Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Rydberg-Formel: Das Energiespektrum des Wasserstoffatoms verstehen

Wichtige Formel

Formel: Rydberg-Energieformel für H-Atom

$$W ~=~ \frac{ 13.6 \, \mathrm{eV} }{ n^2 }$$ $$W ~=~ \frac{ 13.6 \, \mathrm{eV} }{ n^2 }$$ $$n ~=~ \sqrt{ \frac{ 13.6 \, \mathrm{eV} }{ W } }$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Bindungsenergie

$$ W $$ Einheit $$ \mathrm{J} = \mathrm{Nm} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m^2} }{ \mathrm{s}^2 } $$

Energie, die notwendig ist, um ein Elektron, das sich im Zustand $ n $ befindet, aus dem H-Atom herauszuschlagen. Beispielsweise ist die Bindungsenergie des Elektrons im Grundzustand $ n = 1 $: $ 13.6 \, \mathrm{eV} $.

Hauptquantenzahl

$$ n $$ Einheit $$ - $$

Das ist eine ganze Zahl, die ein Energieniveau des H-Atoms angibt. Das Elektron im H-Atom kann diesen Energiezustand, der durch $n$ beschrieben wird, annehmen.

Hierbei ist:

$ n = 1 $ der Grundzustand.
$ n = 2 $ der erste angeregte Zustand.
$ n = 3 $ der zweite angeregte Zustand.
und so weiter...

Inhaltsverzeichnis

Wichtige Formel
Übungen mit Lösungen

Die Rydberg-Formel beschreibt die Wellenlängen $ \lambda$ von Linien im Spektrum des Wasserstoffatoms. Sie beschreibt aber auch genauso die diskreten Energieniveaus $ W$ des Wasserstoffatoms:

$$ \begin{align} W ~=~ \frac{ 13.6 \, \mathrm{eV} }{ n^2 } \end{align} $$

Wasserstoff (H-Atom) - Termschema (Energieniveaus)

$$ \begin{align} \lambda ~=~ \frac{1}{R \, \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)} \end{align} $$

$$ \begin{align} f ~=~ R_{\text f} \, \left( \frac{1}{n^2} ~-~ \frac{1}{m^2} \right) \end{align} $$

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe: Übergang von n=2 auf n=3 im Wasserstoffatom

Betrachte im Bohr-Atommodell den Übergang vom Energieniveau $ n ~=~ 2 $ auf $ n ~=~ 3 $.

Wie groß ist die Energie (in Elektronenvolt), die das Elektron braucht, um vom Zustand $ n ~=~ 2 $ auf einen höheren Zustand $ n ~=~ 3 $ zu wechseln?
Welche Lichtfrequenz $ f $ kann diesen Übergang realisieren?
Welcher Wellenlänge $ \lambda $ entspricht diese Frequenz?
Welcher Wellenzahl $ k $ entspricht diese Frequenz?

Lösung zur Aufgabe #1.1

Ein Übergang des Elektrons vom Energieniveau $ n ~=~ 2 $ auf $ n ~=~ 3 $ entspricht der sogenannten $ H_{\alpha} $-Linie im Wasserstoffatom im Bohr-Atommodell.

Die Bindungsenergie des Elektrons im Zustand $ n ~=~ 2 $ ist: $$ W_2 ~=~ \frac{-13.6 \, \text{eV}}{n^2} ~=~ \frac{-13.6 \, \text{eV}}{2^2} ~=~ -3.4 \, \text{eV} $$ analog für die Bindungsenergie im Zustand $ n ~=~ 3 $.

Dementsprechend braucht das Elektron für den Übergang von $ n ~=~ 2 $ auf $ n ~=~ 3 $ folgende Menge an Energie: $$W_2 ~-~ W_3 ~=~ -3.4 \, \text{eV} ~-~ (-1.5 \, \text{eV}) ~=~ -1.9 \, \text{eV} $$

Lösung zur Aufgabe #1.2

Zur Berechnung der Frequenz des Photons, welches in der Lage ist diesen Übergang zu gewährleisten, benutze die folgende Beziehung: $$ W ~=~ h \, f $$

Die notwendige Energie $ W ~=~ |-1.9 \, \text{eV}| $ für den Übergang wurde im Aufgabenteil (a) berechnet. Also ist die nötige Frequenz $ f $ des Photons: $$ f ~=~ \frac{E}{h} ~=~ \frac{ 1.9 \, \text{eV} }{ 6.6 \cdot10^{-34} \, \text{Js} } ~=~ \frac{ 1.9 \, \text{V} \,\cdot\, 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{As} }{ 6.6 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} } ~=~ 4.6 \cdot 10^{14} \, \frac{1}{\text s} ~=~ 460 \, \text{THz} $$

Lösung zur Aufgabe #1.3

Jeder Frequenz $ f $ eines Photons kann auch eine Wellenlänge $ \lambda $ zugeordnet werden. Die Frequenz und Wellenlänge sind durch Lichtgeschwindigkeit $ c $ miteinander verknüpft: $$ \lambda ~=~ \frac{c}{f} ~=~ \frac{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\text m}{\text s} }{ 4.6 \,\cdot\, 10^{14} \, \frac{1}{\text s} } ~=~ 6.5 \,\cdot\, 10^{-7} \, \text{m} ~=~ 650 \,\cdot\, 10^{-9} \, \text{m} ~=~ 650 \, \text{nm}$$

Lösung zur Aufgabe #1.4

Um zu verdeutlichen, wie oft das Photon mit Wellenlänge $ \lambda ~=~ 650 \, \text{nm} $ (siehe Aufgabenteil 1.3) pro Meter eine Schwingung ausführt, berechnest Du die Wellenzahl: $$k ~=~ \frac{1}{\lambda} ~=~ \frac{1}{650 \cdot 10^{-9} \, \text{m} } ~=~ 1.5 \cdot 10^6 \, \frac{1}{\text m} $$