Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Trägheitsmoment eines starren Körpers

Wichtige Formel

Formel: Trägheitsmoment (kontinuierliche Massenverteilung)

$$\class{brown}{I} ~=~ \int_{V} r_{\perp}^{~~2} \, \rho(\boldsymbol{r}) \, \text{d}v$$ $$\class{brown}{I} ~=~ \int_{V} r_{\perp}^{~~2} \, \rho(\boldsymbol{r}) \, \text{d}v$$

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Trägheitsmoment

$$ \class{brown}{I} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 $$

Trägheitsmoment sagt aus, wie träge ein Körper ist, wenn man die Richtung seiner Rotationsachse oder Winkelgeschwindigkeit ändert. Je weiter ein Massenelement des Körpers von der Drehachse entfernt ist, desto mehr trägt es zum Trägheitsmoment bei.

Abstand

$$ r_{\perp} $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$

Betrag des Vektors $ \boldsymbol{r}_{\perp} $. Dieser Vektor ist der zur Rotationsachse senkrechte Anteil vom Ortsvektor $ \boldsymbol{r} $. Also ist $r_{\perp}$ der Abstand von der Rotationsachse zu einem infinitesimalen Massenelement.

Volumen

$$ V $$ Einheit $$ \mathrm{m}^3 $$

Volumen des betrachteten Körpers.

Massendichte

$$ \rho(\boldsymbol{r}) $$ Einheit $$ \frac{ \mathrm{kg} }{ \mathrm{m}^3 } $$

Masse pro Volumen am Ort $ \boldsymbol{r} $.

Du möchtest also das Trägheitsmoment $ I $ eines starren Systems berechnen, das sich um eine feste Achse dreht. Die Drehachse musst du natürlich festlegen. Das Trägheitsmoment wirkt der Drehbewegung entgegen und ist von der Massenverteilung des Systems abhängig, die um die Drehachse herum verteilt ist. Hierbei müssen wir unterscheiden, ob das System eine diskrete Massenverteilung hat (z.B. Planeten, die um die Sonne kreisen) oder ob es eine kontinuierliche Massenverteilung hat (z.B. ein rotierender Zylinder).

Bei einer diskreten Massenverteilung hast du $N$ Massen, die im Raum verteilt sind und unterschiedliche Abstände $r$ von der Drehachse haben. Um das Trägheitsmoment $ I $ für dieses diskrete rotierende System zu bestimmen, musst du die einzelnen Massen $ \class{brown}{m_i} $ und ihre zur Drehachse senkrechten Abstände $ r_{\perp i} $ kennen:

$$ \begin{align} I ~&=~ \class{brown}{m_1} \, {r_{\perp 1}}^2 ~+~ \class{brown}{m_2} \, {r_{\perp 2}}^2 ~+~ ... ~+~ \class{brown}{m_N} \, {r_{\perp N}}^2 \\\\
~&=~ \underset{i~=~1}{\overset{N}{\boxed{+}}} \, \class{brown}{m_i} \, {r_{\perp i}}^2 \end{align} $$

Bei einer kontinuierlichen Massenverteilung hast du keine einzelnen Massen, sondern die Gesamtmasse ist über einen bestimmten Raumbereich "verschmiert". Ein Hohlzylinder hat beispielsweise eine kontinuierliche Massenverteilung, bei dem seine Masse auf seiner Oberfläche verschmiert ist. Um das Trägheitsmoment $ I $ eines solchen Systems zu berechnen, musst du diskrete Summation in 1 durch ein Integral ersetzen und die Massen $ \class{brown}{m_i} $ durch die Massendichte $\rho(\boldsymbol{r})$. Dann integrierst du über das Volumen $V$ des rotierenden Systems:

$$ \begin{align} I ~=~ \int_V \, r_{\perp}^2 \, \rho(\boldsymbol{r}) \, \text{d}v \end{align} $$

Die gegebene Massendichte $\rho(\boldsymbol{r})$ ist bei einem dreidimensionalen System vom Ortsvektor $\boldsymbol{r} $ abhängig und das Volumenelement $\text{d}v$, in dem sich die Masse $\rho(\boldsymbol{r}) \text{d}v$ befindet, hat den senkrechten Abstand $ r_{\perp} $ zur Drehachse.

Wenn die theoretische Bestimmung mithilfe des Integrals schwierig ist (weil das System keine Symmetrien hat), dann kann das Trägheitsmoment experimentell bestimmt werden. Dazu wird das Gesamtdrehmoment $M$ und die Winkelbeschleunigung $\alpha$ gemessen und aus ihrem Verhältnis das Trägheitsmoment $I$ berechnet:

$$ \begin{align} I ~=~ \frac{M}{\alpha} \end{align} $$

Drehmoment und Winkelbeschleunigung einer Scheibe (kontinuierliche Massenverteilung).