Alexander Fufaev
Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Separationsansatz und wie Du damit partielle Differentialgleichungen löst

Separationsansatz dient dazu, partielle DGL beliebiger Ordnung in gewöhnliche DGL umzuwandeln.

Der Separationsansatz, der manchmal auch Produktansatz genannt wird (warum, wirst du gleich sehen) ist geeignet für:

  • partielle DGL

  • beliebiger Ordnung.

Diese Lösungsmethode dient quasi nur dazu, eine partielle DGL in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen zu verwandeln und diese dann mit anderen Methoden (z.B. mit dem Exponentialansatz) zu lösen.

Schauen wir uns diese Methode am besten direkt an einem Beispiel an. Die eindimensionale Wellengleichung für elektrisches Feld eignet sich dafür am besten:

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partielle-dgl-eindimensionale-wellengleichung
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}
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Eine elektromagnetische Welle, deren E-Feld und B-Feld Anteile schwingen.

Die gesuchte Funktion ist das elektrische Feld \(E(t,x)\). Dieses hängt von \(x\) und von \(t\) ab. Da die gesuchte Funktion von zwei Variablen abhängt und ihre Ableitungen in der DGL vorkommen, handelt es sich um eine partielle Differentialgleichung.

Hier machen wir einen Produktansatz für die gesuchte Lösung \(E\):

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Produktansatz für gesuchte Funktion
E(x,t) ~=~ R(x) \, U(t)
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Wir nehmen quasi an, dass die gesuchte Lösung \(E\) sich in ein Produkt von zwei Funktionen \(R(x)\) und \(U(t)\) aufspalten lässt. Die eine Funktion, \(R\), hängt dabei nur von \(x\) ab. Und die andere Funktion \(U\), hängt nur von \(t\) ab. In der Wellengleichung kommt die zweite Ableitung von \(E\) nach der Zeit und nach dem Ort vor. Das heißt, wir müssen unseren Produktansatz zuerst ableiten, bevor wir diesen in die Wellengleichung einsetzen. Die Ableitung des Produktansatzes nach \(x\) ergibt \(U(t)\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2}\), da \(U\) unabhängig von \(x\) ist und somit in der Ableitung wie eine Konstante ist. Bei der Ableitung des Produkts nach der Zeit \(t\) dagegen ist die Funktion \(R\) eine Konstante, weil sie nicht von \(t\) abhängt:

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partielle-dgl-zwei-mal-ableiten
U(t)\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, R(x)\, \frac{\partial^2 U(t)}{\partial t^2}
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Das Ziel ist es nun alles, was von \(x\) abhängt von dem zu trennen, was von \(t\) abhängt. Dazu teilen wir die DGL 101 durch das Produkt \(R(x) \, U(t)\):

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x-und-t-variablen-separieren
\frac{1}{R(x)}\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{1}{U(t)}\, \frac{\partial^2 U(t)}{\partial t^2}
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Dadurch haben wir erreicht, dass alles, was von \(x\) abhängt, auf der linken Seite steht und alles was von \(t\) abhängt auf der rechten Seite steht. Wenn du es schaffst eine partielle DGL so zu separieren, dann war der Separationsansatz erfolgreich.

Jetzt können wir \(x\) auf der linken Seite variieren, ohne, dass sich die rechte Seite verändert, da auf der rechten Seiten ja kein \(x\) vorkommt. Das gleiche gilt für die Zeit \(t\). Wenn wir die Zeit auf der rechten Seite verändern, bleibt die linke Seite unverändert, da dort keine Zeit \(t\) vorkommt. Damit müssen beide Seiten konstant sein. Setzen wir also die linke und die rechte Seite einer Konstanten \(K\) gleich:

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zwei-gewoehnliche-dgl
\frac{1}{R(x)}\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2} &~=~ K\\\\
\frac{1}{c^2} \, \frac{1}{U(t)}\, \frac{\partial^2 U(t)}{\partial t^2} &~=~ K
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Damit haben wir eine partielle Differentialgleichung in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen umgewandelt. Und die beiden DGL sind auch nicht gekoppelt, das heißt du kannst sie unabhängig voneinander lösen und die Lösungen dann nach dem Produkansatz 2 miteinander multiplizieren, um die Lösung der partiellen DGL zu erhalten.

Die beiden gewöhnlichen DGL kannst du mit dem zuvor kennengelernten Exponantialansatz lösen.