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Lorentz-Transformation: Drehung & Lorentz-Boost

Inhaltsverzeichnis

Lorentz-Transformation als Drehung Diese Transformation dreht ein Koordinatensystem im Raum.
Lorentz-Transformation als Lorentz-Boost Diese (spezielle) Lorentz-Transformation transformiert die Zeit- und Ortskoordinate eines Inertialsystems, dass sich in eine bestimmte Richtung bewegt.

Lorentz-Transformation als Drehung

Eine Drehung in der Raumzeit bedeutet, dass nur der Ortsvektor $\boldsymbol{r} = (x,y,z)$ im dreidimensionalen Raum gedreht wird, ohne die Zeit $t$ bei der Transformation zu verändern. Diese Art der Lorentz-Transformation ist auf Inertialsysteme anwendbar, die relativ zueinander in Ruhe sind, das heißt ihre Relativgeschwindigkeit ist Null.

Die Lorentz-Transformation (Matrix $\Lambda $) ist von der Form:

$$ \begin{align} \Lambda ~=~ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \mathcal{R}_{\varphi} \end{bmatrix} \end{align} $$

Hierbei ist $\mathcal{R}_{\varphi}$ die Rotationsmatrix, die die Ortskoordinate $\boldsymbol{r}$ um den Winkel $\varphi$ dreht.

Beispiel: Drehung in der dreidimensionalen Raumzeit

So sieht eine zweidimensionale Rotationsmatrix $\mathcal{R}_{\varphi}$ aus:

$$ \begin{align} \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix}\cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \end{align} $$

Die Lorentz-Matrix ist damit eine 3x3-Matrix und sieht folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \end{align} $$

Beispiel: Drehung in der vierdimensionalen Raumzeit

So sieht eine dreidimensionale Rotationsmatrix $\mathcal{R}_{\varphi}$ aus, die den Ortsvektor $\boldsymbol{r}$ um die $x$-Achse dreht:

$$ \begin{align} \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \end{align} $$

Die Lorentz-Matrix ist damit eine 4x4-Matrix und beschreibt eine Drehung in der vierdimensionalen Raumzeit:

$$ \begin{align} \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \end{align} $$

Lorentz-Transformation als Lorentz-Boost

Lorentz-Boost ist eine Lorentz-Transformation, die die Raumzeitkoordinaten eines Systems transformiert, ohne eine Drehung auszuführen.

Schauen wir uns einen Lorentz-Boost in $x$-Richtung an. Dazu nehmen wir zwei Inertialsysteme $S$ und $S'$, deren Achsen parallel zueinander liegen (das heißt: die Koordinatensysteme sind nicht gedreht relativ zueinander). $x$ und $x'$-Achsen sind parallel, $y$ und $y'$-Achsen sind parallel, genauso wie $z$ und $z'$-Achsen.

Das Inertialsystem $S'$ bewegt sich mit einer konstanten Relativgeschwindigkeit $\boldsymbol{v} = v_{\text x} \, \hat{\boldsymbol{e}}_{\text x} $ in $x$-Richtung am Inertialsystem $S$ vorbei und zwar so, dass zum Zeitpunkt $t = t' = 0$ die beiden Koordinatensysteme übereinanderliegen.

Aus der Sicht des $S$-Systems bewegt sich $S'$-System mit einer konstanten Geschwindigkeit in die positive $x$-Richtung.

Da sich $S'$ nur in $x$-Richtung bewegt, bleiben alle die zur Bewegungsrichtung senkrechten Abstände $\text{d}y = \text{d}y'$ und $\text{d}z = \text{d}z'$ unverändert. Das heißt: In beiden Inertialsystemen ist der $y$- und $z$-Abstand zweier Punkte gleich. Foglich sind $\text{d}y'$ und $\text{d}z'$ unabhängig vom zeitlichen Abstand $\text{d}t$ und Abstand $\text{d}x$:

$$ \begin{align} \text{d}y' ~=~ 0\,(c\,\text{d}t) ~+~ 0\,\text{d}x ~+~ 1\, \text{d}y ~+~ 0 \, \text{d}z \end{align} $$

$$ \begin{align} \text{d}z' ~=~ 0\,(c\,\text{d}t) ~+~ 0\,\text{d}x ~+~ 0\, \text{d}y ~+~ 1\, \text{d}z \end{align} $$

Die Gleichungen 5 und 6 können wir in die Matrixschreibweise übersetzen:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}c\,\text{d}t' \\ \text{d}x' \\ \text{d}y' \\ \text{d}z' \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} \star & \star & \star & \star \\ \star & \star & \star & \star \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c\,\text{d}t \\ \text{d}x \\ \text{d}y \\ \text{d}z \end{bmatrix} \end{align} $$

Die Zeitkomponente $c\,\text{d}t'$ und die Ortskomponente $\text{d}x'$ haben auch keine Abhängigkeit von den Abständen $\text{d}y$ und $\text{d}z$ senkrecht zur Bewegungsrichtung. Sie können aber voneinander abhängen:

$$ \begin{align} c\, \text{d}t' ~=~ A\,(c\,\text{d}t) ~+~ B\,\text{d}x ~+~ 0\, \text{d}y ~+~ 0 \, \text{d}z \end{align} $$

$$ \begin{align} \text{d}x' ~=~ D\,(c\,\text{d}t) ~+~ E\,\text{d}x ~+~ 0\, \text{d}y ~+~ 0\, \text{d}z \end{align} $$

Damit vervollständigen wir unsere Lorentz-Matrix in Gl. 7:

$$ \begin{align} \begin{bmatrix}c\,\text{d}t' \\ \text{d}x' \\ \text{d}y' \\ \text{d}z' \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} A & B & 0 & 0 \\ D & E & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c\,\text{d}t \\ \text{d}x \\ \text{d}y \\ \text{d}z \end{bmatrix} \end{align} $$

Die Koeffizienten $A$, $B$, $D$ und $E$, die uns verraten wie sich die Zeit- und Ortskoordinaten transformieren, müssen noch herausgefunden werden. Dazu nutzen wir die Invarianz des Linienelements 2 aus. Das Linienelement $\text{d}s'^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t'^2 + \text{d}x'^2 +\text{d}y'^2 + \text{d}z'^2$ im Inertialsystem $S'$, ausgedrückt mit Abständen des Systems $S$, sieht folgendermaßen aus:

$$ \begin{align} \text{d}s'^2 ~=~ -(A\,c\,\text{d}t + B\text{d}x)^2 + (D\,c\,\text{d}t + E\, \text{d}x)^2 + \text{d}y^2 + \text{d}z^2 \end{align} $$

Stellen wir Gl. 11 in eine passendere Form um:

$$ \begin{align} \text{d}s'^2 ~=~ -(A^2 - D^2) \, c^2 \, \text{d}t^2 ~+~ (E^2 - B^2) \, \text{d}x^2 ~+~ (2DE - 2AB)\,c\,\text{d}t\,\text{d}x ~+~ \text{d}y^2 ~+~ \text{d}z^2 \end{align} $$

Gleichung 12 muss nach der Invarianz des Linienelements, gleich dem Linienelement $\text{d}s^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t^2 + \text{d}x^2 +\text{d}y^2 + \text{d}z^2$ sein. Gleichsetzen und Vergleichen ihrer Koeffizienten ergibt folgendes lineares Gleichungssystem mit vier Unbekannten:

$$ \begin{align} -(A^2 ~-~ D^2) ~&=~ -1 \\\\
E^2 ~-~ B^2 ~&=~ 1 \\\\
2DE ~-~ 2AB ~&=~ 0 \end{align} $$

Durch das Lösen dieses Gleichungssystems findest du heraus, dass $D = B $ und $E = A$ ist. Aus der ersten Gleichung des LGS folgt:

$$ \begin{align} A ~=~ \sqrt{1 + B^2} \end{align} $$

Setzen wir $A := \gamma $ (übliche Notation) und drücken $B$ mit $\gamma $ aus: $B := -\beta \, \gamma $:

$$ \begin{align} \gamma ~=~ \sqrt{1 + \beta^2\,\gamma^2} \end{align} $$

Hierbei ist $\beta$ eine noch zu bestimmende Konstante. Umstellen nach $\gamma$ ergibt:

$$ \begin{align} \gamma ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta^2} } \end{align} $$

Die Konstante $\beta$ darf natürlich nicht beliebig sein, denn physikalisch gesehen muss es dimensionslos sein, damit die Einheit stimmt. Außerdem muss für den nicht-relativistischen Fall (d.h. $v \ll c$) die Konstante $\beta $ gegen Null gehen. Beide Bedingungen sind durch $ \beta = \frac{v}{c}$ erfüllt:

Lorentz-Faktor explodiert, wenn die Relativgeschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht.

$$ \begin{align} \gamma ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} } \end{align} $$

Die Matrix in Gl. 10 für den Lorentz-Boost in $x$-Richtung ist damit gegeben durch:

$$ \begin{align} \Lambda_{\text x} ~=~ \begin{bmatrix} \gamma & -\beta\,\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\,\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align} $$

Lorentz-Boosts in $y$- und $z$-Richtung lassen sich analog herleiten.

Die Lorentz-Drehungen und Lorentz-Boosts können natürlich kombiniert werden, indem die entsprechenden Matrizen auf die Raumzeitkoordinaten (dargestellt als Vierervektor) eines Systems hintereinander angewendet werden.

Was bedeutet Lorentz-Invarianz?

Eine physikalische, skalare oder vektorielle Größe ist genau dann lorentzinvariant, wenn sie sich unter der Lorentztransformation $ \Lambda $ nicht ändert. Das bedeutet konkret: Die physikalische Größe hat immer den gleichen Wert - unabhängig davon, aus welchem Inertialsystem heraus sie beschrieben wird.

Beispiele für lorentzinvariante Größen: Lichtgeschwindigkeit, Ladung und Ruhemasse.