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Homogene DGL 1. Ordnung und wie du sie mit der Trennung der Variablen (TdV) löst

Inhaltsverzeichnis

Trennung der Variablen ist geeignet für gewöhnliche DGL 1. Ordnung, die homogen sind.

Die Methode der Trennung der Variablen (TdV) ist geignet für:

gewöhnliche DGL 1. Ordnung,
die linear
und homogen sind.

Denk dran, dass, wenn eine DGL homogen ist, ist sie auch linear. Dieser Typ der DGL hat die Form:

$$ \begin{align} y' ~+~ K(x)\,y ~=~ 0 \end{align} $$

Hierbei muss der Koeffizient $K$ nicht unbedingt konstant sein, sondern kann auch von $x$ abhängen! Beachte außerdem, dass vor der ersten Ableitung $y'$ der Koeffizient gleich 1 sein muss. Wenn das bei dir nicht der Fall ist, dann musst einfach die ganze Gleichung durch den Koeffizienten teilen, der vor $y'$ steht. Dann hast du die passende Form.

Bei dieser Lösungsmethode werden $y$ und $x$ als zwei Variablen aufgefasst und voneinander getrennt, indem $y$ auf die eine Seite und $x$ auf die andere Seite der Gleichung gebracht wird. Hierzu eignet sich die Leibniz-Notation der DGL am besten:

$$ \begin{align} \frac{\text{d}y}{\text{d}x} ~+~ K(x)\,y ~=~ 0 \end{align} $$

Bringe $K(x)\,y$ auf die rechte Seite:

$$ \begin{align} \frac{\text{d}y}{\text{d}x} ~=~ -K(x)\,y \end{align} $$

Multipliziere die Gleichung mit $ \text{d}x $ und dann teile die Gleichung durch $y$. Auf diese Weise hast du auf der linken Seite nur $y$-Abhängigkeit stehen und auf der rechten Seiten nur die $x$-Abhängigkeit:

$$ \begin{align} \frac{1}{y} \, \text{d}y ~=~ -K(x) \, \text{d}x \end{align} $$

Jetzt kannst du auf der linken Seite über $y$ integrieren und auf der rechten Seite über $x$:

$$ \begin{align} \int \frac{1}{y} \, \text{d}y ~=~ -\int K(x) \, \text{d}x \end{align} $$

Die Integration von $ 1 / y $ ergibt den natürlichen Logarithmus von $y$. Das musst du am besten auswendig wissen, weil du so einem Integral oft begegnen wirst. Vergiss auch nicht die Integrationskonstante! Nennen wir sie zum Beispiel $A$:

$$ \begin{align} \ln(y) ~+~ A ~=~ -\int K(x) \, \text{d}x \end{align} $$

Jetzt musst du nur noch nach der gesuchten Funktion $y$ umstellen. Benutze dazu auf beiden Seiten die Exponentialfunktion $\mathrm{e}^{...}$:

$$ \begin{align} \mathrm{e}^{\ln(y) ~+~ A} ~=~ \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \end{align} $$

Die Summe im Exponentialterm auf der linken Seite kannst du in ein Produkt aufspalten, wobei $\mathrm{e}^{\ln(y)}$ einfach $y$ ist:

$$ \begin{align} y \, \mathrm{e}^{A} ~=~ \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \end{align} $$

Bringe nur noch die Konstante $\mathrm{e}^{A}$ auf die rechte Seite:

$$ \begin{align} y ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{A}} \, \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \end{align} $$

Benenne $ \frac{1}{\mathrm{e}^{A}} $ in eine neue Konstante $C$ um. Als Ergebnis bekommst du eine allgemeine Lösungsformel, die du immer benutzen kannst, um homogene lineare Differentialgleichungen zu lösen. Du musst nicht unbedingt die Trennung der Variablen immer wieder anwenden, sondern kannst direkt die Lösungsformel benutzen:

$$ \begin{align} y ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \end{align} $$

Beispiel: Zerfallsgesetz-DGL mit der TdV-Methode lösen

Schauen wir uns die DGL für das Zerfallsgesetz an:

$$ \begin{align} \frac{\text{d}N}{\text{d}t} ~+~ \lambda \, N ~=~ 0 \end{align} $$

Die gesuchte Funktion $y$ ist in diesem Fall die Anzahl noch nicht zerfallener Atomkerne $N$ und die Variable $x$ ist in diesem Fall die Zeit $t$. Und der Koeffizient $K$ ist in diesem Fall eine Zerfallskonstante $\lambda$. Es sind lediglich nur andere Buchstaben. Der Typ der DGL ist derselbe! Nach der Lösungsformel musst du den Koeffizienten, also die Zerfallskonstante über $t$ integrieren. Eine Konstante zu integrieren ergibt einfach nur $t$. Und schon hast du die allgemeine Lösung für das Zerfallsgesetz:

$$ \begin{align} N ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\lambda \, t} \end{align} $$

Exponentieller Abfall der Anzahl der Atomkerne beim Zerfallsgesetz.

Damit kennst du jetzt nur das qualitative Verhalten, nämlich, dass Atomkerne exponentiell Zerfallen. Du kannst aber noch nicht konkret sagen, wie viele Kerne nach so und so viel Zeit schon zerfallen sind. Das liegt daran, dass du die Konstante $C$ noch nicht kennst. Sie gibt schließlich beim Zerfallsgesetz die Anzahl der Atomkerne an, die am Anfang, bevor der Zerfall anfing, da waren. Du brauchst also eine Anfangsbedingung als zusätzliche Information zur DGL. Sie könnte beispielsweise so lauten: $ N(0) = 1000 $. Das heißt, zum Zeitpunkt $t = 0 $ gab es 1000 Atomkerne. Einsetzen ergibt:

$$ \begin{align} N(0) ~=~ 1000 ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot 0} \end{align} $$

Also muss $ C = 1000 $ sein:

$$ \begin{align} N ~=~ 1000\, \mathrm{e}^{-\lambda \, t} \end{align} $$

Jetzt kannst du beliebige Zeit einsetzen und herausfinden, wie viele nicht zerfallene Atomkerne noch da sind.

Nun weißt du, wie einfache homogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden können. In der nächsten Lektion schauen wir uns an, wie inhomogene DGL mit der "Variation der Konstanten" geknackt werden können.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Löse folgende gewöhnlliche, lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung und berücksichtige dabei die gegebenen Nebenbedingungen.

Lösungstipps

Bestimme als erstes, was die gesuchte Funktion ist und von welcher Variable sie abhängt. Bringe dann die DGL in die folgende einheitliche Form: \[ y'(x) ~+~ K(x) \, y(x) ~=~ 0 \]

Hierbei ist $y(x)$ die gesuchte Funktion, die von der Variable $x$ abhängt. Benutze anschließend die dazugehörige Lösungsformel: \[ y(x) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \]

Die Konstante $C$ kannst du mithilfe der gegebenen Nebenbedingungen bestimmen. Alternativ kannst du die Lösungsmethode 'Trennung der Variablen' üben, die quasi zur obigen Lösungsformel führt. Gehe dabei Schritt für Schritt vor:

Schreibe die DGL in Leibniz-Notation um (z.B. $\frac{\text{d}y(x)}{\text{d}t}$).
Bringe alle Terme mit $y$ auf die linke Seite und alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite.
Integriere die linke Seite über $y$ und die rechte Seite über $x$ (fasse die Integrationskonstanten zu einer Integrationskonstante zusammen).
Stelle nach $y$ um. Fertig!

Aufgabe #1: Newton-Abkühlungsgesetz

$$T' ~=~ - \alpha \, T $$

Anfangsbedingung: $ T(0) ~=~ 20^{\circ} \, \mathrm{C} $.

Lösung zur Aufgabe #1

Das Newton-Abkühlungsgesetz beschreibt, wie die Temperatur $T$ eines Körpers im Verlauf der Zeit $t$ abnimmt. Bringen wir sie mal in eine einheitliche Form, um besser die einzelnen Ausdrücke vergleichen zu können: \[ T'(t) + \alpha \, T(t) ~=~ 0 \]

Die gesuchte Funktion ist hier $T(t)$ und sie hängt von der Variable $t$ ab. Um diese DGL zu lösen, benutzen wir direkt die Lösungsformel aus dem Lösungshinweis. Dabei entspricht $y = T$. Die Variable ist $x = t $. Und der Koeffizient ist $K ~=~ \alpha$. Dieser ist sogar unabhängig von $t$, also konstant. Die Lösung $y(t)$ ist gegeben durch: 1.1 \[ T(t) ~=~ C \, \mathrm{e}^{ - \int \alpha \, \text{d}t } \]

Als erstes müssen wir das Integral im Exponenten bestimmen: 1.2 \[ \int \alpha \, \text{d}t \]

Das ist nicht schwer, denn $\alpha$ ist eine Konstante und kann vor das Integral gezogen werden und das Integral bringt lediglich ein $x$ ein: 1.3 \[ \int \alpha \, \text{d}t ~=~ \alpha \, t \]

Setze das berechnete Integral 1.3 in die Lösungsformel 1.1 ein: 1.4 \[ T(t) ~=~ C \, \mathrm{e}^{ - \alpha \, t } \]

Und schon hast du die allgemeine Lösung der DGL. Um die unbekannte Konstante $C$ zu bestimmen, nutzen wir die gegeben Anfangsbedingung $ T(0) ~=~ 20^{\circ} \, \text{C} $. Wir setzen sie ein: 1.5 \begin{align} T(0) &~=~ 20^{\circ} \, \text{C} \\\\ &~=~ C \, \mathrm{e}^{ - \alpha \cdot 0 } \\\\ &~=~ C \end{align}

Die Konstante ist also $ C = 20^{\circ} \, \text{C} $. Damit lautet die konkrete Lösung der DGL: 1.5 \[ T(t) ~=~ 20^{\circ} \, \text{C} \, \mathrm{e}^{ - \alpha \, t } \]

Aufgabe #2: RC-Schaltung

Eine RC-Schaltung mit nicht-konstantem Widerstand $R(t)$: $$ R(t)\,\frac{\text{d}I(t)}{\text{d}t} ~+~ \frac{I}{C} ~=~ 0 $$

Hierbei ist $ R(t) ~=~ \frac{R_0 \, t_0}{t} $. Anfangsbedingung: $ I(0) ~=~ 0.01 \, \text{A} $.

Lösung zur Aufgabe #2

Als erstes bringen wir die gegebene DGL für die RC-Schaltung \[ R(t)\,\frac{\text{d}I(t)}{\text{d}t} ~+~ \frac{I}{C} ~=~ 0\] in eine einheitliche Form, wie im Lösungshinweis verlangt. Dazu teilen wir die ganze Gleichung durch $R(t)$: 2.1 \[ \frac{\text{d}I(t)}{\text{d}t} ~+~ \frac{1}{R(t)\,C} \, I ~=~ 0\] oder in der Lagrange-Notation: 2.2 \[ I'(t) ~+~ \frac{1}{R(t)\,C} \, I ~=~ 0\]

Die gesuchte Funktion ist hier $I(t)$, die von der Variable $t$ abhängt. Der Koeffizient vor der gesuchten Funktion $ \frac{1}{R(t)\,C} $ ist nicht konstant, sondern hängt auch von $t$ ab. Nach der Aufgabe, so $R(t) = \frac{R_0 \, t_0}{t} $: 2.3 \begin{align} \frac{1}{R(t)\,C} &~=~ \frac{1}{\frac{R_0 \, t_0}{t} \,C} \\\\ &~=~ \frac{ t }{R_0\, t_0 \, C } \end{align}

Setze den nicht-konstanten Koeffizienten in die DGL 2.2 ein: 2.4 \[ I'(t) ~+~ \frac{ t }{R_0\, t_0 \, C } \, I ~=~ 0\]

Benutze die Lösungsformel aus dem Lösungshinweis: 2.5 \[ I(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\int \frac{ t }{R_0\, t_0 \, C } \, \text{d}t} \]

Den konstanten Faktor $\frac{ 1 }{R_0\, t_0 \, C }$ dürfen wir vor das Integral ziehen: 2.6 \[ I(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\frac{ 1 }{R_0\, t_0 \, C }\int t \, \text{d}t} \]

Die lineare Funktion $t$ integriert, ergibt $\frac{1}{2}\,t^2$: 2.7 \[ I(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\frac{ t^2 }{2 \, R_0\, t_0 \, C }} \]

Jetzt nur noch mithilfe der Anfangsbedingung $ I(0) ~=~ 0.01 \, \text{A} $ die unbekannte Konstante $C$ bestimmen. Setze dazu die Anfangsbedingung in 2.7 ein: 2.8 \begin{align} I(0) &~=~ 0.01 \, \text{A} \\\\ &~=~ C\, \mathrm{e}^{-\frac{ 0 }{2 \, R_0\, t_0 \, C }} \\\\ &~=~ C \end{align}

Damit ist die konkrete Lösung der DGL: 2.8 \[ I(t) ~=~ 0.01 \, \text{A}\, \mathrm{e}^{-\frac{ t^2 }{2 \, R_0\, t_0 \, C}} \]

Aufgabe #3: Beschränktes Wachstum

$$ N'(t) ~=~ k \, (N_{\text{max}} - N(t)) $$

Anfangsbedingung: $ N(0) ~=~ 1000 $.

Lösung zur Aufgabe #3

In der gegebenen DGL 3 \[ N'(t) ~=~ k \, (N_{\text{max}} - N(t)) \] ist die gesuchte Funktion $N(t)$ und sie hängt von der Variable $t$ ab. Mache als erstes eine Substitution $ n(t) = N_{\text{max}} - N(t) $. Da in 3 die Ableitung $N'(t)$ vorkommt, müssen wir auch unsere Substitution $n(t)$ ableiten. Die Ableitung ist einfach $ n'(t) = N'(t) $, da $N_{\text{max}}$ eine Konstante ist, die beim Ableiten wegfällt. Ersetze $N_{\text{max}} - N(t)$ mit $n(t)$ und ihrer Ableitung in 3: 3.1 \[ n'(t) ~=~ k \, n(t) \]

Bringe die DGL 3.1 in die einheitliche Form, wie beim Lösungshinweis: 3.2 \[ n'(t) ~-~ k \, n(t) ~=~ 0 \]

Jetzt können wir die Lösungsformel aus dem Lösungshinweis benutzen: 3.3 \[ n(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\int k \, \text{d}t} \]

Eine Konstante integriert bringt nur ein $t$ ein: 3.4 \[ n(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{- k \, t} \]

Jetzt müssen wir nur noch eine Rücksubstitution machen: 3.5 \[ N_{\text{max}} - N(t) ~=~ C\, \mathrm{e}^{- k \, t} \]

Stelle nach $N(t)$ um: 3.6 \[ N(t) ~=~ N_{\text{max}} ~-~ C\, \mathrm{e}^{- k \, t} \]

Mit der Anfangsbedingung $ N(0) ~=~ 1000 $ bestimmst du $C$. Setze die Anfangsbedingung in 3.6 ein: 3.7 \begin{align} N(0) &~=~ 1000 \\\\ &~=~ N_{\text{max}} ~-~ C\, \mathrm{e}^{- k \cdot 0} \\\\ &~=~ N_{\text{max}} ~-~ C \end{align}

Damit ist die Konstante $ C = N_{\text{max}} - 1000 $ und die konkrete Lösung der DGL: 3.8 \[ N(t) ~=~ N_{\text{max}} ~-~ (N_{\text{max}} - 1000)\, \mathrm{e}^{- k \, t} \]