Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Unendlich hoher Potentialtopf der Quantenmechanik

Wichtige Formel

Formel: Unendlich hoher 1d-Potentialkasten

$$W_{n} ~=~ \frac{h^2}{8\,\class{brown}{m} \, L^2} \, n^2$$ $$W_{n} ~=~ \frac{h^2}{8\,\class{brown}{m} \, L^2} \, n^2$$ $$n ~=~ L \, \sqrt{ \frac{ 8\class{brown}{m} \, W_n }{ h^2 } }$$ $$L ~=~ \sqrt{ \frac{h^2}{ 8\class{brown}{m}\, W_n } } \, n$$ $$\class{brown}{m} ~=~ \frac{ h^2 \, n^2 }{ 8 L^2 \, W_n }$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Energie

$$ W_n $$ Einheit $$ \mathrm{J} = \mathrm{Nm} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m^2} }{ \mathrm{s}^2 } $$

Diskrete Energiewerte, die ein Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf annehmen kann. Die Energiewerte sind durch die natürliche Zahl $ n $ vorgegeben, z.B. \[ W_{1} ~=~ \frac{h^2}{8\class{brown}{m} \, L^2} \]

Quantenzahl

$$ n $$ Einheit $$ - $$

Die Quantenzahl $n$ nimmt diskrete Werte an: $ n ~=~ 1,2,3... $. Für $ n = 1 $ ist $ E_1 $ die Grundzustandsenergie (auch Nullpunktsnergie genannt).

Länge

$$ L $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Länge des eindimensionalen Potentialkastens.

Masse

$$ \class{brown}{m} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$

Masse des Teilchens im Potentialkasten (z.B. die Masse des Elektrons).

Wirkungsquantum (Planck-Konstante)

$$ h $$ Einheit $$ \mathrm{Js} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 }{ \mathrm{s} } $$

Das Wirkungsquantum $ h $ (auch Planck-Konstante genannt) ist eine Naturkonstante aus der Quantenmechanik und hat den folgenden exakten Wert: $$ h ~=~ 6.626 \, 070 \, 15 ~\cdot~ 10^{-34} \, \mathrm{Js} $$

Visier das Bild an!

Was ist mit Potentialtopf gemeint?

Mit einem Potentialtopf (bzw. Potentialkasten) ist kein aus Materie bestehender Topf gemeint, sondern ein Teil des Raums, in dem sich ein Teilchen zwar frei bewegen kann, wenn es aber einen bestimmten Ort erreicht, dann kann es nicht einfach weiter fliegen, weil das Teilchen sehr viel Energie bräuchte, um weiterzukommen. Präzise gesagt: Das Teilchen befindet sich in einem unendlich hohen Potential $W_{\text{pot}}(x)$. Diese potentielle Energiefunktion $W_{\text{pot}}(x)$ (doppeldeutig aber kurz: Potential) gibt die potentielle Energie des Teilchens im Raum an.

Befindet sich das Teilchen innerhalb des Potentialkastens, dann hat es in diesem Fall potentielle Energie: $W_{\text{pot}}(x) = 0$.
Befindet sich das Teilchen außerhalb des Potentialkastens, dann hat es in diesem Fall potentielle Energie: $W_{\text{pot}}(x) = \infty$.
Stell Dir also vor: Du sperrst ein Elektron in einem Bereich der Länge $ L $ ein. Dort hat das Elektron keine potentielle Energie, sodass sich das Elektron frei in diesem Bereich bewegen kann. An den Rändern des Bereichs hast Du etwas angestellt, sodass das Elektron unendlich viel Energie bräuchte, um aus dem Bereich herauszukommen.

Wellenfunktion des Elektrons

Was passiert nun, wenn Du ein quantenmechanisches Teilchen (z.B. ein Elektron, ein Proton oder sogar ein ganzes Atom) in einem eindimensionalen, unendlich hohen Potentialkasten der Länge $ L $ einsperrst? Das Problem ist quantenmechanischer Natur, das heißt, um diese Frage zu beantworten, musst Du die Schrödinger-Gleichung lösen. "Schrödinger-Gleichung lösen" bedeutet, dass Du die Wellenfunktion des eingesperrten Elektrons berechnen musst. Die Wellenfunktion ist sozusagen der quantenmechanische Zustand des Elektrons und sagt Dir aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Elektron an einem gewählten Ort zu finden ist.

Die möglichen Zustände (Wellenfunktionen) des Elektrons im Potentialkasten. Eingezeichnet sind die ersten drei Wellenfunktionen.

Ohne die Wellenfunktion für dieses Problem herzuleiten, sieht sie so aus:

Wellenfunktion - unendlich hoher Potentialtopf (1D) 1 \[ \psi_n(x) ~=~ \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi}{L}\,x\right) & 0\leq x \leq L \\ 0 & x\lt0,x\gt L \end{cases} \]

Es gibt also zwei Lösungen. Eine Lösung ist trivial und besagt, dass die Wellenfunktion des Elektrons außerhalb des Potentialtopfs verschwindet. Die andere Lösung besagt, dass das Elektron innerhalb des Potentialtopfs $ n $ Zustände hat. Jedem Zustand entspricht eine Wellenfunktion $\psi_n$, die Du bekommen kannst, wenn Du eine konkrete ganze Zahl für $ n $ einsetzt, z.B. 1,2,3 etc.

Grundzustandswellenfunktion Das ist der Fall $n=1$: 2 \[ \psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi}{L}\,x\right) \]

Die Nullstellen der Wellenfunktion sind Orte, an denen das Elektronen auf gar keinen Fall zu finden ist. Warum? Weil die Aufenthaltswahrscheinlichkeit $ |\psi_n(x)|^2 $ des Elektrons an diesen Orten verschwindet!

Welche Energien kann das Elektron haben?

Visier das Bild an!

Ein Elektron, das in einem unendlich hohen 1d-Potentialkasten $W_{\text{pot}}(x)$ eingesperrt ist. Die möglichen Energien des Elektrons sind $W_0$, $W_1$ und so weiter.

Sobald die Wellenfunktionen des Elektrons bekannt sind, ist es mit der Quantenmechanik möglich, seine möglichen Energien herauszufinden. Durch Anwendung des sogenannten Energie-Operators auf die berechneten Wellenfunktionen, bekommst Du folgende Energien des Elektrons:

Mögliche Energien im unendlich hohen 1d-Potentialkasten 3 \[ W_n ~=~ \frac{h^2}{8m \, L^2} \, n^2 \]

In einem Energie-Ort-Diagramm (siehe Illustration 2) stellt die Gesamtenergie 3 des Elektrons eine zur $x$-Achse parallele Linie, denn $W_n$ ist ortsunabhängig.

Wie Du siehst, sind die Energien des Elektrons im Potentialtopf quantisiert. Das heißt das Elektron kann entweder die oder jene Energie haben, ABER keine Energie dazwischen! Setze für die Quantenzahl $ n ~=~ 1,2,3,4,...$ ein, um die jeweilige Energie zu berechnen, die ein Elektron in einem bestimmten Zustand hat. Zum Beispiel hat ein Elektron im Grundzustand $ \psi_{1}(x) $ die Grundzustandsenergie $ W_1 $. Und so weiter.