Alexander Fufaev
Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Quantenzahlen n, l, m und die Elektronenkonfiguration

Inhaltsverzeichnis
  1. Hauptquantenzahl
  2. Nebenquantenzahl
  3. Magnetische Quantenzahl
  4. Spin-Quantenzahl
  5. Elektronenkonfiguration von Elektronen in einem Atom
  6. Übungen mit Lösungen

Quantenzahlen \(\class{red}{n}\), \(\class{green}{l}\), \(\class{violet}{m}\) und \(\class{brown}{s}\) beschreiben die Verteilung der Elektronen in einem Atom. Diese Verteilung der Elektronen nennen wir Elektronenkonfiguration.

Die Quantenzahlen charakterisieren verschiedene Lösungen \(\Psi_{\class{red}{n},\class{green}{l},\class{violet}{m},\class{brown}{s}}\) der Schrödinger-Gleichung. Die verschiedenen Lösungen \(\Psi_{\class{red}{n},\class{green}{l},\class{violet}{m},\class{brown}{s}}\) der Schrödinger-Gleichung beschreiben verschiedene Orbitale eines Atoms.

Ein Orbital ist ein Raumgebiet um ein Atom herum, in dem sich das Elektron, das durch die Wellenfunktion \(\Psi_{\class{red}{n},\class{green}{l},\class{violet}{m},\class{brown}{s}}\) beschrieben wird, mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit aufhält. Das Elektron mit der Elektronenkonfiguration \(\class{red}{n}, \class{green}{l}, \class{violet}{m}, \class{brown}{s})\) kann sich nur auf dem dazugehörigen Orbital befinden. Die Wahrscheinlichkeit es irgendwo anders zu finden ist Null.

Hauptquantenzahl

Hauptquantenzahl \(\class{red}{n}\) bestimmt die Energie, also die Schale, in der sich ein Elektron befindet.

  • \(\class{red}{n} = 1\) ist die K-Schale.
  • \(\class{red}{n} = 2\) ist die L-Schale.
  • \(\class{red}{n} = 3\) ist die M-Schale.
  • \(\class{red}{n} = 4\) ist die N-Schale.
  • und so weiter.
Schalenmodell von Aluminium

Die Hauptquantenzahl kann also ganzzahlige Werte ab 1 (für die erste Schale) annehmen und erhöht sich in Einheiten von 1 für nachfolgende Schalen. Die \(\class{red}{n}\)-te Schale kann maximal mit \(2\class{red}{n}^2\) Elektronen besetzt werden.

Nebenquantenzahl

Nebenquantenzahl (Drehimpulsquantenzahl) \(\class{green}{l}\) beschreibt den Bahndrehimpuls des Elektrons und die Form des Orbitals auf dem sich dieses Elektron aufhält.

Drehimpulsquantenzahl nimmt nicht-negative ganze Zahlen von 0 bis \(\class{red}{n} - 1 \) an. Die Werte von \(\class{green}{l}\) bestimmen die Unterschale innerhalb einer Schale:

  • \(\class{green}{l} = 0\) ist das s-Orbital.
  • \(\class{green}{l} = 1\) ist das p-Orbital.
  • \(\class{green}{l} = 2\) ist das d-Orbital.
  • \(\class{green}{l} = 3\) ist das f-Orbital.
  • und so weiter bis \(\class{green}{l} = \class{red}{n} - 1\).

Wenn die Hauptquantenzahl eines Elektrons \( \class{red}{n} = 2 \) ist, dann kann seine Nebenquantenzahl \(\class{green}{l} = 0\) oder \(\class{green}{l} = 1\). Die Nebenquantenzahl nimmt in diesem Fall also zwei mögliche Werte \(\class{green}{l} = 0,1\) an.

Magnetische Quantenzahl

Magnetische Quantenzahl \(\class{violet}{m}\) beschreibt die Anzahl der Orbitale in einer Unterschale und ihre räumliche Ausrichtung.

Die magnetische Quantenzahl nimmt ganze Zahlen von \(\class{violet}{m}=-\class{green}{l}\) bis \(\class{violet}{m}=\class{green}{l}\) an.

  • Für ein s-Elektron mit \(\class{green}{l} = 0\) ist \(\class{violet}{m} = 0\).
  • Für ein p-Elektron mit \(\class{green}{l} = 1\) ist \(\class{violet}{m} = -1,0,1\).
  • Für ein d-Elektron mit \(\class{green}{l} = 2\) ist \(\class{violet}{m} = -2,-1,0,1,2\).
  • Für ein f-Elektron mit \(\class{green}{l} = 3\) ist \(\class{violet}{m} = -3,-2,-1,0,1,2,3\).
  • und so weiter.

Spin-Quantenzahl

Spin-Quantenzahl \(\class{brown}{s}\) beschreibt anschaulich gesprochen den Drehimpuls eines Elektrons. Die Spin-Quantenzahl eines Elektrons kann zwei mögliche Werte annehmen: \(\class{brown}{s} = \frac{1}{2}\) (wir sagen: Spin up) oder \(\class{brown}{s} = -\frac{1}{2}\) (wir sagen: Spin down).

Elektronenkonfiguration von Elektronen in einem Atom

Die Elektronenkonfiguration eines Atoms beschreibt, wie seine Elektronen auf die verschiedenen Atomorbitale verteilt sind. Sie folgt dem Aufbauprinzip, dem Pauli-Ausschlussprinzip und der Hundschen Regel, die wir in den nächsten Lektionen kennenlernen werden. Die Elektronenkonfiguration wird typischerweise mit der Notation dargestellt, die die Anzahl der Elektronen in jedem Unterschalen angibt: $$ (\class{red}{\text{Hauptquantenzahl}}) \, (\class{green}{\text{Nebenquantenzahl}})^{\text{Z}} $$

In der \(\class{red}{n}\)-ten Schale mit der Nebenquantenzahl \(\class{green}{l}\) befinden sich \(Z\) Elektronen. \(Z\) ist die Anzahl der Elektronen in der jeweiligen Schale und Unterschale. Schauen wir uns ein paar konkrete Beispiele an:

  • Hydrogenium (H) hat \( Z = 1 \) Elektronen. Seine Elektronenkonfiguration ist \( \class{red}{1}\class{green}{s}^1 \). Das bedeutet: Ein Elektron befindet sich auf dem \( \class{red}{1}\class{green}{s}\)-Orbital.
  • Helium (He) hat \( Z = 2 \) Elektronen. Seine Elektronenkonfiguration ist \( \class{red}{1}\class{green}{s}^2 \). Das bedeutet: Zwei Elektronen befinden sich auf dem \( \class{red}{1}\class{green}{s}\)-Orbital.
  • Lithium (Li) hat \( Z = 3 \) Elektronen. Seine Elektronenkonfiguration ist \( \class{red}{1}\class{green}{s}^2\,\class{red}{2}\class{green}{s}^1 \). Das bedeutet: Zwei Elektronen befinden sich auf dem \( \class{red}{1}\class{green}{s}\)-Orbital. Und ein Elektron befinden sich auf dem \( \class{red}{2}\class{green}{s}\)-Orbital. Wir können die Elektronenkonfiguration von Lithium auch so \( \text{[He]}\,\class{red}{2}\class{green}{s}^1 \) schreiben, weil zwei Elektronen des Lithium-Atoms genauso verteilt sind wie beim Heilum-Atom.
  • Beryllium (Be) hat \( Z = 4 \) Elektronen. Seine Elektronenkonfiguration ist \( \class{red}{1}\class{green}{s}^2\,\class{red}{2}\class{green}{s}^2 \). Oder etwas kompakter: \( \text{[He]}\,\class{red}{2}\class{green}{s}^2 \).
  • Borium (B) hat \( Z = 5 \) Elektronen. Seine Elektronenkonfiguration ist \( \class{red}{1}\class{green}{s}^2\,\class{red}{2}\class{green}{s}^2\,\class{red}{2}\class{green}{p}^1 \). Oder etwas kompakter: \( \text{[Be]}\,\class{red}{2}\class{green}{p}^1 \).

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Quantenzahlen und Anzahl der Orbitale beim H-Atom

Das Elektron des Hydrogenium-Atoms (Wasserstoffatom) kann nicht eine beliebige Bindungsenergie haben, sondern kann nur diskrete Energien \( W_n \) annehmen, die durch die Hauptquantenzahl \( n \) charakterisiert sind. Die einzelnen Energiezustände des Elektrons werden insbesondere in der Chemie mit Buchstaben K, L, M, N etc. bezeichnet.

  1. Welche Energie hat das Elektron in der K-, L- und M-Schale?
  2. Wie viele Orbitale \( N \) besitzt das H-Atom, wenn die Energie des Elektrons \( W_n \lt -0.5 \,\mathrm{eV} \) ist?
  3. Zähle alle möglichen Orbitale auf, indem Du ihren \( (n, l, \class{violet}{m}) \)-Zustand angibst. Wieviele Orbitale davon haben die Nebenquantenzahl \( l=2 \)?
  4. Welche Energie muss das Elektron besitzen, damit das H-Atom mindestens 200 Orbitale aber maximal 300 Orbitale besitzt?

Tipps: Benutze die Rydberg-Formel, um die einzelnen Energiezustände für die jeweiligen Schalen zu bestimmen: \[ W_n = -W_{\text R} \, \frac{1}{n^2} \]

Hierbei ist \( W_{\text R} = 13.6 \, \text{eV} \) der Energiebetrag des Grundzustands \( n = 1 \), also der Betrag der tiefsten Energie, die das Elektron im H-Atom annehmen kann.

Das Schalenmodell ist eine Vereinfachung des Orbitalmodells. Die Schale K steht für \( n = 1 \). Die Schale L steht für \( n = 2 \). Die Schale M steht für \( n = 3 \).

Zur Aufgabe #1.2: Anzahl der Orbitale \( N \) pro Hauptquantenzahl \( n \) ist gegeben durch \( n^2 \).

Zur Aufgabe #1.3: Die Nebenquantenzahl \( l \) hat die Einschränkung: \( l \lt n \) und startet mit \(l=0\). Die magnetische Quantenzahl \( \class{violet}{m} \) kann die Werte \( -l \leq \class{violet}{m} \leq l \) annehmen.

Lösung zur Aufgabe #1.1

Die Energie des Elektrons ist gegeben durch die Rydberg-Formel: 1 $$W_n = -W_{\text R} \, \frac{1}{n^2}$$

Hierbei ist \( W_{\text R} = 13.6 \, \text{eV} \) die Rydberg-Energie, die den Energiebetrag des Grundzustands (\( n = 1 \)) im H-Atom angibt. Das Minuszeichen in Gl. 1 sagt aus, dass das Elektron im H-Atom gebunden ist. Das heißt: Die Energie muss aufgewendet werden, um das H-Atom zu ionisieren (das Elektron vom H-Atom zu entfernen).

Mithilfe von 1 kannst Du die Energie des Elektrons in der K-Schale (\( n = 1 \)) bestimmen: $$W_n = -W_{\text R} \cdot \frac{1}{1^2} = -13.6 \, \text{eV}$$

Energie des Elektrons in der L-Schale (\( n = 2 \)): $$W_n = -W_{\text R} \cdot \frac{1}{2^2} = -3.4 \, \text{eV}$$

Energie des Elektrons in der M-Schale (\( n = 3 \)): $$W_n = -W_{\text R} \cdot \frac{1}{3^2} = -1.51 \, \text{eV}$$

Lösung zur Aufgabe #1.2

Die Anzahl \( N_{n} \) der Orbitale (ohne Spin) für ein Energieniveau \( n \) ist gegeben durch die Hauptquantenzahl zum Quadrat und steckt indirekt in der Rydberg-Formel Aufgabenteil #1.1 Gl.1: 1 $$N_{n} ~=~ n^2$$

Die Hauptquantenzahl \( n \) ist, wenn Du die Rydberg-Formel anschaust, größer, je größer der Energiebetrag des Elektrons ist. Damit ist nach Gl. Aufgabenteil #1.2 Gl.1 auch die Anzahl der Orbitale größer. Nach der Aufgabe ist die Energie mit \(W_n\) vorgegeben und soll kleiner sein als \( W_n \lt -0.5 \, \text{eV} \). "Kleiner als" bedeutet, dass Du statt dem Gleichheitszeichen das Kleiner-Zeichen benutzen musst. Setze in dieser Ungleichung für \(W_n\) die Rydberg-Formel ein: 2 $$- W_{\text R} \, \frac{1}{n^2} ~\lt~ -0.5 \, \text{eV}$$

Forme die Gleichung nach \(n\) um: 3 $$n \lt \sqrt{ \frac{13.6 \, \mathrm{eV} }{ 0.5 \, \mathrm{eV} } }$$

Beachte, dass das Kleiner-Zeichen sich umgedreht hat, weil beide Seiten mit "-" multipliziert wurden. Rechne die Wurzel aus: 4 $$n ~\lt~ 5.2$$

Damit ist die größte Hauptquantenzahl nach Gl. 4: \( n = 5 \). Bedenke, dass solche Hauptquantenzahlen wie \( n=5.2\) NICHT gibt. Daraus bestimmst Du mithilfe von Gl. #1.2 Gl.1 die Orbitalanzahl. Dabei summierst Du die Anzahl von 1 bis 5: 5 $$N ~=~ 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55$$

Die Summe der Quadrate \( n^2 \), die Dir die Anzahl der Orbitale verrät, kannst Du allgemein folgendermaßen berechnen: 6 $$N ~=~ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Lösung zur Aufgabe #1.3

Nachdem die Anzahl der Orbitale im Aufgabenteil #1.2 bestimmt wurde, kannst Du auch Dich fragen, welche genauen Zustände (also Quantenzahlen) haben diese 55 Orbitale? Ein Orbital wird durch die drei Quantenzahlen bestimmt:
  • Hauptquantenzahl \( n \), wobei sie nur ganze Zahlen annehmen kann \(n = 1,2,3... \).
  • Nebenquantenzahl \( l \), wobei sie stets kleiner als die Hauptquantenzahl ist. Und die maximale Hauptquantenzahl ist: \( l = n-1 \). Wie jede andere Quantenzahl kann sie ebenfalls nur ganze Zahlen annehmen. Sie kann im Gegensatz zu \( n \) den Wert \( l = 0 \) haben.
  • Magnetische Quantenzahl \( \class{violet}{m} \), wobei sie zwischen minimaler Nebenquantenzahl \(-l \) und maximaler Nebenquantenzahl \(l\) liegt \( -l \leq \class{violet}{m} \leq l \).

Um die konkreten Orbitale zu bestimmen, musst Du den Zahlentripel \( (n,l,\class{violet}{m})\) angeben und zwar in diesem Fall 55 Zahlentripel, wegen 55 möglichen Orbitalen. In Aufgabe #1.2 hast Du die maximale Hauptquantenzahl \( n = 5 \) für die Energie \( E \lt -0.5 \, \text{eV} \) bestimmt. Damit ist die maximale Nebenquantenzahl, \( l = n-1 = 5-1 = 4 \).

Die magnetische Quantenzahl kann für \( l = 4 \) nur folgende Werte annehmen: $$\class{violet}{m} = \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$$

Die magnetische Quantenzahl für \( l = 3 \) dagegen: $$\class{violet}{m} = \{-3,-2,-1,0,1,2,3 \}$$

Die magnetische Quantenzahl für \( l = 2 \): $$\class{violet}{m} = \{-2,-1,0,1,2 \}$$

Die magnetische Quantenzahl für \( l = 1 \): $$\class{violet}{m} = \{-1,0,1 \}$$

Die magnetische Quantenzahl für \( l = 0 \) ist \( \class{violet}{m} = \{ 0 \} \).

Wenn Du alle Möglichkeiten, unter Beachtung der obigen Bedingungen für die Quantenzahlen durchgehst, dann bekommst Du genau 55 Orbitale. Starte also bei \( n = 1 \) und gehe die Bedingungen durch. Dann gehe zu \( n = 2 \) über und gehe die Bedingungen durch und so weiter. Die nachfolgende Tabelle fasst alle Möglichkeiten bis \(n=5\) zusammen:

Alle Orbitale bis zum 5-ten Energieniveau
Hauptquantenzahl \( n\) Nebenquantenzahl \(l\) Orbital \( (n,l,\class{violet}{m})\)
10(1,0,0)
20(2,0,0)
21(2,1,-1)
21(2,1,0)
21(2,1,1)
30(3,0,0)
31(3,1,-1)
31(3,1,0)
31(3,2,1)
32(3,2,-2)
32(3,2,-1)
32(3,2,0)
32(3,2,1)
32(3,2,2)
40(4,0,0)
41(4,1,-1)
41(4,1,0)
41(4,1,1)
42(4,2,-2)
42(4,2,-1)
42(4,2,0)
42(4,2,1)
42(4,2,2)
43(4,3,-3)
43(4,3,-2)
43(4,3,-1)
43(4,3,0)
43(4,3,1)
43(4,3,2)
43(4,3,3)
50(5,0,0)
51(5,1,-1)
51(5,1,0)
51(5,1,1)
52(5,2,-2)
52(5,2,-1)
52(5,2,0)
52(5,2,1)
52(5,2,2)
53(5,3,-3)
53(5,3,-2)
53(5,3,-1)
53(5,3,0)
53(5,3,1)
53(5,3,2)
53(5,3,3)
54(5,4,-4)
54(5,4,-3)
54(5,4,-2)
54(5,4,-1)
54(5,4,0)
54(5,4,1)
54(5,4,2)
54(5,4,3)
54(5,4,4)

Die zweite Frage war, wie viele Orbitale die Nebenquantenzahl \( l =2 \) besitzen. Das kannst Du leicht an der Tabelle abzählen. Dabei können die Energien mit \( n=1\) und \(n=2\) natürlich keinen Zustand mit Nebenquantenzahl \( l=2\) haben, weil sie sonst die Bedingung \( l \lt n \) nicht erfüllen würden. Es kommen also nur die Hauptquantenzahlen größer als 2 in Frage. In unserem Fall \( n = 3,4,5\) (insgesamt 3 Hauptquantenzahlen).

Jeder Energiezustand mit \( n \gt 2 \) enthält genau fünf \(l=2\) Zustände, zum Beispiel für \( n = 3 \) sind es (3,2,-2), (3,2,-1), (3,2,0), (3,2,1) und (3,2,2). Drei Hauptquantenzahlen haben somit \(3 \cdot 5=15\) Orbitale mit \(l=2\). Alternativ kannst Du die Anzahl \(N(l)\) der Orbitale mit beliebigem \(l\) folgendermaßen berechnen: $$N(l) ~=~ (n_{\text{max}}-l) \cdot (2l + 1)$$

Natürlich muss dabei stets die Bedingung \( n \gt l \) erfüllt sein.

Lösung zur Aufgabe #1.4

Gesucht ist die Energie \( W_n \), bei der die minimale Orbitalanzahl \( N_{\text{min}} = 200 \) und die maximale Orbitalanzahl \( N_{\text{max}} = 300 \) beträgt. Die Energie \(W_n\) muss also in einem bestimmten Energiebereich liegen, damit diese beiden Bedingungen erfüllt sind. Dazu brauchst Du die Formel 11 aus Teilaufgabe (b), die Dir allgemein die Anzahl der Orbitale im H-Atom angibt. Hier ist sich nochmal: $$N ~=~ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Gesucht ist die Hauptquantenzahl \( n \), damit Du daraus dann mit der Rydberg-Formel die Mindestenergie bestimmen kannst. Stelle dazu die Gleichung so um, dass sie die folgende Form hat: $$0 ~=~ 2n^3 + 3n^2 + n - 6N$$

Wie Du an dieser Gleichung siehst, kannst Du nicht einfach nach \( n \) auflösen, weil es ein Polynom 3. Grades ist. Benutze dazu Deinen Taschenrechner oder Internet, mit dem Du die Nullstellen (also die Lösungen) herausfinden kannst. Du bekommst dann die folgende reelle Lösung, wenn Du \(N=N_{\text{min}}=200\) einsetzt: n=7.944. Und, wenn Du \(N=N_{\text{max}}=300\) einsetzt, dann bekommst Du als Lösung: \(n=9.164\). Das heißt: Das H-Atom besitzt zwischen 200 und 300 Orbitale genau dann, wenn die Hauptquantenzahl zwischen 7.944 und 9.164 liegt. Da sie aber ganzzahlig sein muss, ist sie dann entweder 8 oder 9.

Um die Mindest- und Maximalenergie zu berechnen, setze einfach in die Rydberg-Formel die beiden Quantenzahlen ein: $$\begin{align}W_{\text{min}} &= -13.6 \, \text{eV} \cdot \frac{1}{8^2} = -0.2125 \, \text{eV} \\\\ W_{\text{max}} &= -13.6 \, \text{eV} \cdot \frac{1}{9^2} = -0.1679 \, \text{eV} \end{align}$$

Das heißt: Damit mindestens 200 Orbitale besetzt sind, muss die Energie \( W_n \) des Elektrons größer als \( - 0.2125 \, \text{eV} \) sein. Es dürfen aber auch nicht mehr als 300 Orbitale existieren, also muss die Energie kleiner als \( - 0.1679 \, \text{eV} \) sein. Insgesamt liegt die Energie zwischen diesen beiden Werten: \( - 0.2125 \, \text{eV} ~\leq~ W_n ~\leq~ - 0.1679 \, \text{eV} \).