Separationsansatz und wie Du damit partielle Differentialgleichungen löst
Separationsansatz dient dazu, partielle DGL beliebiger Ordnung in gewöhnliche DGL umzuwandeln.
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partielle-dgl-eindimensionale-wellengleichung
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}
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Eine elektromagnetische Welle, deren E-Feld und B-Feld Anteile schwingen.
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Produktansatz für gesuchte Funktion
E(x,t) ~=~ R(x) \, U(t)
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partielle-dgl-zwei-mal-ableiten
U(t)\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, R(x)\, \frac{\partial^2 U(t)}{\partial t^2}
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x-und-t-variablen-separieren
\frac{1}{R(x)}\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{1}{U(t)}\, \frac{\partial^2 U(t)}{\partial t^2}
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zwei-gewoehnliche-dgl
\frac{1}{R(x)}\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2} &~=~ K\\\\
\frac{1}{c^2} \, \frac{1}{U(t)}\, \frac{\partial^2 U(t)}{\partial t^2} &~=~ K
\frac{1}{c^2} \, \frac{1}{U(t)}\, \frac{\partial^2 U(t)}{\partial t^2} &~=~ K
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