Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Bragg-Reflexion: So wird Röntgenstrahlung am Kristallgitter reflektiert

Wichtige Formel

Formel: Bragg-Bedingung

$$m \, \class{violet}{\lambda} ~=~ 2\class{blue}{d} \, \sin(\class{gray}{\theta})$$ $$m ~=~ \frac{ 2\class{blue}{d} \, \sin(\theta) }{ \class{violet}{\lambda} }$$ $$\class{violet}{\lambda} ~=~ \frac{2\class{blue}{d}}{m} \, \sin(\class{gray}{\theta})$$ $$\class{blue}{d} ~=~ \frac{ m \, \class{violet}{\lambda} }{ 2 \sin(\class{gray}{\theta}) }$$ $$\class{gray}{\theta} ~=~ \arcsin\left(\frac{ m \, \class{violet}{\lambda} }{ 2\class{blue}{d} }\right)$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Beugungsordnung

$$ m $$ Einheit $$ - $$

Eine ganze Zahl ($m$ = 0,1,2, ...), die ein Vielfaches der Wellenlänge angibt $ m \, \class{violet}{\lambda} $, bei der die konstruktive Interferenz auftritt.

Wellenlänge

$$ \lambda $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Diese charakterisiert die Energie des verwendeten monochromatischen Lichts, mit dem der zu untersuchende Kristall unter einem Winkel bestrahlt wird. Bei der Untersuchung der Kristalle wird Röntgenstrahlung eingesetzt, damit die Wellenlänge so kurz ist, dass sie im Bereich der Gitterkonstante liegt. Nur in diesem Fall können Beugungserscheinungen beobachtet werden. Warum?

Gitterkonstante

$$ \class{blue}{d} $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Abstand zweier benachbarter Gitterebenen des Kristalls.

Glanzwinkel

$$ \class{gray}{\theta} $$ Einheit $$ \mathrm{rad} $$

Der Winkel zwischen einfallendem Röntgenstrahl und der Gitterebene.

Bragg-Reflexion an zwei Netzebenen

Einfallende Röntgenwelle (in der Illustration 1 als Strahl dargestellt) der Wellenlänge $ \class{violet}{\lambda} $, wird an zwei benachbarten Gitterebenen reflektiert (Punkte sind Gitteratome). Der Glanzwinkel $ \theta $ ist der Winkel, bei dem ein Interferenzmaximum beim Interferenzbild auftritt.

Die Röntgenwelle, die an der tieferen Gitterebene reflektiert wird, muss einen größeren Weg zurücklegen. Dieser Gangunterschied entspricht genau ZWEIMAL $ \class{blue}{d}\,\sin(\theta)$. Der Gangunterschied muss aber auch einem Vielfachen der Wellenlänge entsprechen, damit konstruktive Interferenz der beiden Wellen stattfinden kann: $ m \, \class{violet}{\lambda} $

Die Bragg-Bedingung besagt, unter welcher Bedingung es zu einer konstruktiven Interferenz $ m \, \class{violet}{\lambda} $ am Gitter kommen kann.

$$ \begin{align} m \, \class{violet}{\lambda} ~=~ 2\class{blue}{d} \, \sin(\class{gray}{\theta}) \end{align} $$

Der Term $ \sin(\class{gray}{\theta}) $ kann maximal den Wert 1 annehmen.

Warum ist sichtbares Licht für Beugungsexperimente an Kristallen ungeeignet?

Betrachte zum Beispiel die erste Beugungsordnung: $ m = 1 $. Dann wird die Bragg-Bedingung zu:

$$ \begin{align} 2\class{blue}{d} ~=~ \lambda_{\text{max}} \end{align} $$

Daraus folgt, dass die Wellenlänge maximal das doppelte der Gitterkonstante $ \class{blue}{d} $ betragen kann, damit beim Beugungsexperiment überhaupt etwas beobachtet werden kann. Da aber die Gitterkonstante sehr klein ist (bei Silizium z.B. in der Größenordnung $10^{-12} \, \mathrm{m} $), hat das sichtbare Licht (Wellenlänge von der Größenordnung $ 10^{-9} \, \mathrm{m} $) viel zu große Wellenlänge, um die Bedingung 2 zu erfüllen:

$$ \begin{align} 2 \cdot 10^{-12} \, \mathrm{m} ~<~ 10^{-9} \, \mathrm{m} \end{align} $$

Um 2 zu erfüllen, brauchst Du kurzwelliges Licht, sonst kannst Du keine Kristallstrukturen, wie die des Siliziums untersuchen.

Welche Strahlung wird für die Strukturbestimmung eines Kristalls benutzt?

Röntgenstrahlung - gut zur Untersuchung "dicker" Kristalle. Elektronen-Strahlung - z.B. zur Untersuchung kleiner Proben. Neutronen-Strahlung - z.B. zur Lokalisierung von Wasserstoffatomen in einem Kristallgitter.