Poisson-Gleichung sieht folgendermaßen aus: $$ \nabla^2 \, \varphi ~=~ - \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
Die Poisson-Gleichung ist eine Differentialgleichung, die das elektrostatische Potential \(\varphi\) mit der Ladungsdichte \(\rho\) verknüpft. Bei bekannter Ladungsdichte \(\rho\) kann durch die Integration der Poisson-Gleichung das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) mithilfe von \( \boldsymbol{E} = - \nabla \, \varphi \) bestimmt werden. Die Randbedingungen des jeweiligen Problems legen die Integrationskonstanten fest.
Oder: Bei bekanntem Potential \(\varphi\) wird die Ladungsdichte durch die zweimalige Differentiation berechnet.