Elektrische Leistung einfach erklärt
Wichtige Formel
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Leistung
$$ P $$ Einheit $$ \mathrm{W} = \frac{\mathrm J}{\mathrm s} $$An einem Widerstand, durch den ein Strom \(I\) fließt und eine Spannung \(U\) anliegt, ist \(P\) die Energie (pro Zeit), die der Schaltkreis durch Erwärmung des Widerstands verliert. Ohne eine die Energie nachliefernde Spannungsquelle, würde der Schaltkreis seine Energie schnell in Form von Wärme verlieren und der Strom auf Null sinken. Bei einem idealen, widerstandslosen Schaltkreis (siehe Supraleitung) dagegen geht die Energie nicht verloren und der Strom wird praktisch für viele Jahre aufrechterhalten; im Idealfall für unendlich lange Zeit.
Beispiel: Um eine \( P = 60 \, \mathrm{W} \) Glühbirne, mit \( U = 230 \, \mathrm{V} \) Spannung betreiben zu können, wird ein Strom von \( I = 0.261 \, \mathrm{A} \) gebraucht.
Elektrischer Strom
$$ \class{red}{\boldsymbol I} $$ Einheit $$ \mathrm{A} = \frac{ \mathrm C }{ \mathrm s } $$Elektrische Spannung
$$ U $$ Einheit $$ \mathrm{V} = \frac{ \mathrm J }{ \mathrm C } = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 }{ \mathrm{A} \, \mathrm{s}^3 } $$
Inhaltsverzeichnis
- Wichtige Formel
- Was ist überhaupt Leistung allgemein? Hier lernst du, was die Größe Leistung allgemein bedeutet und wie sie berechnet wird.
- Leistung als elektrische Größe Hier lernst du, wie elektrische Leistung mit dem Ohmschen Gesetz kombiniert werden kann, um daraus nützliche Formeln zu erhalten.
- Umgesetzte Leistung an einem Widerstand Hier lernst du, wie elektrische Leistung mit dem Ohmschen Gesetz kombiniert werden kann und welche Rolle dabei die Joulesche Wärme spielt.
- Umgesetzte Energie aus der Leistung bestimmen Hier lernst du, wie du bei einer gegebenen Leistung und Zeitspanne, daraus die umgesetzte Energie berechnen kannst. Außerdem lernst du die Kilowattstunden kennen.
- Übungen mit Lösungen
In deinem Alltag bist du sicherlich schon oft der physikalischen Größe 'elektrische Leistung' begegnet, sei es
-
auf der Stromrechnung,
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beim Zusammenbauen eines Computers
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oder auf der Verpackung irgendeines elektrischen Geräts.
Die Leistung wird mit dem Buchstaben \(P\) abgekürzt, der für das englische Wort 'Power' steht.
Was ist überhaupt Leistung allgemein?
Allgemein wird mit der Größe 'Leistung' die von einem System gewonnene oder verlorene Energie \( W\) PRO Zeitspanne \( t\) bezeichnet:
Wenn du beispielsweise dein Smartphone an der Streckdose auflädst, dann gewinnt der Akku deines Smartphones an Energie. Wenn du das Smartphone benutzt, dann verliert der Akku an Energie. Übrigens: Wenn du nicht genau weißt, ob es sich um gewonnene oder verlorene Energie pro Zeit handelt, kannst du auch 'umgesetzte Energie pro Zeit' sagen. Das Wort 'umgesetzt' steht in diesem Fall entweder für 'gewonnen' oder 'verloren'.
Die Leistung hat die Einheit \( \frac{\text J}{\text s} \) (Joule pro Sekunde). Joule pro Sekunde kürzen wir mit dem Buchstaben \(\text{W}\) ab, der für Watt steht. Dies ist die am häufigsten benutzte Einheit für die Leistung.
Verwechsle aber nicht die Einheit \(\text{W}\) (nicht-kursiv dargestellt) mit dem kursiv dargestellten Zeichen für die Energie: \(W\).
Wenn ein Föhn 2000 Joule pro Sekunde aus der Steckdose zieht (verbraucht), dann hat dieser Föhn eine Leistung von 2000 Watt:
&~=~ 2000 \, \text{W} \end{align} $$
Wenn ein Auto innerhalb von 4 Sekunden von 0 auf 100 km/h beschleunigt, dann gewinnt es an kinetischer Energie (Bewegungsenergie). Vorher stand es still und hatte keine kinetische Energie. Dann beschleunigte es gleichmäßig auf 100 km/h.
Die Angabe 'PS' steht für Pferdestärken, eine ältere Einheit für die Leistung. Sie wurde früher benutzt, bevor man sich auf Joule pro Sekunde als Einheit für die Leistung geeinigt hatte. Wenn das Auto also beispielsweise 200 PS hat, dann entspricht das ungefähr 147 000 Joule pro Sekunde bzw. 147 000 Watt oder kurz 147 Kilowatt an Leistung.
Leistung als elektrische Größe
Die Leistung \(P\) kann sich natürlich nicht nur auf die mechanische Leistung eines Autos beziehen, sondern kann im Prinzip jedem System zugewiesen werden – sei es ein Auto, eine Schaltung, ein Planet und so weiter.
Wir konzentrieren uns hier auf die elektrische Leistung \(P\), die zur Beschreibung elektrischer Systeme dient. Solch ein System könnte ein Föhn, ein Toaster, ein Computer, ein Smartphone, eine Lampe oder ein Elektroherd sein. Im Grunde kommen alle Systeme infrage, die mit elektrischen Größen, wie Spannung und Strom, beschrieben werden können.
Wenn wir eine elektrische Spannung \(U\) zwischen den Enden eines Leiters anlegen, so werden die Ladungen von entgegengesetzten Ladungen am gegenüberliegenden Pol angezogen. Deshalb bewegen sie sich von einem Leiterende zum anderen. Beim Durchlaufen wandeln sie ihre potentielle Energie in kinetische Energie um. Wenn, wie in unserem Fall, die Ladungsmenge \(Q\) sich von einem Pol zum anderen bewegt, dann beträgt die gesamte Energiemenge \(W\), die die Ladungen als kinetische Energie gewonnen haben:
Jetzt haben wir die umgesetzte Energie \(W\) mithilfe von elektrischen Größen ausgedrückt, nämlich mithilfe der Ladung \(Q\) und der Spannung \(U\). Setzen wir 2
in die Leistungsformel 1
ein:
Die Bewegung der einzelnen Ladungen verursacht einen elektrischen Strom \(I\) durch den Leiter. Wenn pro Zeitspanne \( t\) die Ladungsmenge \(Q\) durch den Leiter fließt, dann ist der elektrische Strom gegeben durch Ladung \(Q\) pro Zeitspanne \(t \):
Die Spannung \(U\) zwischen den Leiterenden führt zu einem elektrischen Strom \(I\), da entgegengesetzte Ladungen einander anziehen.
Wenn du die Leistung 5
genau anschaust, dann siehst du, dass dort Ladung pro Zeit \( \frac{Q}{t}\) vorkommt. Das entspricht ja genau dem elektrischen Strom \(I\). Wenn wir den Strom 6
in 5
einsetzen, bekommen wir:
Wir haben also die Leistung mithilfe elektrischer Größen ausgedrückt und können sie deshalb als elektrische Leistung bezeichnen. Auf beschleunigende Autos oder herumkreisende Planeten ist diese Formel natürlich eher nicht anwendbar...
Sagen wir mal in deinem Haushalt ist die Sicherung maximal für einen Strom von 20 Ampere ausgelegt. Wird dieser Wert überschritten, so löst die Sicherung aus, um einen Kabelbrand zu vermeiden. Du möchtest nun an einer Steckleiste einen Föhn, einen Computer und eine elektrische Heizung betreiben. Auf den Verpackungen der Geräte liest du die Leistungswerte ab:
| Gerät | Leistung \(P\) |
|---|---|
| Computer | 550 Watt |
| Elektrische Heizung | 1200 Watt |
| Föhn | 2000 Watt |
Um herauszufinden, ob die Sicherung rausschlägt, wenn du gleichzeitig alle diese Geräte an einer Steckleiste betreibst, benutzen wir die Formel 7
für die elektrische Leistung. Die Gesamtleistung ist die Summe aller Leistungen der Geräte. Die Netzspannung beträgt \(U = 230 \, \text{V}\). Stelle Formel 7
nach dem gesuchten Strom \(I\) um:
Setze die Gesamtleistung und die Netzspannung ein:
&~=~ 16.3 \, \text{A} \end{align} $$
Die Sicherung fliegt also nicht raus, da der zum Betreiben der Geräte notwendige Strom von \(16.3 \, \mathrm{A}\) den Wert von \(20 \, \mathrm{A}\) nicht überschreitet.
Umgesetzte Leistung an einem Widerstand
Was ist aber, wenn wir nur den Strom \(I\) oder nur die Spannung \(U\) kennen und wissen, dass das betrachtete System einen Widerstand \(R\) hat? Zum Beispiel könnte das ein Stück Leiter sein mit dem Widerstand \(R\) sein. Der Leiter besteht aus vielen Atomen. Wenn die Ladungsträger vom Plus- zum Minuspol wandern, dann stoßen sie gegen die Atome des Elements, aus dem der Widerstand besteht. Bei einem Stoß gibt der Ladungsträger einen Teil seiner kinetischen Energie an das Atom ab. Das Atom fängt dann beispielsweise an zu 'vibrieren' oder sogar Licht auszusenden. Das merken wir daran, dass der Leiter warm wird. Wenn der Strom \(I\) groß genug ist, kann es sogar vorkommen, dass der Leiter zu glühen anfängt. Wir bezeichnen diese Wärme als Joulesche Wärme.
Bei einem größeren Strom geben also mehr Ladungen ihre kinetische Energie an die Atome des Leiters ab. Dadurch gibt es mehr 'vibrierende' Atome und das erhöht wiederum die Temperatur des Leiters. Aber wie bringen wir den Widerstand ins Spiel?
Dazu benutzen wir das Ohmsche Gesetz. Es besagt, dass die Spannung \(U\) proportional zum Strom \(I\) zunimmt, wobei die Proportionalitätskonstante der Widerstand \(R\) ist:
Das heißt: Verdoppelst du die Spannung \(U\), dann verdoppelt sich der Strom \(I\) – das bedeutet Proportionalität!
Wir können nun das Ohmsche Gesetz nutzen, um die elektrische Leistung mit dem Widerstand \(R\) statt mit der Spannung \(U\) auszudrücken. Dazu setzen wir das Ohmsche Gesetz 3
in unsere allgemeine Formel für die elektrische Leistung \(P = U\, I\) ein:
Durch eine Leitung mit dem Gesamtwiderstand von 50 Ohm soll ein Strom von 0.5 Ampere fließen. Wie viel Energie würde an diesem Widerstand pro Sekunde verloren gehen?
Benutze die Leistungsformel 11
und setze \( R = 50 \, \Omega \) und \( I = 0.5 \, \text{A} \) ein:
&~=~ 12.5 \, \text{W} \end{align} $$
An der Leitung gehen also 12.5 Joule pro Sekunde (Watt) verloren – hauptsächlich in Form von Wärmeenergie.
Kehren wir kurz zu unseren 'vibrierenden' Atomen zurück. Halten wir den Strom \(I\) konstant. Die Leistungsformel 11
besagt dann, dass in einem elektrischen Leiter mit größerem Widerstand mehr Leistung \(P\) umgesetzt wird als in einem Leiter mit kleinerem Widerstand. Bei einem Leiter mit größerem Widerstand gibt es also mehr vibrierende Atome.
Das siehst du deutlich, wenn du zwei verschiedene Widerstände vergleichst:
-
Der eine Widerstand \(R_1\) besteht aus Aluminium
-
und der andere Widerstand \(R_2\) besteht aus Blei (Plumbium).
Nun schickst du den gleichen Strom \(I\) durch die beiden Widerstände. Da durch beide Widerstände der gleiche Strom fließt, unterscheiden sie sich nur in ihrem Widerstand. Blei hat einen größeren Widerstand als Aluminium: \( R_2 > R_1\). Folglich erwärmt sich der Bleiwiderstand mehr als der Aluminiumwiderstand. An einem Bleiwiderstand geht also pro Sekunde mehr Energie (in Form von Wärme) an die Umgebung verloren als an einem Aluminiumwiderstand. Folglich hat der Bleiwiderstand eine größere Leistung \(P\).
Die Spannung an den beiden Widerständen ist natürlich unterschiedlich groß. Das siehst du, wenn du dir das Ohmsche Gesetz \(U = R\,I \) anschaust. Der Strom \(I\) ist konstant bei beiden Widerständen. Der Widerstand von Aluminium ist allerdings kleiner. Also ist die Spannung am Aluminiumwiderstand kleiner als beim Bleiwiderstand.
Doch was ist, wenn wir nicht den gleichen Strom \(I\) durch die beiden Widerstände schicken, sondern die gleiche Spannung \(U\) an die beiden anlegen? Dann wird nach dem Ohmschen Gesetz \(U = R\,I \) der Strom \( I = \frac{U}{R} \) unterschiedlich sein. Da Aluminium einen kleineren Widerstand hat, wird durch diesen ein größerer Strom fließen als durch einen Bleiwiderstand. Setzen wir diesen Strom \( I = \frac{U}{R} \) in die Leistungsformel \(P = U \, I\) ein, um ihn zu eliminieren:
Bei gleicher Spannung an beiden Widerständen erwarten wir also nach der Formel 13
ein gegenteiliges Verhalten zu dem Fall, bei dem der gleiche Strom durch die Widerstände ging. Jetzt hat ein kleinerer Widerstand eine größere Leistung. Wenn du an beide Widerstände die gleiche Spannung anlegst, hat der Aluminiumwiderstand also eine größere Leistung im Vergleich zum Bleiwiderstand.
Ein Autoscheinwerfer mit 30 Watt Leistung ist für die Autobatterie von 12 Volt ausgelegt. Wie groß ist der Widerstand dieses Scheinwerfers?
Dazu benutzt du die eben hergeleitete Formel für die Leistung \(P\), in Abhängigkeit von der Spannung \(U\) und dem Widerstand \(R\). Stelle die Formel 13
nach dem Widerstand \(R\) um:
Setze \( U = 12 \, \text{V} \) und \(P = 30 \, \text{W} \) ein:
&~=~ 4.8 \, \Omega \end{align} $$
Umgesetzte Energie aus der Leistung bestimmen
Was ist, wenn wir die Leistung gegeben haben und daraus bestimmen wollen, wie viel Energie \(W\) nach beispielsweise 10 Sekunden umgesetzt wurde? Dazu müssen wir lediglich die Leistung, die ja Energie PRO Zeit angibt, mit der Zeit \(t\) multiplizieren:
Wie viel Energie 'verbraucht' ein 2000 Watt Föhn, wenn du diesen 20 Sekunden lang benutzt?
&~=~ 40 \, 000 \, \text{J} \end{align} $$
Das Wort 'verbraucht' steht in Anführungszeichen, weil genaugenommen die Energie erhalten bleibt. Die 40 000 Joule werden nicht verbraucht, sondern in mechanische und thermische Energie umgewandelt (also in Wärme und einen Luftstrom).
In den USA beträgt die Netzspannung \( U_{\text{USA}} = 120 \, \mathrm{V} \) und in Europa \( U_{\text{EU}} = 240 \, \mathrm{V} \). Das Verhältnis der elektrischen Leistung eines Elektrogeräts in den USA und EU ist gegeben durch:
Wegen der Beziehung \( P = U^2 / R \), wobei der Widerstand \(R\) des Elektrogeräts konstant angenommen wird. Einsetzen der Spannung ergibt folgendes Leistungsverhältnis:
Das heißt die Leistung eines Elektrogeräts in Europa ist vierfach höher als in den USA! Das Gerät, welches beispielsweise in den USA nur \(1 \, \mathrm{kW}\) verkraften kann, würde in Europa wahrscheinlich zu qualmen beginnen.
Nun solltest die wissen, was die elektrische Leistung ist und wie du mit ihr in alltäglichen Problemen umgehst.
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe #1: Sonnenenergie
Die Solarkonstante beträgt \( \mathcal{E}_{\text S} ~=~ 1367 \, \frac{\mathrm W}{\mathrm{m}^2} \) und sagt aus, wie viel Energie innerhalb einer Stunde auf einen Quadratmeter bei der Erde von der Sonne ankommt.
Wie viel Leistung kommt von der Sonne bei uns auf der Erde an?
Tipp: Benutze die Solarkonstante und die Kreisfläche mit dem Erdradius \( r = 6371 \, \text{km} \). Die Kreisfläche soll einfachheitshalber die Erde darstellen.
Lösung zur Aufgabe #1
Die Solarkonstante ist bekannt und gibt die Leistung pro Quadratmeter an: 1 \[ \mathcal{E}_{\text S} ~=~ 1367 \, \frac{\text W}{\text{m}^2} \]
Jetzt musst Du herausfinden, wie groß die Fläche der Erde ist, die der Sonne zugewandt ist. Um die Rechnung zu vereinfachen, kannst Du beispielsweise annehmen, dass diese Fläche eine Kreisfläche ist mit dem Radius der Erde. Die Erde hat den Radius \( r = 6371 \, \text{km} \). Damit beträgt die runde Erdfläche \(A_{\text E}\): 2 \[ A_{\text E} ~=~ \pi \, r^2 \]
Multipliziere nur noch 1
und 2
miteinander, um die Leistung \( P_{\text E} \) zu bekommen, die von der Sonne auf der Erdfläche "landet".
3
\[ P_{\text E} ~=~ \mathcal{E}_{\text S} \, \pi \, r^2 ~=~ 1367 \, \frac{\text W}{\text{m}^2} * \pi * (6371 000 \,\text{m})^2 ~=~ 1.743 * 10^{17} \, \text{W} ~=~ 174.3 \, \text{PW} \]
"P" in "PW" heißt "Peta" und steht als Abkürzung für \( 10^{15} \).
Aufgabe #2: Weltenergieverbrauch
Nach einer Energiestudie von 2016 verbraucht die Menschheit 550 EJ ("E" steht für "Exa") pro Jahr. Kann dieser Energieverbrauch theoretisch durch die Sonnenenergie gedeckt werden?
Tipp: Nutze Dein Ergebnis aus (a) und rechne es für ein Jahr aus. Vergleiche dann den Weltenergieverbrauch mit dem berechneten Energiewert.
Lösung zur Aufgabe #2
In Aufgabe #1 hast Du herausgefunden, dass die Sonne eine Leistung von \( P_{\text E} ~=~ 174.3 \, \text{PW} \) der Erde liefert. Das entspricht einer Energie von \( 174.3 \, \frac{\text{PJ}}{\text s} \)!
Um die Energie pro Jahr (365 Tage) auszurechnen, multipliziere einfach den Energiewert pro Sekunde mit 60*60*24*365 = 31536000 Sekunden: 4 \[ 174.3 \, \frac{\text{PJ}}{\text s} * 31536000 \, \text{s} ~=~ 5.497*10^{24} \, \text{J} ~=~ 5.497 \,\text{YJ} \]
"Y"(Yotta) bei "YJ" ist eine Abkürzung für \(10^{24} \).
Der Weltenergieverbrauch von \( 550 \, \text{EJ} \) macht davon NUR 0.01% aus: 5 \[ \frac{550 * 10^{18} \, \text{J}}{5.497*10^{24} \, \text{J}}*100\% ~=~ 0.01\% \]
Solarenergie hat ein großes Potenzial für die Zukunft der Erde!
Aufgabe #3: Blitz: Energie, Preis und Ladung
Bei einem Gewitter baut sich eine elektrische Spannung zwischen dem Erdboden und der unteren Seite der Wolke auf. Sie liegt in der Größenordnung von \( 100 \, \text{MV} \). Durch derartig hohe Spannung kann ein Blitz entstehen, der einen Strom von \( 10^5 \, \text{A} \) verursacht und insgesamt \( 100 \, \mu\text{s} \) andauert.
- Wie viel Ladung Q wird vom Blitz transportiert?
- Welche Energie setzt ein Blitz um?
- Was "kostet" ein Blitz, bei einem Strompreis von \( 25 \, \text{Cent}/\text{kWh} \)?
Lösung zur Teilaufgabe #3.1
Der elektrische Strom \(I\) ist definiert als Ladung \(Q\) pro Zeit \(t\). Also wird vom Blitz bei einem Strom von \( I = 10^5 \, \text{A} \), innerhalb von \( 100 \, \mu\text{s} \), folgende Menge an Ladung zur Erde transportiert: 1 \[ Q ~=~ I \, t ~=~ 10^5 \, \text{A} ~\cdot~ 10^{-4} \, \text{s} ~=~ 10 \, \text{C} \]
Das entspricht übrigens einem Ladungstransport von \( 6.25 \cdot 10^{19} \) Elektronen!
Lösung zur Teilaufgabe #3.2
Bei einer Spannung von \( U ~=~ 100 \, \text{MV} \) und einer Stromstärke von \( I ~=~ 10^5 \, \text{A} \), hat ein Blitz folgende elektrische Leistung: 2 \[ P ~=~ U \, I ~=~ 10^8 \, \text{V} ~\cdot~ 10^5 \, \text{A} ~=~ 10^{13} \, \text{W} ~=~ 10 \, \text{TW} \]
Die Leistung \( P \) ist definiert als Arbeit \( W \) (umgesetzte Energie), die innerhalb einer Zeitspanne \( t \) verrichtet wurde. Bei einer berechneten Leistung von \( 10^{13} \, \text{W} \) wird also innerhalb von \( 100 \, \mu\text{s} \), folgende Menge an Energie umgesetzt: 3 \[ W ~=~ P \, t ~=~ 10^{13} \, \text{W} \,\cdot\, 10^{-4} \, \text{s} ~=~ 10^9 \, \text{J} \]
Lösung zur Teilaufgabe #3.3
1 Joule ist eine Energiemenge, die in einer Sekunde von einem Watt Leistung umgesetzt wird: 4 \[ 1\text J ~=~ 1\text{Ws} \]
Dann ist eine Wattstunde \( \text{Wh} \), eine Energiemenge, die in einer Stunde von einem Watt Leistung umgesetzt wird: 5 \[ 1\text{Wh} ~=~ 1\text{W} \,\cdot\, 3600 \, \text{s} ~=~ 3600 \, \text{Ws} ~=~ 3600 \, \text{J} \]
Eine Wattstunde \(1 \text{Wh} \) entspricht \( 10^{-3} \, \text{kWh} \). Dann ist: 6 \[ 1\text{kWh} ~=~ 3600 \, \text{kJ} \]
\( 10^9 \, \text{J} \) entsprechen somit \(277.78 \, \text{kWh}\). Multipliziere diese Energiemenge mit dem Preis von \( 0.25 \, \frac{\text{Euro}}{\text{kWh}} \), dann bekommst Du den "Geldwert" eines Blitzes: 7 \[ 277.78 \, \text{kWh} \,\cdot\, 0.25 \, \frac{\text{Euro}}{\text{kWh}} ~=~ 69.4 \, \text{Euro} \]