Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

RLC-Reihenschaltung

Wichtige Formel

Formel: RLC-Reihenschaltung

$$|Z| ~=~ \sqrt{ R^2 ~+~ \left( \class{green}{\omega} \, \class{brown}{L} ~-~ \frac{1}{\class{green}{\omega} \, \class{purple}{C}} \right)^2 }$$ $$|Z| ~=~ \sqrt{ R^2 ~+~ \left( \class{green}{\omega} \, \class{brown}{L} ~-~ \frac{1}{\class{green}{\omega} \, \class{purple}{C}} \right)^2 }$$ $$R ~=~ \sqrt{ |Z|^2 ~-~ \left( \omega \, L ~-~ \frac{1}{\omega \, C} \right)^2 }$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Impedanz

$$ |Z| $$ Einheit $$ \mathrm{\Omega} $$

Impedanz (auch Blindwiderstand genannt) ist der Betrag des komplexen Widerstands $ Z $. Diese Formel gibt die Gesamtimpedanz einer Widerstand-Spule-Kondensator-Reihenschaltung an, kurz: RLC-Reihenschaltung. Um diese Formel zu bekommen, wurde der Satz des Pythagoras auf ein Zeigerdiagramm angewendet, an dem die drei komplexen Widerstände eingezeichnet sind:

Ohmsche Impedanz: $Z_{\text R } ~=~ R $.
Induktive Impedanz: $Z_{\text L } ~=~ \text{i} \, \omega \, L $.
Kapazitive Impedanz: $Z_{\text C } ~=~ -\text{i}\frac{1}{\omega \, C} $.

Induktivität

$$ L $$ Einheit $$ \mathrm{H} = \frac{ \mathrm{Vs} }{ \mathrm{A} } $$

Die Induktivität der an den RLC-Schaltkreis angeschlossenen Spule.

Elektrische Kapazität

$$ C $$ Einheit $$ \mathrm{F} = \frac{ \mathrm{C} }{ \mathrm{V} } $$

Elektrische Kapazität des an den RLC-Schaltkreis angeschlossenen Kondensators.

Elektrischer Widerstand

$$ R $$ Einheit $$ \mathrm{\Omega} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 }{ \mathrm{A}^2 \, \mathrm{s}^3 } $$

Elektrischer Widerstand, der an den RLC-Reihenschaltkreis angeschlossenen ist.

Kreisfrequenz

$$ \class{green}{\omega} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s} $$

Die Kreisfrequenz $ \omega = 2\pi \, f $ gibt an, mit welcher Frequenz $f$ der LRC-Schaltkreis schwingt. Die Frequenz $f$ wird beispielsweise durch die Frequenz der angelegten Wechselspannung vorgegeben.

Inhaltsverzeichnis

Wichtige Formel
Übungen mit Lösungen

Eine RLC-Reihenschaltung besteht aus einem Widerstand $ R $, einer Induktivität $ L $ und einer Kapazität $ C $, die hintereinander in einem elektrischen Schaltkreis angeordnet sind. Diese Komponenten bilden eine Serie von aufeinander folgenden Elementen, durch die der Strom fließen kann.

RLC-Reihenschaltung von Widerstand (R), Spule (L) und Kondensator (C)

$$ \begin{align} |Z| ~=~ \sqrt{ R^2 ~+~ \left( \class{green}{\omega} \, \class{brown}{L} ~-~ \frac{1}{\class{green}{\omega} \, \class{purple}{C}} \right)^2 } \end{align} $$

$$ \begin{align} \tan(\varphi) ~=~ \frac{ \class{green}{\omega} \, \class{brown}{L} ~-~ \frac{1}{\class{green}{\omega} \, \class{purple}{C}} }{ R } \end{align} $$

$$ \begin{align} I_0 ~=~ \frac{ U_0 }{ \sqrt{ R^2 ~+~ \left( \class{green}{\omega} \, \class{brown}{L} ~-~ \frac{1}{\class{green}{\omega} \, \class{purple}{C}} \right)^2 } } \end{align} $$

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Lichtbogen durch Induktion - Funkenlöschung mit Kondensator (Snubber)

Wird durch die Spule fließende Strom mit einem Schalter abgeschaltet, entsteht kurzzeitig eine hohe Spannung am Schalter, die zu einem elektrischen Funken führt.

Die Spule besitzt ene Induktivität $L = 4.2 \, \text{H} $ und durch sie fließt ein Strom $ I = 1 \, \text{A}$. Um den Lichtbogen am Schalter zu beseitigen, wird ein Kondensator parallel zur Spule geschaltet, der höchstens $ 500 \, \text{V} $ verkraften kann.

Welche Kapatität $C$ muss der Kondensator dafür besitzen?

Lösung zur Aufgabe #1

Für die Spule gilt: \[ U ~=~ L \, \frac{dI}{dt} \]

In diesem Fall kannst Du schreiben: \[ U ~=~ L \, \frac{I}{\Delta t} \]

Kapazität in einem Kondensator ist: \[ C ~=~ \frac{Q}{U} \] wobei Ladung $ Q ~=~ I \, t $ ist, also: \[ C ~=~ \frac{I\Delta t}{U} \]

Nach der Zeit umformen: \[ \Delta t ~=~ \frac{L\,I}{U} \]

Einsetzen in Gleichung mit $ C $:

\[ C ~=~ \frac{I^2 L}{U^2} \]

Damit beträgt die konkrete Kapazität: \[ C ~=~ 1.68 \,\cdot\, 10^{-5} \, \text{F} ~=~ 16.8 \, \mu\text{F} \]

Alternativ kann die Energieerhaltung $\frac{1}{2}\,C\,U^2 = \frac{1}{2}\,L\,I^2$ ausgenutzt werden.