Vektoren einfach erklärt

Ein Vektor \( \class{red}{\boldsymbol{a}} \) repräsentiert eine Größe, die durch einen Betrag (Länge) \( \class{red}{a} \) und eine Richtung beschrieben wird. Der Vektor wird beim Schreiben auf dem Papier mit einem Pfeil über der Verktorbezeichnung \( \class{red}{\vec{a}} \) dargestellt. In gedruckter Form ist diese Notation überflüssig und der Vektor wird - so wie hier - durch einen fettgedruckten Buchstaben repräsentiert. Der Vektorbetrag wird manchmal mit zwei senkrechten Strichen \( |\class{red}{\boldsymbol{a}}| \) repräsentiert. Hier wird er einfach als nicht-fettgedruck dargestellt: \( \class{red}{a} \).

Betrachten wir ein dreidimensionales Koordinatensystem \((x,~y,~z)\). In diesem Koordinatensystem können wir einen dreidimensionalen Vektor einzeichnen: \( \class{red}{\boldsymbol{a}} = (a_1,~a_2,~a_3) \). Dreidimensional bedeutet, dass der Vektor drei Komponenten \( a_1\), \(a_2\) und \(a_3\) hat.

Hierbei ist \(a_1\) die Länge des Vektors \( \class{red}{\boldsymbol{a}} \) in die \(x\)-Richtung, \(a_2\) die Länge des Vektors \( \class{red}{\boldsymbol{a}} \) in die \(y\)-Richtung und \(a_3\) die Länge des Vektors \( \class{red}{\boldsymbol{a}} \) in die \(z\)-Richtung.

Wir können mit Vektoren rechnen. Wir können einen Vektor \( \class{red}{\boldsymbol{a}} \) mit einer Zahl multiplizieren. Wir können zwei Vektoren \( \class{red}{\boldsymbol{a}} \) und \( \class{blue}{\boldsymbol{b}} \) addieren \( \class{red}{\boldsymbol{a}} + \class{blue}{\boldsymbol{b}} \) und subtrahieren \( \class{red}{\boldsymbol{a}} - \class{blue}{\boldsymbol{b}} \). Wir können sogar ein Skalarprodukt \( \class{red}{\boldsymbol{a}} \cdot \class{blue}{\boldsymbol{b}} \) und ein Kreuzprodukt \( \class{red}{\boldsymbol{a}} \times \class{blue}{\boldsymbol{b}} \) bilden.