Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Was ist Wellenzahl und Kreiswellenzahl?

Wichtige Formel

Formel: Zusammenhang zwischen Wellenzahl und Kreiswellenzahl

$$k ~=~ 2\pi \, \nu$$ $$k ~=~ 2\pi \, \nu$$ $$\nu ~=~ \frac{k}{2\pi}$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Kreiswellenzahl

$$ k $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{m}} $$

Kreiswellenzahl gibt den zurückgelegten Phasenwinkel einer Welle pro Meter an.

Wellenzahl

$$ \nu $$ Einheit $$ \frac{1}{\mathrm{m}} $$

Wellenzahl gibt an, wie oft die Wellenlänge einer periodischen Welle in einen Meter hineinpasst.

Wellenzahl $\nu$ (ausgesprochen "Nü") ist definiert als:

$$ \begin{align} \nu ~=~ \frac{1}{\lambda} \end{align} $$

Hierbei ist $ \lambda $ die Wellenlänge. Die Wellenzahl ist also einfach der Kehrwert der Wellenlänge. Die SI-Einheit der Wellenzahl ist: $ [\nu] ~=~ \frac{1}{\mathrm m} $.

Wellenlänge als der Abstand zweier Wellenberge.

An der Definition 1 der Wellenzahl kannst Du ablesen: Je größer die Wellenlänge $ \lambda $ der Funktion ist, desto kleiner wird die Wellenzahl!

Die Wellenzahl $ \nu $, ist eine räumliche Frequenz und ähnelt der zeitlichen Frequenz $ f $, was wir an beispielsweise an der Einheit erkennen können: Während die zeitliche Frequenz die SI-Einheit $ \frac{1}{\mathrm s} $ hat, hat die Wellenzahl die Einheit $ \frac{1}{\mathrm m} $. Nehmen wir beispielsweise eine Sinusfunktion:

Frequenz sagt aus, wie oft die Periodendauer $T$ in eine Sekunde hineinpasst.

Frequenz einer sinusförmigen Welle beträgt hier $f = 3.5 / \mathrm{s}$ (Hz).
Wellenzahl sagt aus, wie oft die Wellenlänge $\lambda$ in einen Meter hineinpasst.

Wellenzahl einer sinusförmigen Welle beträgt hier $\nu = 2.5 / \mathrm{m}$.

Mithilfe der Beziehung $ v_{\text p} ~=~ \lambda \, f $ kannst Du die Definition 1 der Wellenzahl mithilfe der Frequenz der Welle $ f $ und ihrer Ausbreitungsgeschwindigkeit (genauer gesagt: Phasengeschwindigkeit) $ v_{\text p} $ ausdrücken:

$$ \begin{align} \nu ~=~ \frac{f}{v_{\text p}} \end{align} $$

Phasengeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Wellenberg von A nach B ausbreitet.

Wie du an der Gleichung 2 siehst, hängen die Frequenz $f$ und die Wellenzahl $\nu$ über die Phasengeschwindigkeit $v_{\text p}$ der Welle zusammen.

Je schneller sich die Welle ausbreitet, desto kleiner ist die Wellenzahl und desto größer ist die Frequenz.
Je langsamer sich die Welle bewegt, desto größer ist die Wellenzahl und desto kleiner ist die Frequenz.
Je größer die Frequenz $ f $ der Welle, desto größer ist die Wellenzahl $\nu$.
Je kleiner die Ausbreitungsgeschwindigkeit $ v_{\text p} $ der Welle, desto größer ist die Wellenzahl $\nu$.

Kreiswellenzahl

Die Kreiswellenzahl $k$ unterscheidet sich von der Definition 1 der Wellenzahl $\nu$ durch den Faktor $2\pi$:

$$ \begin{align} k ~=~ \frac{2\pi}{\lambda} \end{align} $$

Beachte, dass in der Literatur, insbesondere in der Festkörperphysik, die Kreiswellenzahl einfach als Wellenzahl genannt wird. Trotzdem solltest du im Hinterkopf behalten, dass damit eigentlich die Kreiswellenzahl mit dem Faktor $2\pi$ gemeint ist.

Wenn du die Definition 1 der Wellenzahl und die Definition 3 der Kreiswellenzahl miteinander vergleichst, dann siehst du, dass sie folgendermaßen zusammenhängen:

$$ \begin{align} k ~=~ 2\pi \, \nu \end{align} $$