Millikan-Experiment: so bestimmst Du die Elementarladung
Aufbau des Millikan-Experiments
Für Millikan-Experiment brauchst Du 5 Dinge:
- Zwei übereinander liegende Kondensatorplatten, zwischen denen eine elektrische Spannung \(U\) angelegt ist. Es sollte die Möglichkeit geben, sie nicht nur einzuschalten und auszuschalten, sondern auch ihren Wert und Polarität zu ändern. Zwischen den Kondensatorplatten befindet sich übrigens ganz normale Luft.
- Zerstäuber - mit dem Du Öltröpfchen erzeugst und zwischen den Kondensatorplatten fallen lässt. Durch die Reibung beim Zerstäuben werden die Öltröpfchen elektrisch aufgeladen. Deshalb können sie natürlich von dem ebenfalls geladenen Plattenkondensator beeinflusst werden. Das wirst Du ausnutzen!
- Mikroskop und Lichtquelle - die Öltröpfchen sind so klein wie eine handelsübliche Bakterie; deshalb benutzt Du neben einem Mikroskop auch eine Lichtquelle, die den Zwischenraum des Kondensators beleuchtet und zwar, weil die Öltröpfchen mit einem herkömmlichen Mikroskop kaum zu sehen sind. Durch die Beleuchtung des Zwischenraums wirst Du im Mikroskop kleine Lichtbeugungsscheibchen sehen, und damit die einzelnen Öltröpfchen erkennen. Je nach Mikroskop wirst Du eventuell oben und unten vertauscht sehen, d.h. Fallen würde wie Steigen aussehen, je nach dem, was für ein Mikroskop Du verwendest.
- Eine Skala - sie ist im Mikroskop eingeblendet. Mit deren Hilfe wirst Du die Position der Öltröpfchen messen.
- Stoppuhr - mit der Du im Versuch die Fall- und Steigzeiten der Öltröpfchen bestimmst.
Grundlagen
Du brauchst insgesamt 4 Formeln im Millikan-Experiment:
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- \(m_{\text O}\): Masse Deines Öltröpfchens
- \(g\): Fallbeschleunigung auf der Erde
Für das Millikan-Experiment wirst Du die Masse meistens umschreiben müssen und zwar mit der Formel: \( m_{\text O} = \rho_{\text O} \, V\), wobei \(\rho_{\text O}\) die Dichte des Öls ist und \(V\) das Volumen des Öltröpfchens.
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- \(q\): Ladung des Öltröpfchens
- \(E\): Elektrisches Feld im Plattenkondensator
Im Plattenkondensator ist das elektrische Feld \(E\) näherungsweise konstant und wird Deine Öltröpfchen zur oberen oder zur unteren Platte konstant beschleunigen, je nach dem wie die Platten geladen sind.
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- \(\eta\): Viskosität der Luft *Eta*
- \(r\): Radius des Öltröpfchens
- \(v\): Geschwindigkeit des Öltröpfchens
Der griechische Buchstabe \(\eta\) sagt Dir, wie zähflüssig ein Stoff ist. Je zähflüssiger ein Stoff ist, in dem Du das Öltröpfchen bewegst, desto größer ist die Reibungskraft. Viskosität ist abhängig vom Druck und Temperatur.
In Deinem Fall werden sich die Öltröpfchen in der Luft bewegen. Luft hat eine geringe Viskosität.
Bei Zimmertemperatur ist der Wert: \(\eta_{20}\) = 18.24 · 10-6kg/m·s.
Die Reibungskraft bremst das Öltröpfchen ab: Sie wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung! Wenn das Öltröpfchen fällt, wirkt die Reibungskraft also nach oben; wenn es steigt, dann wirkt sie nach unten.
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- \(V\): Volumen des Öltröpfchens
- \(\rho_{\text L}\): Dichte der Luft (bei 20°C: 1.204 kg/m3)
- \(g\): Fallbeschleunigung auf der Erde
Du kannst die Auftriebskraft auch vernachlässigen. Warum? Dichte der Luft \(\rho_{\text L}\), die in der Formel für Auftriebskraft steckt, ist viel viel kleiner als die Dichte des Öls \(\rho_{\text O}\), die in der Formel für Gewichtskraft vorkommt.
Beim Zerstäuben werden nicht alle Öltröpfchen gleich aufgeladen. Deshalb hat jedes von ihnen unterschiedliche elektrische Eigenschaften, was dazu führt, dass sie verschiedene Bewegungen ausführen:
- Öltröpfchen mit größerer Ladung bewegen sich schneller als mit kleinerer Ladung.
- Positiv bzw. negativ geladene Öltröpfchen erfahren elektrische Kraft, wenn der Kondensator angeschaltet ist.
- Elektrisch neutrale Öltröpfchen erfahren keine elektrische Kraft.
Es gibt grundsätzlich 2 Methoden zur Bestimmung der Elementarladung:
- Schwebemethode
- Gleichfeldmethode (auch Zweifeldmethode genannt)
Dein grundsätzliches Ziel ist es, die Ladung \(q\) des Öltröpfchens zu bestimmen und damit dann die kleinstmögliche Ladung, die Elementarladung \(e\), herauszufinden.
Schwebemethode: Öltröpfchen schweben und fallen lassen
1. Öltröpfchen zum Schweben bringen
Nachdem Du geladene Öltröpfchen mit dem Zerstäuber zwischen die Kondensatorplatten gesprüht hast, schaltest Du die Spannungsquelle so an, dass die obige Platte positiv und die untere negativ geladen ist. Dadurch werden negativ geladene Öltröpfchen von der oberen Platte angezogen und von der unteren abgestoßen.
Insgesamt zeigt die elektrische Kraft \(F_{\text e}\) auf die negativ geladenen Öltröpfchen nach oben. Sie wirkt in diesem Fall der Schwerkraft \(F_{\text g}\) entgegen. Wenn Du noch die Auftriebskraft \(F_{\text a}\) berücksichtigen möchtest: Sie wirkt immer entgegen der Schwerkraft, hier also in die gleiche Richtung wie elektrische Kraft.
Wenn die Kräfte, die nach oben zeigen, genauso stark sind, wie die Kräfte nach unten, dann hat sich Kräftegleichgewicht eingestellt.
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- \(F_{\text g}\): Gewichtskraft
- \(F_{\text e}\): Elektrische Kraft
- \(F_{\text a}\): Auftriebskraft
Also – um das Kräftegleichgewicht herzustellen, veränderst Du den Wert der elektrischen Spannung, dadurch verändert sich die elektrische Kraft. Stelle sie so ein, dass das Öltröpfchen einigermaßen schwebt. Es wird nicht einfach sein, denn die Öltröpfchen sind so klein, dass sie wegen der Brownschen Molekularbewegung zittern. Und genau das ist ein Nachteil der Schwebemethode, weil es nicht einfach ist einen super geilen Schwebezustand einzustellen. Dadurch wird der Messfehler größer.
Betrachte pro Messung nur ein einziges Öltröpfchen, denn jedes von ihnen hat unterschiedliche Anfangsgeschwindigkeit, weshalb sich bei jedem einzelnen von ihnen das Kräftegleichgewicht (also das Schweben) bei unterschiedlicher Spannung einstellen wird. Du kannst nicht alle Öltröpfchen gleichzeitig verarzten. Deshalb - konzentriere Dich nur auf EINES davon!
Wenn Du der Meinung bist, Du hast den Schwebezustand einigermaßen einstellen können, dann notiere Dir den dazugehörigen Spannungswert \(U\).
2. Öltröpfchen fallen lassen
Du brauchst noch den Radius des Öltröpfchens, um eine Gleichung für Ladung zu haben, die nur Größen enthält, die Du kennst. Dazu lässt Du das Öltröpfchen, nach dem Du es zum Schweben gebracht hast, fallen; indem Du die Spannungsquelle ausschaltest. Dann stellst Du die Fallgleichung auf, formst nach dem Radius um und setzt es in die Formel der Ladung ein.
Ladung und Radius mit Schwebemethode herleiten
Mit dieser Methode hast Du 2 Kräftegleichungen, aus denen Du die Ladung und Radius bestimmst:
- \(F_{\text g}\): Gewichtskraft
- \(F_{\text r}\): Reibungskraft
- \(F_{\text a}\): Auftriebskraft
\(F_{\text e}\): Elektrische Kraft
Schwebemethode: RADIUS in 7 Schritten hergeleitet
- Setze in die Gleichung fürs Fallen die jeweiligen Formeln für die Kräfte ein: \[ \rho_{\text O} V g ~=~ 6 \pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~+~ \rho_{L} V g \]
- Forme nach dem Radius um: \[ r ~=~ \frac{\rho_{\text O} V g ~-~ \rho_{L} V g}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
- Klammere \( V g \) aus: \[ r ~=~ \frac{V g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
- Setze für \( V ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \) ein. Dies ist das Kugelvolumen, weil Du annimmst, dass die Öltröpfchen näherungsweise kugelförmig sind: \[ r ~=~ \frac{\frac{4}{3} \pi \, r^3 g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
- Teile die Gleichung durch den Radius. Dadurch erreichst Du, dass der Radius nur auf einer Seite der Gleichung steht: \[ \frac{1}{r^2} ~=~ \frac{\frac{4}{3} \pi \, g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
- Damit Du nicht \( \frac{1}{r^2} \), sondern \( r^2 \) stehen hast, musst Du einfach auf beiden Seiten der Gleichung den Nenner und Zähler vertauschen: \[ r^2 ~=~ \frac{3*6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}}{4 \pi \, g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
- Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten, um aus \( r^2 \) ein \( r \) zu machen. Fasse außerdem \( 6*3=18 \) im Zähler zusammen und kürze mit der \( 4 \) im Nenner. Kürze das \( \pi \). Dann bekommst Du den Radius des Öltröpfchens - hergeleitet mit Schwebemethode!
Schwebemthode: LADUNG in 10 Schritten hergeleitet
- Setze in die Gleichung fürs Schweben die jeweiligen Formeln für die Kräfte ein: \[ \rho_{\text O}\,V\,g ~=~ q \, E ~+~ \rho_{L}\,V\,g \]
- Forme die Gleichung nach der Ladung um: \[ q ~=~ \frac{\rho_{\text O} \, V \, g ~-~ \rho_{L} \, V \, g}{E} \]
- Klammere \( V \, g \) aus: \[ q ~=~ \frac{V \, g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{E} \]
- Du kannst annehmen, dass die Öltröpfchen näherungsweise kugelförmig sind, d.h. schreibe das Volumen \( V \) als Kugelvolumen: \[ q ~=~ \frac{\frac{4}{3}\pi \, r^3 \, g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{E} \]
- Schreibe elektrische Feldstärke als Spannung \(U\) pro Abstand \(d\) der Kondensatorplatten \( E=\frac{U}{d} \). Spannung misst Du mit einem Spannungsmessgerät und den Abstand zum Beispiel mit einem Lineal: \[ q ~=~ \frac{d \, \frac{4}{3}\pi \, r^3 g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{U} \]
- Setze den vorher - mit Schwebemethode - hergeleiteten Radius für \( r \) ein. Ziehe \( \frac{d}{U} \) vor den Bruch und erschrecke Dich nicht: \[ q ~=~ \frac{4d\,\pi}{3U} \, \sqrt{ \frac{9 \, \eta \, v _{\downarrow}}{2 \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)} }^3 \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
- Ob Du zuerst Wurzel ziehst und dann hoch 3 nimmst, oder andersrum – ist egal, deswegen schreibe das Hochdrei in die Wurzel hinein, rechne auch 23=8 aus: \[ q ~=~ \frac{4d\,\pi}{3U} \, \sqrt{ \frac{9^3 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
- Wenn Du \( \frac{4}{3} \) in die Wurzel reinziehst, wird es zu \( \frac{16}{9} \) in der Wurzel. Deshalb kürzt sich in der Wurzel \( \frac{16*9^3}{9} \) zu \( 16*9^2 \) \[ q ~=~ \frac{d\,\pi}{U} \, \sqrt{ \frac{16*9^2 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
- Ziehe \(g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)\) in die Wurzel hinein und ziehe \( 9^2 \) aus der Wurzel heraus: \[ q ~=~ \frac{9 \, d \, \pi}{U} \, \sqrt{ \frac{16 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3 \, g^2 \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^2 }{ 8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \]
- Kürze den Bruch und Du bekommst die Ladung des Öltröpfchens - hergeleitet aus der Schwebegleichung.
- \(d\): Abstand der Kondensatorplatten
- \(U\): Spannung am Plattenkondenator
- \(\eta\): *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
- \(g\): Fallbeschleunigung \(9.8\,\text{m/s}^2\)
- \( v_{\downarrow} \): Fallgeschwindigkeit
- \( \rho_{\text O} \): Dichte des Öls
- \( \rho_{\text L} \): Dichte des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
Die hergeleitete Formel für Ladung enthält nur Größen, welche Du im Millikan-Versuch messen (Spannung, Abstand, Fallgeschwindigkeit) oder in einer Tabelle (Luftdichte, Öldichte, Viskosität) nachgucken kannst!
Wenn Du Deine Messwerte einsetzen willst, schreibe die Fallgeschwindigkeit \( v_{\downarrow} \) als Fallstrecke \( s_{\downarrow} \) pro Fallzeit \( t_{\downarrow} \).
Gleichfeldmethode: Öltröpfchen steigen und fallen lassen
Der Vorteil dieser Methode ist, dass Du im Gegensatz zur Schwebemethode keinen zittrigen Schwebezustand einstellen musst. Dadurch reduziert sich natürlich der Messfehler.
1. Öltröpfchen steigen lassen
Benutze den Zerstäuber und lasse ein ausgewähltes Öltröpfchen zuerst langsam nach oben steigen, indem Du einen geeigneten Spannungswert einstellst. Schwerkraft wirkt wie immer nach unten und wird durch Reibungskraft unterstützt, da die Reibungskraft ja entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Den beiden Kräften entgegen wirken die elektrische Kraft und die Auftriebskraft. Zwischen ihnen stellt sich in Nullkommanix Kräftegleichgewicht ein, d.h. die Geschwindigkeit mit der das Öltröpfchen steigt, ist konstant.
Du hast also:
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- \(F_{\text g}\): Gewichtskraft
- \(F_{\text e}\): Elektrische Kraft
- \(F_{\text{R}\uparrow}\): Reibungskraft engegen dem Steigen
- \(F_{\text a}\): Auftriebskraft
Miss die Zeit \(t_{\uparrow}\), die das Öltröpfchen braucht, um eine Strecke \(s_{\uparrow}\) beim Steigen zurückzulegen. Damit bestimmst Du die Steiggeschwindigkeit: \[ v_{\uparrow} ~=~ \frac{s_{\tiny{\uparrow}}}{t_{\tiny{\uparrow}}} \]
2. Öltröpfchen fallen lassen
Pole den Plattenkondensator um, sodass die Ladung der Kondensatorplatten vertauscht ist. Lasse dabei den Spannungswert unverändert; dadurch bleibt die elektrische Kraft auf Dein Öltröpfchen gleich stark, wirkt jedoch durch das Vertauschen der Pole jetzt nicht mehr nach oben, sondern nach unten.
Das heißt: Dein Öltröpfchen fängt an zu fallen. Da sich seine Bewegungsrichtung geändert hat, kehrt sich auch die Richtung der Reibungskraft um, denn, Du weißt ja: Reibungskraft wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung. Insgesamt wirken Gewichtskraft und elektrische Kraft nach unten und ihnen entgegen wirken Reibungskraft und die Auftriebskraft nach oben. Wieder stellt sich nach kurzer Zeit ein Kräftegleichgewicht ein, sodass das Öltröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit fällt.
Dann gilt:
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- \(F_{\text g}\): Gewichtskraft
- \(F_{\text e}\): Elektrische Kraft
- \(F_{\text{R} \downarrow}\): Reibungskraft engegen dem Fallen
- \(F_{\text a}\): Auftriebskraft
Ladung und Radius mit Gleichfeldmethode herleiten
Mit dieser Methode hast Du ebenfalls Fallgleichung und Steiggleichung, aus denen Du die Ladung und Radius bestimmst; nur, dass die Spannung hier auf einem festen Wert gehalten wird:
\( F_{\text{R}\downarrow} \): Reibungskraft engegen des Fallens
\( F_{\text{R}\uparrow} \): Reibungskraft engegen des Steigens
Gleichfeldmethode: RADIUS in 4 Schritten hergeleitet
- Ziehe die Gleichung fürs Steigen von der Gleichung fürs Fallen ab. Sowohl die Gewichtskraft als auch die Auftriebskraft fallen dabei heraus, was übrig bleibt ist: \[ 2F_{\text e} ~=~ F_{R\uparrow} ~+~ F_{\text{R}\downarrow} \]
- Setze die jeweiligen Kräfte konkret ein: \[ 2 \, q \, E ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\uparrow} ~+~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} \]
- Klammere \( 6\pi \, \eta \, r \) aus und schreibe elektrisches Feld \( E \) als Spannung pro Abstand \( \frac{U}{d} \): \[ 2 \, q \, \frac{U}{d} ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \]
- Stelle nach dem Radius \( r \) des Öltröpfchens um und Du hast die gesuchte Formel.
Ladung aus der Steig- oder Fallgleichung herleiten
- Nimm beispielsweise die Gleichung fürs Fallen des Öltröpfchens im E-Feld und setze die bekannten Zusammenhänge ein: \[ \rho_{\text O} \, V \, g ~+~ q \, E ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~+~ \rho_{L} \, V \, g \]
- Bringe alle Summanden, die \( Vg \) enthalten, auf die linke und alles andere auf die rechte Seite: \[ \rho_{\text O} \, V \, g ~-~ \rho_{L} \, V \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, E \]
- Klammere dann \( Vg \) aus: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \, V \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, E \]
- Du nimmst an, dass das Öltröpfchen eine Kugelform hat, weshalb Du das Volumen als Kugelvolumen \( \frac{4}{3}\pi \, r^3 \) schreibst. Schreibe außerdem \( E \) in \( \frac{U}{d} \) um: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \, r^3 \,g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \]
- Teile die ganze Gleichung durch \( r^3 \): \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, \frac{1}{r^2} \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \, \frac{1}{r^3} \]
- Klammere dann \( \frac{1}{r^2} \) aus: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{1}{r^2}\left( 6\pi \, \eta \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d}\frac{1}{r} \right) \]
- Setze nun die Formel für den Radius \( r \) ein, den Du mittels Gleichfeldmethode hergeleitet hast. Bedenke beim Einsetzen (z.B. in \( \frac{1}{r^2} \)), dass der Zähler und Nenner vom Radius-Bruch vertauscht werden. ERSCHRECKE DICH NICHT: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^2 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( 6\pi \, \eta \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \frac{3 \pi \, d \, \eta \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) }{q \, U} \right) \]
- Kürze in der Klammer das \( \frac{qU}{d} \). Ziehe dann \( 3\pi \, \eta \) aus der Klammer heraus: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 * 3 \pi^3 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( 2 \, v_{\downarrow} ~-~ \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \right) \]
- Jetzt kannst Du easy \( 2 \, v_{\downarrow} ~-~ \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \) zusammenrechnen: \[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 * 3 \pi^3 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right) \]
- Dein Ziel ist es ja, die Gleichung nach \( q \) aufzulösen. Also bringe erstmal alles andere auf die rechte Seite, indem Du die ganze Gleichung mit \( \frac{3}{4\pi \, g \, \left( \rho_{\text O}~-~ \rho_{L} \right) } \) multiplizierst: \[ 1 ~=~ \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, g \, q^2 \, U^2}\frac{ \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
- Jetzt kannst Du \( q^2 \) auf die linke Seite bringen: \[ q^2 ~=~ \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, g \, U^2}\frac{ \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
- Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten und ordne den Bruch so um, dass alle Terme mit Quadraten (inkl. \( 4 \)) im linken Bruch stehen und der Rest im rechten. Positioniere dazu einfach \( \frac{\eta^3}{g} \) in den rechten Bruch: \[ q ~=~ \sqrt { \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, U^2}\frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \]
- Die Wurzel kannst Du auf die beiden Brüche aufteilen; mach das und ziehe dann die geile Wurzel aus dem linken Bruch und rechne dann \( 3*3=9 \) zusammen: \[ q ~=~ \frac{9 \pi \, d \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) }{ 2U } \sqrt { \frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{ g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \] Bisschen umstukturieren, wenn Du magst und FERTIG ist die Ladung des Öltröpfchens - hergeleitet mit Gleichfeldmethode!
Folgerungen aus dem Millikan-Experiment
Ob Du Schwebemethode oder Gleichfeldmethode benutzt; bei beiden Methoden untersuchst Du natürlich nicht ein einziges Öltröpfchen, sondern so viele wie möglich! Jedem untersuchten Öltröpfchen vergibst Du eine Nummer. Nummer 1, Nummer 2, Nummer 3 und so weiter und trägst die Nummern auf der x-Achse auf. Auf der y-Achse trägst Du die dazugehörigen, ausgerechneten Ladungen des jeweiligen Öltröpfchens. Wenn Du genügend Öltröpfchen gemessen hast, wirst Du ein quantisiertes Verhalten beobachten.
Dabei müssen Dir 3 Sachen auffallen:
- Öltröpfchen tragen unterschiedliche Ladungen.
- Die Ladungsverteilung ist diskret - d.h. die Ladungen der Öltröpfchen sind nicht kontinuierlich über das ganze Diagramm verteilt. Es gibt Öltröpfchen, die um einen bestimmten Wert streuen, andere Öltröpfchen um einen anderen Wert. Zeichne waagerechte Hilfslinien auf genau die Werte, in deren Umgebung viele Messwerte liegen.
- Abstand zwischen diesen Hilfslinien ist immer gleich - vorausgesetzt Du hast sehr viele Messungen gemacht.
Was bedeuten diese Beobachtungen? Die Öltröpfchen können anscheinend nur Vielfache einer kleinstmöglichen Ladungsmenge tragen. Diese kleinste Ladungsmenge nennen die Physiker daher Elementarladung \(\class{blue}{e}\). Ihren Wert kannst Du an Deinem Diagramm ablesen – es ist der Abstand zwischen den Hilfslinien; also die kleinste Ladungsdifferenz. Sie hat den ungefähren Wert: \[ \class{blue}{e} ~=~ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \]
Elementarladung genauer bestimmen
Für die Physik-Gangster unter euch: Die Bestimmung der Elementarladung geht noch präziser, wenn Ihr die Reibungskraft \(F_{\text R}\) durch die sogenannte Cunningham-Korrektur teilt: \[ \frac{F_{\text R}}{1+\frac{1.257 \cdot \lambda}{r}} \]
Dabei ist \(\lambda\) die mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle. Also der durchschnittliche Weg, den ein Teilchen zurücklegt, bevor es mit einem anderen Teilchen stößt.
Die Korrektur verwendest Du, weil die Formel der Stokesschen Reibungskraft eigentlich nicht für so winzige Objekte wie die Öltröpfchen geeignet ist.