Lorentz-Transformation: Drehung & Lorentz-Boost

Eine Drehung in der Raumzeit bedeutet, dass nur der Ortsvektor \(\boldsymbol{r} = (x,y,z)\) im dreidimensionalen Raum gedreht wird, ohne die Zeit \(t\) bei der Transformation zu verändern. Diese Art der Lorentz-Transformation ist auf Inertialsysteme anwendbar, die relativ zueinander in Ruhe sind, das heißt ihre Relativgeschwindigkeit ist Null.

Die Lorentz-Transformation (Matrix \(\Lambda \)) ist von der Form:

Hierbei ist \(\mathcal{R}_{\varphi}\) die Rotationsmatrix, die die Ortskoordinate \(\boldsymbol{r}\) um den Winkel \(\varphi\) dreht.

Lorentz-Boost ist eine Lorentz-Transformation, die die Raumzeitkoordinaten eines Systems transformiert, ohne eine Drehung auszuführen.

Schauen wir uns einen Lorentz-Boost in \(x\)-Richtung an. Dazu nehmen wir zwei Inertialsysteme \(S\) und \(S'\), deren Achsen parallel zueinander liegen (das heißt: die Koordinatensysteme sind nicht gedreht relativ zueinander). \(x\) und \(x'\)-Achsen sind parallel, \(y\) und \(y'\)-Achsen sind parallel, genauso wie \(z\) und \(z'\)-Achsen.

Das Inertialsystem \(S'\) bewegt sich mit einer konstanten Relativgeschwindigkeit \(\boldsymbol{v} = v_{\text x} \, \hat{\boldsymbol{e}}_{\text x} \) in \(x\)-Richtung am Inertialsystem \(S\) vorbei und zwar so, dass zum Zeitpunkt \(t = t' = 0\) die beiden Koordinatensysteme übereinanderliegen.

Da sich \(S'\) nur in \(x\)-Richtung bewegt, bleiben alle die zur Bewegungsrichtung senkrechten Abstände \(\text{d}y = \text{d}y'\) und \(\text{d}z = \text{d}z'\) unverändert. Das heißt: In beiden Inertialsystemen ist der \(y\)- und \(z\)-Abstand zweier Punkte gleich. Foglich sind \(\text{d}y'\) und \(\text{d}z'\) unabhängig vom zeitlichen Abstand \(\text{d}t\) und Abstand \(\text{d}x\):

Die Gleichungen 5 und 6 können wir in die Matrixschreibweise übersetzen:

Die Zeitkomponente \(c\,\text{d}t'\) und die Ortskomponente \(\text{d}x'\) haben auch keine Abhängigkeit von den Abständen \(\text{d}y\) und \(\text{d}z\) senkrecht zur Bewegungsrichtung. Sie können aber voneinander abhängen:

Damit vervollständigen wir unsere Lorentz-Matrix in Gl. 7:

Die Koeffizienten \(A\), \(B\), \(D\) und \(E\), die uns verraten wie sich die Zeit- und Ortskoordinaten transformieren, müssen noch herausgefunden werden. Dazu nutzen wir die Invarianz des Linienelements 2 aus. Das Linienelement \(\text{d}s'^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t'^2 + \text{d}x'^2 +\text{d}y'^2 + \text{d}z'^2\) im Inertialsystem \(S'\), ausgedrückt mit Abständen des Systems \(S\), sieht folgendermaßen aus:

Stellen wir Gl. 11 in eine passendere Form um:

Gleichung 12 muss nach der Invarianz des Linienelements, gleich dem Linienelement \(\text{d}s^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t^2 + \text{d}x^2 +\text{d}y^2 + \text{d}z^2\) sein. Gleichsetzen und Vergleichen ihrer Koeffizienten ergibt folgendes lineares Gleichungssystem mit vier Unbekannten:

Durch das Lösen dieses Gleichungssystems findest du heraus, dass \(D = B \) und \(E = A\) ist. Aus der ersten Gleichung des LGS folgt:

Setzen wir \(A := \gamma \) (übliche Notation) und drücken \(B\) mit \(\gamma \) aus: \(B := -\beta \, \gamma \):

Hierbei ist \(\beta\) eine noch zu bestimmende Konstante. Umstellen nach \(\gamma\) ergibt:

Die Konstante \(\beta\) darf natürlich nicht beliebig sein, denn physikalisch gesehen muss es dimensionslos sein, damit die Einheit stimmt. Außerdem muss für den nicht-relativistischen Fall (d.h. \(v \ll c\)) die Konstante \(\beta \) gegen Null gehen. Beide Bedingungen sind durch \( \beta = \frac{v}{c}\) erfüllt:

Die Matrix in Gl. 10 für den Lorentz-Boost in \(x\)-Richtung ist damit gegeben durch:

Lorentz-Boosts in \(y\)- und \(z\)-Richtung lassen sich analog herleiten.