Millikan-Experiment: so bestimmst Du die Elementarladung

Schwebemethode: RADIUS in 7 Schritten hergeleitet

1. Setze in die Gleichung fürs Fallen die jeweiligen Formeln für die Kräfte ein: \[ \rho_{\text O} V g ~=~ 6 \pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~+~ \rho_{L} V g \]
2. Forme nach dem Radius um: \[ r ~=~ \frac{\rho_{\text O} V g ~-~ \rho_{L} V g}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
3. Klammere \( V g \) aus: \[ r ~=~ \frac{V g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
4. Setze für \( V ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \) ein. Dies ist das Kugelvolumen, weil Du annimmst, dass die Öltröpfchen näherungsweise kugelförmig sind: \[ r ~=~ \frac{\frac{4}{3} \pi \, r^3 g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
5. Teile die Gleichung durch den Radius. Dadurch erreichst Du, dass der Radius nur auf einer Seite der Gleichung steht: \[ \frac{1}{r^2} ~=~ \frac{\frac{4}{3} \pi \, g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
6. Damit Du nicht \( \frac{1}{r^2} \), sondern \( r^2 \) stehen hast, musst Du einfach auf beiden Seiten der Gleichung den Nenner und Zähler vertauschen: \[ r^2 ~=~ \frac{3*6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}}{4 \pi \, g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
7. Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten, um aus \( r^2 \) ein \( r \) zu machen. Fasse außerdem \( 6*3=18 \) im Zähler zusammen und kürze mit der \( 4 \) im Nenner. Kürze das \( \pi \). Dann bekommst Du den Radius des Öltröpfchens - hergeleitet mit Schwebemethode!

Schwebemthode: LADUNG in 10 Schritten hergeleitet

1. Setze in die Gleichung fürs Schweben die jeweiligen Formeln für die Kräfte ein: \[ \rho_{\text O}\,V\,g ~=~ q \, E ~+~ \rho_{L}\,V\,g \]
2. Forme die Gleichung nach der Ladung um: \[ q ~=~ \frac{\rho_{\text O} \, V \, g ~-~ \rho_{L} \, V \, g}{E} \]
3. Klammere \( V \, g \) aus: \[ q ~=~ \frac{V \, g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{E} \]
4. Du kannst annehmen, dass die Öltröpfchen näherungsweise kugelförmig sind, d.h. schreibe das Volumen \( V \) als Kugelvolumen: \[ q ~=~ \frac{\frac{4}{3}\pi \, r^3 \, g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{E} \]
5. Schreibe elektrische Feldstärke als Spannung \(U\) pro Abstand \(d\) der Kondensatorplatten \( E=\frac{U}{d} \). Spannung misst Du mit einem Spannungsmessgerät und den Abstand zum Beispiel mit einem Lineal: \[ q ~=~ \frac{d \, \frac{4}{3}\pi \, r^3 g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{U} \]
6. Setze den vorher - mit Schwebemethode - hergeleiteten Radius für \( r \) ein. Ziehe \( \frac{d}{U} \) vor den Bruch und erschrecke Dich nicht: \[ q ~=~ \frac{4d\,\pi}{3U} \, \sqrt{ \frac{9 \, \eta \, v _{\downarrow}}{2 \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)} }^3 \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
7. Ob Du zuerst Wurzel ziehst und dann hoch 3 nimmst, oder andersrum – ist egal, deswegen schreibe das Hochdrei in die Wurzel hinein, rechne auch 2³=8 aus: \[ q ~=~ \frac{4d\,\pi}{3U} \, \sqrt{ \frac{9^3 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
8. Wenn Du \( \frac{4}{3} \) in die Wurzel reinziehst, wird es zu \( \frac{16}{9} \) in der Wurzel. Deshalb kürzt sich in der Wurzel \( \frac{16*9^3}{9} \) zu \( 16*9^2 \) \[ q ~=~ \frac{d\,\pi}{U} \, \sqrt{ \frac{16*9^2 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
9. Ziehe \(g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)\) in die Wurzel hinein und ziehe \( 9^2 \) aus der Wurzel heraus: \[ q ~=~ \frac{9 \, d \, \pi}{U} \, \sqrt{ \frac{16 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3 \, g^2 \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^2 }{ 8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \]
10. Kürze den Bruch und Du bekommst die Ladung des Öltröpfchens - hergeleitet aus der Schwebegleichung.

Die hergeleitete Formel für Ladung enthält nur Größen, welche Du im Millikan-Versuch messen (Spannung, Abstand, Fallgeschwindigkeit) oder in einer Tabelle (Luftdichte, Öldichte, Viskosität) nachgucken kannst!

Wenn Du Deine Messwerte einsetzen willst, schreibe die Fallgeschwindigkeit \( v_{\downarrow} \) als Fallstrecke \( s_{\downarrow} \) pro Fallzeit \( t_{\downarrow} \).

Gleichfeldmethode: RADIUS in 4 Schritten hergeleitet

1. Ziehe die Gleichung fürs Steigen von der Gleichung fürs Fallen ab. Sowohl die Gewichtskraft als auch die Auftriebskraft fallen dabei heraus, was übrig bleibt ist: \[ 2F_{\text e} ~=~ F_{R\uparrow} ~+~ F_{\text{R}\downarrow} \]
2. Setze die jeweiligen Kräfte konkret ein: \[ 2 \, q \, E ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\uparrow} ~+~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} \]
3. Klammere \( 6\pi \, \eta \, r \) aus und schreibe elektrisches Feld \( E \) als Spannung pro Abstand \( \frac{U}{d} \): \[ 2 \, q \, \frac{U}{d} ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \]
4. Stelle nach dem Radius \( r \) des Öltröpfchens um und Du hast die gesuchte Formel.

Ladung aus der Steig- oder Fallgleichung herleiten

1. Nimm beispielsweise die Gleichung fürs Fallen des Öltröpfchens im E-Feld und setze die bekannten Zusammenhänge ein: \[ \rho_{\text O} \, V \, g ~+~ q \, E ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~+~ \rho_{L} \, V \, g \]
2. Bringe alle Summanden, die \( Vg \) enthalten, auf die linke und alles andere auf die rechte Seite: \[ \rho_{\text O} \, V \, g ~-~ \rho_{L} \, V \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, E \]
3. Klammere dann \( Vg \) aus: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \, V \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, E \]
4. Du nimmst an, dass das Öltröpfchen eine Kugelform hat, weshalb Du das Volumen als Kugelvolumen \( \frac{4}{3}\pi \, r^3 \) schreibst. Schreibe außerdem \( E \) in \( \frac{U}{d} \) um: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \, r^3 \,g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \]
5. Teile die ganze Gleichung durch \( r^3 \): \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, \frac{1}{r^2} \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \, \frac{1}{r^3} \]
6. Klammere dann \( \frac{1}{r^2} \) aus: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{1}{r^2}\left( 6\pi \, \eta \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d}\frac{1}{r} \right) \]
7. Setze nun die Formel für den Radius \( r \) ein, den Du mittels Gleichfeldmethode hergeleitet hast. Bedenke beim Einsetzen (z.B. in \( \frac{1}{r^2} \)), dass der Zähler und Nenner vom Radius-Bruch vertauscht werden. ERSCHRECKE DICH NICHT: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^2 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( 6\pi \, \eta \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \frac{3 \pi \, d \, \eta \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) }{q \, U} \right) \]
8. Kürze in der Klammer das \( \frac{qU}{d} \). Ziehe dann \( 3\pi \, \eta \) aus der Klammer heraus: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 * 3 \pi^3 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( 2 \, v_{\downarrow} ~-~ \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \right) \]
9. Jetzt kannst Du easy \( 2 \, v_{\downarrow} ~-~ \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \) zusammenrechnen: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 * 3 \pi^3 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right) \]
10. Dein Ziel ist es ja, die Gleichung nach \( q \) aufzulösen. Also bringe erstmal alles andere auf die rechte Seite, indem Du die ganze Gleichung mit \( \frac{3}{4\pi \, g \, \left( \rho_{\text O}~-~ \rho_{L} \right) } \) multiplizierst: \[ 1 ~=~ \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, g \, q^2 \, U^2}\frac{ \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
11. Jetzt kannst Du \( q^2 \) auf die linke Seite bringen: \[ q^2 ~=~ \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, g \, U^2}\frac{ \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
12. Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten und ordne den Bruch so um, dass alle Terme mit Quadraten (inkl. \( 4 \)) im linken Bruch stehen und der Rest im rechten. Positioniere dazu einfach \( \frac{\eta^3}{g} \) in den rechten Bruch: \[ q ~=~ \sqrt { \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, U^2}\frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \]
13. Die Wurzel kannst Du auf die beiden Brüche aufteilen; mach das und ziehe dann die geile Wurzel aus dem linken Bruch und rechne dann \( 3*3=9 \) zusammen: \[ q ~=~ \frac{9 \pi \, d \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) }{ 2U } \sqrt { \frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{ g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \] Bisschen umstukturieren, wenn Du magst und FERTIG ist die Ladung des Öltröpfchens - hergeleitet mit Gleichfeldmethode!

Elementarladung genauer bestimmen

Für die Physik-Gangster unter euch: Die Bestimmung der Elementarladung geht noch präziser, wenn Ihr die Reibungskraft \(F_{\text R}\) durch die sogenannte Cunningham-Korrektur teilt: \[ \frac{F_{\text R}}{1+\frac{1.257 \cdot \lambda}{r}} \]

Dabei ist \(\lambda\) die mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle. Also der durchschnittliche Weg, den ein Teilchen zurücklegt, bevor es mit einem anderen Teilchen stößt.

Die Korrektur verwendest Du, weil die Formel der Stokesschen Reibungskraft eigentlich nicht für so winzige Objekte wie die Öltröpfchen geeignet ist.