Mengenlehre: Lerne alles über Teilmenge, Vereinigung, Schnitt und Differenz
Im Grunde alle komplexeren mathematischen Strukturen basieren auf dem Konzept der Mengen. Diese komplexeren Strukturen sind notwendig, um die physikalischen Theorien mathematisch zu begreifen und zu formulieren. Daher ist es wichtig zu verstehen, was Mengen sind und welche grundlegenden Operationen du auf Mengen durchführen kannst.
Was ist eine Menge?
Jedes Objekt der Menge wird als Element der Menge bezeichnet. Die Elemente werden zwischen zwei geschweiften Klammern angegeben. Um besser anzudeuten, dass es sich um eine Menge handelt, wird wie in folgenden Beispielen ein Doppelstrich bei der Bezeichnung der Menge gemacht.
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Menge mit beliebigen Zahlen: \( \mathbb{A} = \{ 1, 5, \pi, 0 \} \)
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Menge mit Namen: \( \mathbb{B} = \{ \text{Anna}, \text{Alexander}, \text{Dima} \} \)
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Leere Menge: \( \mathbb{D} = \{ \} \)
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Menge der natürlichen Zahlen: \( \mathbb{N} = \{ 1,2,3,4 ...\} \)
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Menge der geometrischen Objekte: \( \mathbb{E} = \{ \Box,\Delta,\nabla \} \)
Im Prinzip darfst Du beliebige Bezeichnungen für eine Menge nehmen, sei es \(\mathbb{A}, \mathbb{B}, \mathbb{D} \) etc. Beachte jedoch, dass folgende Buchstaben für wichtige Mengen reserviert sind:
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\( \mathbb{N} \) steht für die Menge der natürlichen Zahlen
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\( \mathbb{Z} \) steht für die Menge der ganzen Zahlen
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\( \mathbb{Q} \) steht für die Menge der rationalen Zahlen
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\( \mathbb{R} \) steht für die Menge der reellen Zahlen
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\( \mathbb{C} \) steht für die Menge der komplexen Zahlen
Für die Zahlen gibt es zum Beispiel eine Operation "+", die zwei Zahlen miteinander addiert:\(1 + 3 = 4\). Oder eine Operation "\(\cdot\)", die zwei Zahlen miteinander multipliziert: \( 2 \cdot 4 = 8\). Sowie es Zahlenoperationen gibt, gibt es auch Mengenoperationen. Schauen wir uns mal die wichtigsten Mengenoperationen an.
Schnitt zweier Mengen
Der Schnitt \( \cap \) zweier Mengen \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in \( \mathbb{A} \) als auch in \( \mathbb{B} \) enthalten sind.
Betrachte beispielsweise die folgenden beiden Mengen:
\mathbb{B} &~=~ \{ 3,~ 7,~ 9,~ 42 \}
Jetzt musst du schauen, welche Objekte, in diesem Fall also natürliche Zahlen, in beiden Mengen enthalten sind. Diese bilden die Schnittmenge von \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \):
Vereinigung zweier Mengen
Die Vereinigung \( \cup \) zweier Mengen \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \) sind alle Elemente von \( \mathbb{A} \) und alle Elemente von \( \mathbb{B} \).
Betrachte wieder die beiden Mengen:
\mathbb{B} &~=~ \{ 3,~ 7,~ 9,~ 42 \}
Jetzt fasst du einfach alle Elemente von \( \mathbb{A} \) und \( \mathbb{B} \) zu einer neuen Menge zusammen, die Vereinigungsmenge:
Differenzmenge
Die Differenzmenge \( \mathbb{A} \backslash \mathbb{B} \) ist die Menge aller Elemente, die nur zu \( \mathbb{A} \) gehören.
Betrachte wieder die beiden Mengen:
\mathbb{B} &~=~ \{ 3,~ 7,~ 9,~ 42 \}
Jetzt nimmst du nur alle Elemente, die in \( \mathbb{A} \) drin sind und diese Elemente dürfen nicht in \( \mathbb{B} \) enthalten sein:
Nun solltest du wissen, was Mengen sind und wie du damit rechnest, nämlich wie du damit Vereinigung, Schnitt und Differenz bildest. Neben den Mengen, sind Funktionen (Abbildungen) eines der grundlegendsten Konzepte der Mathematik und sind für das Verständnis der Physik enorm wichtig.