Minkowski-Diagramm und wichtige Grundlagen, die Du kennen solltest

Betrachten wir ein Ruhesystem, das durch ein zweidimensionales, rechtwinkliges Koordinatensystem repräsentiert wird. Wählen wir irgendeinen Ort \( \class{blue}{x_1} \) rechts neben dem Ruhesystem. An diesem Ort sieht das Ruhesystem drei hintereinander passierende Explosionen \( \class{blue}{E_1} \), \( \class{blue}{E_2} \) und \( \class{blue}{E_3} \).

Alle drei Ereignisse passieren aus der Sicht des Ruhesystems am gleichen Ort, aber zu verschiedenen Zeiten. Derartige Ereignisse, die für den Ruhebeobachter am gleichen Ort passieren, werden gleichortige Ereignisse genannt.

Verbindest Du gleichortige Ereignisse, dann bekommst Du eine vertikale Gerade. Die Zeitachse des Ruhebeobachters beispielsweise ist auch so eine senkrechte Gerade. Sie ist die Summe aller Ereignisse, die am Ort \( x = 0 \) stattgefunden haben, gerade stattfinden und stattfinden werden. Die Zeitachse ist die Geschichte, also Vergangenheit, Gegenwart und die Zukunft des Ortes \( x = 0 \), an dem sich der Ruhebeobachter befindet.

Ein Ruhebeobachter sieht zwei Ereignisse \(\class{red}{E_0}\) und \(\class{red}{E_1}\) zum Zeitpunkt \( c\, \class{red}{t_1}\) passieren. Etwas später, zum Zeitpunkt \(c\, \class{blue}{t_2}\), sieht er drei andere Ereignisse \(\class{blue}{E_2}\), \(\class{blue}{E_3}\) und \(\class{blue}{E_4}\) passieren.

Finden Ereignisse nicht parallel zur Zeitachse, sondern parallel zur Ortsachse statt, dann finden sie relativ zum Ruhebeobachter gleichzeitig statt. Solche Ereignisse werden gleichzeitige Ereignisse genannt. Die Ereignisse \(\class{blue}{E_2}\), \(\class{blue}{E_3}\) und \(\class{blue}{E_4}\) sind beispielsweise gleichzeitige Ereignisse.

Verbindest Du gleichzeitige Ereignisse miteinander, dann bekommst Du eine horizontale Gerade. Die Ortsachse des Ruhesystems ist zum Beispiel auch so eine horizontale Gerade. Alle Ereignisse auf der Ortsachse passieren gleichzeitig zum Zeitpunkt \( c\, t = 0 \) statt.

In der Illustration 4 sind sieben unterschiedliche Weltlinien dargestellt, die zu unterschiedlichen Körpern (Teilchen, Beobachter, ...) gehören. Es ist nur eine \(x\)-Ortsachse eingezeichnet, weshalb nur eindimensionale Bewegungen möglich sind: also entweder Bewegungen nach links oder nach rechts. Dem Ruhebeobachter gehört das schwarze Koordinatensystem in der Illustration 4. Dieser Ruhebobachter sieht verschiedene Körper sich unterschiedlich bewegen:

• Weltlinie 1 - dieser Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit von dem Körper weg, dem die Weltlinie 2 gehört. Er bewegt sich als einziger Körper nach links.

• Weltlinie 2 - dieser Körper befindet sich wie der Ruhebeobachter in Ruhe, an einem bestimmten Ort. Für ihn vergeht zwar die Zeit, sein Ort bleibt aber gleich. Er hat einen festen Abstand zum Ruhebeobachter.

• Weltlinie 3 - dieser Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit von dem Körper weg, dem die Weltlinie 2 gehört. Seiner Weltlinie nach, bewegt er sich wie Körper 4, 5 und 6 nach rechts.

• Weltlinie 4 - dieser Körper hat die gleiche Geschwindigkeit wie der Körper, dem die Weltlinie 3 gehört. Körper 4 und 3 bewegen sich nach rechts in einem festen Abstand zueinander.

• Weltlinie 5 - dieser Körper ist ganz schnell und beschleunigt fast auf Lichtgeschwindigkeit. Am Ereignis S trifft er sich mit dem Körper 6 zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort.

• Weltlinie 6 - dieser Körper fliegt beinahe mit Lichtgeschwindigkeit und bremst ab, bis er irgendwann stehen bleibt, weil die Weltlinie mit der Zeit zu einer senkrechten Geraden wird. Am Ereignis S trifft er sich mit dem Körper 5.

• Weltlinie 7 - dieser Körper pendelt hin und her von rechts nach links. Er beschleunigt auf hohe Geschwindigkeit und bremst an den Umkehrpunkten (an den Berg- und Talspitzen) ab, um die Bewegungsrichtung zu ändern.

Die Lichtgeschwindigkeit wird in jedem Bezugssystem gleich wahrgenommen. Egal, ob sich das Bezugssystem bewegt oder nicht. Die Geschwindigkeit der Lichtteilchen (Photonen) ist immer konstant. Das ist eines der beiden Postulate auf denen die spezielle Relativitätstheorie beruht.

Aus diesem Grund wählen wir die Maßstäbe der beiden Achsen im Minkowski-Diagramm so, dass die Weltlinie eines Photons eine Winkelhalbierende der Orts und Zeitachse darstellt. Damit die Photon-Weltlinie stets eine Winkelhalbierende ist, müssen drei Dinge erfüllt sein:

1. Trage auf die Zeitachse nicht \( t \), sondern \( c \, t \) auf. Damit skalierst du die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit \( c \). Die \( c\,t\)-Achse hat nun die Dimension einer Länge, genau wie die \(x\)-Ortsachse!

2. Beide Achsen müssen in der selben Längeneinheit sein. Zum Beispiel müssen auf beiden Achsen Lichtjahre eingetragen sein, aber nicht auf einer Achse Lichtjahre und auf anderer Achse Lichtsekunden.

3. Beide Achsen müssen gleich skaliert sein. Zum Beispiel, wenn ein Lichtjahr auf der \(ct\)-Achse einem Zentimeter auf dem Papier entspricht, dann muss ein Lichtjahr auf der \(x\)-Achse ebenfalls einem Zentimeter auf dem Papier entsprechen.

Wird nun ein Photon zum Zeitpunkt \(c\,t = 0 \) vom Ort \( x = 0 \) in die positive \(x\)-Richtung (nach rechts) ausgesendet, dann wird die Weltlinie dieses Photons immer einen 45 Grad Winkel zur Zeitachse und zur Ortsachse einschließen.

Die Weltlinie eines Photons ist wegen der konstanten Lichtgeschwindigkeit niemals auf irgendeine Weise gebogen, sondern immer gerade. Sie kann aber sehr wohl zickzackförmig sein, wenn beispielsweise das Photon an irgendwelchen Spiegeln hin und her reflektiert wird. Die Zickzack-Form kann jedoch nicht beliebig sein. Die "reflektierte Weltlinie" muss genau einen Neigungswinkel von 45 Grad zur Orts- und Zeitachse haben. Dieser Winkel ist auf jeden Fall gewährleistet, wenn an den Relfektionspunkten die Weltlinie um 90 Grad reflektiert wird.

Die Lichtgeschwindigkeit ist die maximale Geschwindigkeit im Universum und kann nur von masselosen Photonen erreicht werden. Daher können die Weltlinien von Objekten mit einer Masse niemals flacher sein als die Weltlinie eines Photons! Ihre Geschwindigkeit kann sich zwar der Lichtgeschwindigkeit nähern, aber sie niemals erreichen oder gar übersteigen.

In der Illustration 6 siehst du verschiedene Weltlinien, die unterschiedlich stark geneigt sind. Nehmen wir mal an, dass diese Weltlinien zu unterschiedlichen Raumschiffen gehören. Aus Sicht des ruhenden Raumschiffs 1 (schwarzes Koordinatensystem) starten alle Raumschiffe zum Zeitpunkt \( c\,t = 0 \) alle am Ort \(x = 0\). Von dort aus bewegen sie sich alle nach rechts, aber mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten:

• Raumschiff 2 - hat eine sehr steile Weltlinie, es bewegt sich sehr langsam nach rechts.

• Raumschiff 3 - bewegt sich schneller als Raumschiff 2 nach rechts.

• Raumschiff 4 - bewegt sich schneller als Raumschiff 3 und zwar mit ungefähr halber Lichtgeschwindigkeit. (Beachte: Halbe Lichtgeschwindigkeit bedeutet nicht, dass Du den Winkel der Weltlinie von Licht halbieren sollst (22,5 Grad). Das ist nämlich falsch, wenn Du Dir die Beziehung 2 zwischen dem Winkel und der Geschwindigkeit anschaust.)

• Raumschiff 5 - bewegt sich beinahe mit Lichtgeschwindigkeit.

• Raumschiff 6 - bewegt sich mit Überlichtgeschwindigkeit und ist deshalb nicht zulässig.

Nach dem Relativitätsprinzip kann sich das Raumschiff XxX selbst als ruhend ansehen. Das Raumschiff hat ein eigenes Koordinatensystem \( (c \, t_{\text R}, x_{\text R}) \) und es befindet sich in seinem Ruhesystem immer im Koordinatenursprung \( x_{\text R} = 0 \). Die Weltlinie eines Ruhebeobachters XxX, der sich im Koordinatenursprung befindet, verläuft entlang seiner \(c \, t_{\text R}\)-Zeitachse (siehe Illustration 9). Das Ruhesystem \( (c \, t_{\text R}, x_{\text R}) \) des Raumschiffs dagegen, hat aus der Sicht des \( (c \, t, x) \)-Systems eine geneigte \(c \, t\)-Zeitachse.

Gut, wir wissen nun, dass die Zeitachse des Raumschiffs XxX aus der Sicht des schwarzen Koordinatensystems \( (c \, t, x) \) um einen bestimmten Winkel geneigt ist.

Wie sieht denn die Ortsachse des Raumschiffs XxX aus?

In vorherigen Kapiteln hast du gelernt, dass gleichzeitige Ereignisse im Minkowski-Diagramm parallel zur Ortsachse verlaufen müssen. Das nutzen wir aus! Zusätzlich zum Raumschiff XxX nehmen wir zwei weitere gleiche Raumschiffe: linkes Raumschiff LR und rechtes Raumschiff RR. Alle drei fliegen in die gleiche Richtung mit gleicher Geschwindigkeit. Die beiden neuen Raumschiffe halten dabei einen gleichen Abstand zu XxX ein.

Wenn wir nun nach dem Relativitätsprinzip das Raumschiff XxX als ruhend ansehen, dann sind auch aus seiner Sicht die beiden Raumschiffe LR und RR in Ruhe.

Das Raumschiff XxX schickt zum Zeitpunkt \( t_{\text R} = 0 \) zwei Lichtsignale in entgegengesetzte Richtungen zu den Raumschiffen LR und RR ab:

Beide Lichtsignale werden bei beiden Raumschiffen jeweils gleichzeitig ankommen. Warum gleichzeitig? Weil die Raumschiffe LR und RR im gleichen Abstand zu XxX sind. Wir haben also zwei gleichzeitige Ereignisse:

• \( E_{\text{LR}} \): "Lichtsignal ist beim linken Raumschiff angekommen"

• \( E_{\text{RR}} \): "Lichtsignal ist beim rechten Raumschiff angekommen"

Verbinde die beiden Ereignisse \( E_{\text{LR}} \) und \( E_{\text{RR}} \):

Diese Verbindungslinie stellt eine Gerade dar, auf der nur gleichzeitige Ereignisse aus Sicht von XxX stattfinden. Gleichzeitige Ereignisse liegen stets parallel zur Ortsachse des Systems, für den die Ereignisse gleichzeitig stattfinden. Die Verbindungslinie liegt also parallel zur Ortsachse des Raumschiffs XxX.

Verschiebe nur noch die Verbindungslinie in den Koordinatenursprung: \( (c \, t_{\text R}, x_{\text R}) \) = \( (0, 0) \), um die Ortsachse des Koordinatensystems von XxX zu bekommen. Das Raumschiff XxX hat also seine eigene Ortsachse (nennen wir sie \( x_{\text{R}} \)-Achse). Das Raumschiff XxX darf also die \( x \)-Ortsachse nicht mitbenutzen!

Nachdem Du das Koordinatensystem \( (c \, t_{\text R}, x_{\text R}) \) des bewegten Systems XxX konstruiert hast, kannst Du daran ein Phänomen der Relativitätstheorie beobachten, nämlich:

Gleichzeitige bzw. gleichortige Ereignisse für einen Ruhebeobachter, sind nicht gleichzeitig bzw. gleichortig für einen relativ dazu bewegten Beobachter!

Machen wir ein kleines Beispiel für Gleichzeitigkeit:

• Nimm zwei Ereignisse, die im schwarzen Koordinatensystem \( (c \, t, x) \) gleichzeitig passieren, also auf einer Parallelen zur Ortsachse liegen.

• Schau nun, ob die beiden Ereignisse auch gleichzeitig im bewegten System \( (c \, t_{\text R}, x_{\text R}) \) passieren.

Du wirst feststellen, dass dies nicht der Fall ist. Warum? Weil ihre Verbindungslinie nicht parallel zur Ortsachse des bewegten Systems verläuft. Das gleiche gilt für Gleichortigkeit. Die Linien der Gleichzeitigkeit und Gleichortigkeit der beiden Systeme stimmen nicht überein!

Der Winkel zwischen der Licht-Weltlinie und der \(c\,t\)-Zeitachse ist 45 Grad. Der Winkel zwischen der Licht-Weltlinie und der \(x\)-Ortsachse ist ebenfalls 45 Grad. Die beiden Winkel sind gleich.

Um welchen Winkel ist die Orts- und Zeitachse des bewegten Koordinatensystems gegenüber dem ruhenden Koordinatensystem geneigt?

Lass uns die beiden Lichtpulse, die vom Koordinatenursprung zu den beiden Raumschiffen RR und LR ausgesandt wurden, zurück zum Raumschiff XxX reflektieren. Die beiden Reflexionen stellen die Ereignisse \( E_{\text{LR}} \) und \( E_{\text{RR}} \) dar. Die reflektierten Lichtpulse kommen wieder gleichzeitig bei XxX an.

Durch Aussenden und Reflektieren beider Lichtpulse ist ein Lichtviereck (oder kurz: Lichteck) im Raumzeitdiagramm entstanden. Es ist im wahrsten Sinne des Wortes ein Viereck, denn die Lichtweltlinien schließen "bei den Knicks" einen 90 Grad Winkel ein.

Die steilere Diagonale im Lichteck, also die \( c\,t_{\text{R}} \)-Achse, schließt mit der \(c\,t\)-Achse gleichen Winkel ein wie die \(x_{\text R}\)-Ortsachse und die \(x\)-Ortsachse. Das Licht stellt nicht nur eine Winkelhalbierende der Achsen vom ruhenden System dar, sondern auch der Achsen von bewegten Beobachtern!

Der eingeschlossene Winkel \(\alpha\) zwischen den Zeitachsen des ruhenden und bewegten Beobachters ist Gegenkathete \( x = v\,t\) durch Ankathete \(c\,t\):

Aus der Formel 2 und der Tatsache, dass die beiden Winkel gleich sind, kannst Du folgern: Je schneller sich das Raumschiff aus der Sicht eines ruhenden Beobachters bewegt, desto näher rücken die Orts- und Zeitachse des Raumschiffs an die Lichtweltlinie; bis sie im Falle des lichtschnellen Raumschiffs zusammenfallen. Verschmelzen Raum und Zeit zu einer Dimension? Passiert für ein Photon alles im Universum gleichzeitig? Was denkst Du?

An der Gleichung 2 kannst Du außerdem erkennen, dass je größer die Geschwindigkeit \( v \) eines Beobachters ist, desto größer wird der Winkel \( \alpha \); bis die Geschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit \( c \) erreicht hat - dann ist der Quotient:

Der Winkel \(\alpha\) beträgt dann: \( \alpha ~=~ 45^\circ \) bzw. \( \alpha ~=~ \frac{\pi}{4} \) (wegen: \( \arctan(1) ~=~ \frac{\pi}{4} \)).

Bis jetzt haben wir nur die Ausrichtung der Orts- und Zeitachse des bewegten Systems konstruiert. Jetzt müssen wir uns noch um die Skalierung der Achsen kümmern, um ein vollständiges Koordinatensystem eines bewegten Beobachters zu bekommen. Schließlich kannst Du Dir nicht sicher sein, ob eine Sekunde im bewegten System einer Sekunde im ruhenden System entspricht. Wir wollen also die folgende Frage klären:

Wie viel Zeiteinheiten im bewegten System entspricht eine Zeiteinheit im Ruhesystem?

Nach der speziellen Relativitätstheorie bleibt das folgende Abstandsquadrat \( s^2 \) in jedem System gleich:

Abstandsquadrat \( s^2 \) ist die Zeitkoordinate zum Quadrat abzüglich der Ortskoordinate zum Quadrat.

Die Gleichung 4 für das Abstandsquadrat entspricht einer gleichseitigen Hyperbel. Die Gleichung für eine allgemeine Hyperbel lautet folgendermaßen:

In unserem Fall ist \( y ~=~ c\,t \) und \(a\) und \(b\) sind gleich, was in der Gleichseitigkeit resultiert. Im Folgenden betrachten wir nur den Fall \( s ~=~ 1 \), was einer Einheitshyperbel entspricht:

Zeichne nun unterschiedlich schnelle Raumschiffe ein und schaue, wo ihre Weltlinien die Einheitshyperbel schneiden. Der Abstand vom Ursprung bis zum Schnittpunkt entspricht einer Zeiteinheit für das jeweilige Raumschiff. Und zwar je schneller das Raumschiff ist, desto gedehnter wird eine Zeiteinheit in diesem Raumschiff.

Schickst Du zwei Lichtpulse so vom Ursprung zum Schnittpunkt aus, dass sie an zwei Orten reflektiert und gleichzeitig beim Schnittpunkt ankommen, dann bekommst Du flächengleiche Lichtecke. Wendest Du auf das Abstandsquadrat 6, die binomische Formel an, dann bekommst Du das Produkt von zwei Ausdrücken, die als Seitenlängen eines Rechteckes interpretiert werden können:

Das Produkt selbst ergibt dann die Fläche dieser eingezeichneten Lichtecke (siehe Illustration 14). Und diese Fläche muss ja in jedem System gleich sein, weil sie dem umgeschriebenen Abstandsquadrat entspricht.

Du kannst nicht nur eine Einheitshyperbel für gleiche Zeiten in unterschiedlichen Systemen einzeichnen, sondern auch für gleiche Orte! Die Hyperbelgleichung ist exakt die selbe, mit dem einzigen Unterschied, dass das Abstandsquadrat nicht \(s^2 = 1 \), sondern \( s^2 = -1 \) ist:

Auch hier kannst Du Ortsachsen unterschiedlicher Systeme einzeichnen und die Schnittpunkte mit der Hyperbel betrachten. Ortsachsen unterschiedlich schnell bewegter Systeme werden anders skaliert: Je schneller sich das System bewegt, desto gedehnter wird eine Längeneinheit in diesem System.