Wiensches Verschiebungsgesetz: Temperatur eines schwarzen Körpers
Wichtige Formel
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Temperatur
$$ T $$ Einheit $$ \mathrm{K} $$Die Sonne hat ihr Strahlungsmaximum bei ungefähr einer Wellenlänge von \( \class{blue}{ \lambda_{\text{max}}} = 500 \, \text{nm} \) (Nanometer: \(10^{-9} \, \text{m}\)). Damit können wir die Temperatur der Sonne abschätzen: \begin{align} T &~=~ \frac{2897.8 \,\cdot\, 10^{-6} \, \text{m} \text{K}}{ 500 \, \text{nm} } \\\\ &~=~ \frac{2897.8 \,\cdot\, 10^{-6} \, \text{m} \text{K}}{ 500 \cdot 10^{-9} \, \text{m} } \\\\ &~=~ 5796 \, \text{K} \end{align}
Hierbei hat sich die Einheit "Meter" weggekürzt, sodass das Ergebnis die Einheit der Temperatur (Kelvin) hat. Die Oberfläche der Sonne hat also eine Temperatur von \( 5796 \, \text{K} \). Das sind ungefähr \( 5523^{\circ} \, \text{C}\).
Beachte, dass das Wien-Verschiebungsgesetz nur eine Näherungsformel für kurze Wellenlängen ist.
Wellenlänge
$$ \class{blue}{ \lambda_{\text{max}}} $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$Die Oberfläche des Sterns Sirius im Sternenbild 'großer Hund' hat ungefähr eine Temperatur von \( 10 \, 000 \, \text{K} \). Mit dem Wien-Strahlungsgesetz können wir die Wellenlänge der Strahlung herausfinden, die am meisten von Sirius abgegeben wird: \begin{align} \class{blue}{ \lambda_{\text{max}}} &~=~ \frac{2897.8 \,\cdot\, 10^{-6} \, \text{m} \text{K}}{ 10 \, 000 \, \text{K} } \\\\ &~=~ 2.89 \cdot 10^{-7} \, \text{m} \\\\ &~=~ 289 \, \text{nm} \end{align}
Sirius gibt also am meisten elektromagnetische Strahlung ab, die die Wellenlänge 289 Nanometer hat. Das entspricht einer harten UV-Strahlung.
Wien-Konstante
$$ 2897.8 \,\cdot\, 10^{-6} $$
Das Wiensche Verschiebungsgesetz beschreibt die Beziehung zwischen der Temperatur eines schwarzen Körpers (einem idealisierten Objekt, das alle auf ihn treffenden Strahlen absorbiert und emittiert) und der Wellenlänge des Maximums seiner spektralen Strahlung. Das Gesetz wurde von Wilhelm Wien im Jahr 1893 formuliert und lässt sich folgendermaßen als Formel ausdrücken:
Dabei steht \( \class{blue}{\lambda_{\mathrm{max}}} \) für die Wellenlänge des Maximums der spektralen Strahlung, \( T \) für die absolute Temperatur des schwarzen Körpers in Kelvin, und \( 2897.8 \,\cdot\, 10^{-6} \, \mathrm{m} \mathrm{K} \) ist die Wien-Konstante. Die Wien-Konstante stammt aus der Herleitung mithilfe des Planckschen Strahlungsgesetzes.
Die Interpretation dieses Gesetzes besagt, dass bei höheren Temperaturen der schwarze Körper Strahlung mit kürzeren Wellenlängen emittiert, während bei niedrigeren Temperaturen die emittierte Strahlung Wellenlängen im längeren Bereich des Spektrums aufweist. Das bedeutet, dass sich die Farbe der emittierten Strahlung mit steigender Temperatur ändert.
Beachte, dass das Wiensche-Verschiebungsgesetz nur eine Näherungsformel für kurze Wellenlängen ist!
Wie kann die Temperatur der Sonne bestimmt werden?
Um die Temperatur \( T \) der Sonne von der Erde aus zu berechnen, müssen wir zunächst herausfinden, welches Licht die Sonne emittiert. Die Sonne emittiert ein polychromatisches Licht, also infrarotes Licht, sichtbares Licht und sogar Röntgen- und Gammastrahlung. Wir müssen die Wellenlängen \( \lambda \) jeder dieser Strahlungen herausfinden und mit welcher Intensität ("wie hell"?) sie emittiert werden. Wenn wir alle Wellenlängen mit ihren Intensitäten in ein Diagramm einzeichnen, erhalten wir eine sogenannte spektrale Intensitätsverteilung der Sonne. Aus dieser Verteilung musst du die Wellenlänge \( \lambda_{\text{max}} \) ablesen, die die höchste Intensität hat. Du musst also das Maximum der Funktion ablesen.
Anschließend können wir die Temperatur der Sonne mit dem Wien-Verschiebungsgesetz berechnen. Bei der Sonne liegt das Maximum im blauen Lichtspektrum bei der Wellenlänge \( \lambda_{\text{max}} = 490 \, \mathrm{nm} = 490 \cdot 10^{-9}\, \mathrm{m} \). Das ergibt eine Temperatur von \( T = 5900 \, \mathrm{K}\) oder \( 5630\, ^{\circ}\mathrm{C} \).