Elektromagnetischer Schwingkreis (LC-Reihenschaltung)
Ein elektromagnetischer Schwingkreis ist eine elektrische Schaltung, die aus einer Induktivität \(L\) und einem Kondensator mit der Kapazität \(C\) besteht, die miteinander in Reihe verbunden sind. Es ist also ein LC-Schaltkreis.
Ladevorgang: Wenn wir den Kondensator aufladen, so baut sich darin ein elektrisches Feld auf, das eine elektrische Energie \( W_{\text e} \) trägt.
Entladevorgang: Da es ein geschlossener Schaltkreis ist, fließen Ladungen von der einen Platte zur andere durch die Spule hindurch. Es fließt also ein Storm durch die Spule, der mit der Zeit abnimmt, weil der Kondensator sich eben mit der Zeit entlädt. Ein durch die Spule fließender Strom erzeugt ein Magnetfeld, das eine magnetische Energie \( W_{\text m} \) trägt.
Während sich das Magnetfeld an der Spule aufbaut (magnetische Energie \( W_{\text m} \) nimmt zu), entlädt sich der Kondensator, das heißt die Spannung fällt ab und das elektrische Feld wird schwächer (elektrische Energie \( W_{\text e} \) nimmt ab). Die
Nach der Lenz-Regel wird ein entgegengesetzter Induktionsstrom erzeugt (Selbstinduktion der Spule), der den anderen Strom zu hemmen versucht.
Sobald der Kondensator vollständig entladen ist, ist die elektrische Energie \( W_{\text e} = 0\), während die magnetische Energie \( W_{\text m} \) maximal ist.
Der entgegengesetzt fließende Induktionsstrom lädt wieder den Kondensator auf. Die elektrische Energie nimmt also zu und die magnetische Energie nimmt ab. Das passiert solange, bis die elektrische Energie \( W_{\text e}\) maximal ist und die magnetische Energie \( W_{\text m} = 0\).
Bei so einem ungedämpften LC-Schwingkreis geschieht diese Entladung und Aufladung des Kondensators unendlich lange. Wir haben hier also eine stetige Umwandlung der elektrischen Energie in magnetische Energie und andersherum. Diese Energieumwandlung bezeichnen wir als eine elektromagnetische Schwingung.
Die Dauer \(T\) (Periodendauer) einer Schwingung, ist die Zeitspanne zwischen dem Zeitpunkt, bei dem \( W_{\text e} \) maximal ist und dem nächsten Zeitpunkt, wo \( W_{\text e} \) wieder maximal ist: $$T~=~ 2\pi \sqrt{LC}$$
Die Periodendauer lässt sich auch mit der Schwingkreisfrequenz \(f\) ausdrücken: $$f ~=~ \frac{1}{T} ~=~ \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} $$
Um auf die Formel für die Periodendauer \(T\) bzw. Schwingungsfrequenz \(f\) zu kommen, muss die folgende homogene Differentialgleichung 2. Ordnung für Ladung \( Q \) gelöst werden: $$ \ddot{Q}(t) ~+~ \frac{1}{LC} \, Q(t) ~=~ 0 $$
Hierbei ist \( Q \) die Ladung auf der einen Platte des Kondensators während des Schwingvorgangs.
Die Lösung der Differentialgleichung ist: $$ Q(t) ~=~ C\,U_0 \cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\,t\right) $$ Hierbei ist \(U_0\) die Spannung, mit der der Kondensator aufgeladen wurde.
Die Ladung \(Q(t)\) schwingt periodisch wie ein harmonischer Oszillator. Das gilt auch für die Spannung am Kondensator und für den Strom: $$ U(t) ~=~ U_0 \cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\,t\right) $$ $$ I(t) ~=~ -\frac{C}{L} \, U_0 \, \sin\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\,t\right) $$
Daraus lässt sich auch das zeitliche Verhalten der elektrischen und magnetischen Energie herleiten: $$ W_{\text e}(t) ~=~ \frac{1}{2}\,C\,{U_0}^2 \, \cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\,t\right) $$ $$ W_{\text m}(t) ~=~ \frac{1}{2}\,C\,{U_0}^2 \, \sin\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\,t\right) $$
Wie du an den Formeln für elektrische und magnetische Energie siehst, sind die beiden Energiemaxima zeitlich verschoben.
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe: Induktivität und Spulenquerschnitt eines LC-Schwingkreises
Du möchtest einen idealen LC-Schwingkreis mit einer Schwingungsdauer von \( 0.2 \, \mathrm{ms} \) erzeugen. Dazu hast du einen Kondensator der Kapazität \( C = 200 \, \mathrm{nF} \) zur Verfügung, den du auf \( 100 \, \mathrm{V} \) aufladen willst, bevor du den mit der Spule zu einem LC-Schwingkreis verbindest. Eine zylinderförmige Spule sollte außerdem die Länge \( l = 8 \, \mathrm{cm} \) und \( N = 1500 \) Windungen haben.
- Wie groß muss die Induktivität \( L \) der Spule sein, damit du unter diesen Gegebenheiten die gewünschte Schwingungsdauer erreichst?
- Wie groß muss dafür der Radius \( r \) der Spule sein?
Lösung zur Aufgabe #1
Ein LC-Schwingkreis schwingt mit einer Resonanzfrequenz \( f_{\mathrm r} \), die durch die Induktivität \( L \) und die Kapazität \(C\) des Schwingkreises folgendermaßen bestimmt ist: 1 $$ f_{\text r} ~=~ \frac{1}{2\pi \sqrt{L \, C}} $$
Hier hast du zwei Unbekannten, die gesuchte Induktivität \( L \) und die Resonanzfrequenz \( f_{\text r} \). Die Resonanzfrequenz ist jedoch indirekt gegeben durch die Periodendauer \( T_{\mathrm r} = 0.2 \, \mathrm{ms} \). Du kannst die Frequenz aus der Periodendauer bestimmen, indem du den Kehrwert der Periodendauer bildest: 2 $$ f_{\text r} ~=~ \frac{1}{ T_{\mathrm r} } $$
Wenn du 2
in 1
einsetzt, eliminierst du damit die unbekannte Resonanzfrequenz:
3
$$ \frac{1}{ T_{\mathrm r} } ~=~ \frac{1}{2\pi \sqrt{L \, C}} $$
Jetzt musst du nur noch nach der gesuchten Induktivität \( L \) umstellen: 4 $$ L ~=~ \frac{1}{C} \, \left( \frac{ T_{\mathrm r} }{2\pi} \right)^2 $$
Setze nur noch konkrete Werte ein, um die Induktivität zu berechnen: 5 \begin{align} L &~=~ \frac{1}{ 200 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{F} } \, \left( \frac{ 0.2 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{s} }{2\pi} \right)^2 \\\\ &~=~ 5.07 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{H} \\\\ &~=~ 5.07 \, \mathrm{mH} \end{align}
Die Spule muss also eine Induktivität von \( 5.07 \, \mathrm{mH} \) haben, damit der Strom bzw. die Spannung eine Schwingungsdauer von \( 0.2 \, \mathrm{ms} \) haben.
Lösung zur Aufgabe #2
Um den Radius \(r\) einer zylinderförmigen Spule zu berechnen, brauchen wir den Zusammenhang zwischen der Spulengeometrie und der eben herausgefundenen Induktivität \( L \): 6 $$ L ~=~ \mu_0 \, \mu_{\text r} \, \frac{ A \, N^2 }{ l } $$
In unserem Fall ist die relative Permeabilität \( \mu_{\text r} = 1 \), da im Spuleninneren nur Luft ist. Der zylinderförmige Spulenquerschnitt \( A \) ist in diesem Fall die Fläche eines Kreises, also \( A = \pi \, r^2 \). Setze sie in 6
ein:
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$$ L ~=~ \mu_0 \, \frac{ \pi \, r^2 \, N^2 }{ l } $$
Jetzt musst du nur noch nach dem gesuchten Radius \( r \) umstellen: 8 $$ r ~=~ \sqrt{ \frac{ L \, l }{ \mu_0 \, \pi \, N^2 } } $$
Einsetzen der konkreten Werte ergibt: 9 \begin{align} r &~=~ \sqrt{ \frac{ 5.07 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{H} ~\cdot~ 0.08 \, \mathrm{m} }{ 4\pi \cdot 10^{-7} \, \frac{ \text{N} }{ \text{A}^2 } ~\cdot~ \pi ~\cdot~ 1500^2 } } \\\\ &~=~ 6.76 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{m} \\\\ &~=~ 6.76 \, \mathrm{mm} \end{align}