Alexander Fufaev
Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Rydberg-Formel: Das Energiespektrum des Wasserstoffatoms verstehen

Wichtige Formel

Formel: Rydberg-Energieformel für H-Atom
Was bedeuten diese Formelzeichen?

Bindungsenergie

Einheit
Energie, die notwendig ist, um ein Elektron, das sich im Zustand \( n \) befindet, aus dem H-Atom herauszuschlagen. Beispielsweise ist die Bindungsenergie des Elektrons im Grundzustand \( n = 1 \): \( 13.6 \, \mathrm{eV} \).

Hauptquantenzahl

Einheit
Das ist eine ganze Zahl, die ein Energieniveau des H-Atoms angibt. Das Elektron im H-Atom kann diesen Energiezustand, der durch \(n\) beschrieben wird, annehmen.

Hierbei ist:

  • \( n = 1 \) der Grundzustand.
  • \( n = 2 \) der erste angeregte Zustand.
  • \( n = 3 \) der zweite angeregte Zustand.
  • und so weiter...
Wasserstoff (H-Atom) - Termschema (Energieniveaus)
Inhaltsverzeichnis
  1. Wichtige Formel
  2. Übungen mit Lösungen

Die Rydberg-Formel beschreibt die Wellenlängen \( \lambda\) von Linien im Spektrum des Wasserstoffatoms. Sie beschreibt aber auch genauso die diskreten Energieniveaus \( W\) des Wasserstoffatoms:

Wasserstoff (H-Atom) - Termschema (Energieniveaus)

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe: Übergang von n=2 auf n=3 im Wasserstoffatom

Betrachte im Bohr-Atommodell den Übergang vom Energieniveau \( n ~=~ 2 \) auf \( n ~=~ 3 \).

  1. Wie groß ist die Energie (in Elektronenvolt), die das Elektron braucht, um vom Zustand \( n ~=~ 2 \) auf einen höheren Zustand \( n ~=~ 3 \) zu wechseln?
  2. Welche Lichtfrequenz \( f \) kann diesen Übergang realisieren?
  3. Welcher Wellenlänge \( \lambda \) entspricht diese Frequenz?
  4. Welcher Wellenzahl \( k \) entspricht diese Frequenz?

Lösung zur Aufgabe #1.1

Ein Übergang des Elektrons vom Energieniveau \( n ~=~ 2 \) auf \( n ~=~ 3 \) entspricht der sogenannten \( H_{\alpha} \)-Linie im Wasserstoffatom im Bohr-Atommodell.

Die Bindungsenergie des Elektrons im Zustand \( n ~=~ 2 \) ist: $$ W_2 ~=~ \frac{-13.6 \, \text{eV}}{n^2} ~=~ \frac{-13.6 \, \text{eV}}{2^2} ~=~ -3.4 \, \text{eV} $$ analog für die Bindungsenergie im Zustand \( n ~=~ 3 \).

Dementsprechend braucht das Elektron für den Übergang von \( n ~=~ 2 \) auf \( n ~=~ 3 \) folgende Menge an Energie: $$W_2 ~-~ W_3 ~=~ -3.4 \, \text{eV} ~-~ (-1.5 \, \text{eV}) ~=~ -1.9 \, \text{eV} $$

Lösung zur Aufgabe #1.2

Zur Berechnung der Frequenz des Photons, welches in der Lage ist diesen Übergang zu gewährleisten, benutze die folgende Beziehung: $$ W ~=~ h \, f $$

Die notwendige Energie \( W ~=~ |-1.9 \, \text{eV}| \) für den Übergang wurde im Aufgabenteil (a) berechnet. Also ist die nötige Frequenz \( f \) des Photons: $$ f ~=~ \frac{E}{h} ~=~ \frac{ 1.9 \, \text{eV} }{ 6.6 \cdot10^{-34} \, \text{Js} } ~=~ \frac{ 1.9 \, \text{V} \,\cdot\, 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{As} }{ 6.6 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} } ~=~ 4.6 \cdot 10^{14} \, \frac{1}{\text s} ~=~ 460 \, \text{THz} $$

Lösung zur Aufgabe #1.3

Jeder Frequenz \( f \) eines Photons kann auch eine Wellenlänge \( \lambda \) zugeordnet werden. Die Frequenz und Wellenlänge sind durch Lichtgeschwindigkeit \( c \) miteinander verknüpft: $$ \lambda ~=~ \frac{c}{f} ~=~ \frac{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\text m}{\text s} }{ 4.6 \,\cdot\, 10^{14} \, \frac{1}{\text s} } ~=~ 6.5 \,\cdot\, 10^{-7} \, \text{m} ~=~ 650 \,\cdot\, 10^{-9} \, \text{m} ~=~ 650 \, \text{nm}$$

Lösung zur Aufgabe #1.4

Um zu verdeutlichen, wie oft das Photon mit Wellenlänge \( \lambda ~=~ 650 \, \text{nm} \) (siehe Aufgabenteil 1.3) pro Meter eine Schwingung ausführt, berechnest Du die Wellenzahl: $$k ~=~ \frac{1}{\lambda} ~=~ \frac{1}{650 \cdot 10^{-9} \, \text{m} } ~=~ 1.5 \cdot 10^6 \, \frac{1}{\text m} $$