Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Lagrange-Formalismus: so killst Du Zwangskräfte

Inhaltsverzeichnis

Übungen mit Lösungen

Ausgangsproblem

Teilst Du die Gesamtkraft im 2. Newton-Axiom in die Zwangskräfte $ \boldsymbol{F}_{\text z} $ und die übrigen, bekannten Kräfte $ \boldsymbol{F} $ aus, dann hast Du: \[ m \, \ddot{\boldsymbol{r}} ~=~ \boldsymbol{F} ~+~ \boldsymbol{F}_{\text z} \]

In den meisten Fällen sind zwar die Zwangsbedingungen, jedoch nicht die Zwangskräfte bekannt. Und explizit angeben kannst Du diese Zwangskräfte - im Allgemeinen - auch nicht, da sie selbst von der Bewegung abhängen.

Beispiel: Zwangskräfte Damit ein Teilchen auf einer Kreisbahn gehalten werden kann, muss eine Zwangskraft, nämlich die Zentripetalkraft wirken. Ihr Betrag \[ F_{\text z} ~=~ \frac{mv^2}{r} \] ist jedoch davon abhängig, wie schnell sich das Teilchen bewegt. Du musst also, um diese Zwangskraft bestimmen zu können, die Bewegung selbst (in diesem Fall die Geschwindigkeit) schon kennen.

Man unterteilt Gleichungen des Lagrange-Formalismus in zwei Arten:

Lagrange-Gleichungen 1. Art - benutzt Du, wenn Du explizit die Zwangskräfte $ \boldsymbol{F}_{\text z} $ berechnen möchtest.
Lagrange-Gleichungen 2. Art - benutzt Du, wenn Du Zwangskräfte $ \boldsymbol{F}_{\text z} $ mittels geeigneter Koordinaten $ q_i $ eliminieren möchtest und Du nur an den Bewegungsgleichungen interessiert bist.

Grundlegende Begriffe im Lagrange-Formalismus

Was sind Zwangsbedingungen?
Das sind Bedingungen, die an ein Teilchen (oder ein mechanisches System) gestellt werden und die Bewegung dieses Teilchens behindern. Das heißt: die Bahn des Teilchens muss auf jeden Fall die jeweiligen Zwangsbedingungen erfüllen! Außerdem reduzieren die Zwangsbedingungen die Zahl der möglichen Freiheitsgrade $ 3N $ im dreidimensionalen Raum ($N$ ist die Anzahl der Teilchen). Die maximale Anzahl $ M $ an Zwangsbedingungen ist $ M ~\leq~ 3N ~-~ 1 $.
"$-1$", weil bei $ R ~=~ 3N $ Zwangsbedingungen würde das Teilchen in Ruhe sein; sich also nicht bewegen.

Was heißt holonom?
Ein mechanisches System ist genau dann holonom, wenn sich die Position dieses Systems durch generalisierte Koordinanten $ q_i $ beschreiben lässt, die unabhängig voneinander sind!

Oder äquivalent dazu: die Zwangsbedingungen sind von der Form: \[ g_{\alpha}\left( \boldsymbol{r}, t \right) ~=~ 0 \] mit $ \alpha $ < $ 3N-1 $. Die holonomen Zwangsbedingungen sind gleich Null und hängen nur vom Ort $\boldsymbol{r}$ und der Zeit $t$ ab (insbesondere nicht von der Geschwindigkeit)

Beispiel: Nichholonome Zwangsbedingungen Die Bewegung eines Teilchen im Inneren einer Kugel, die durch die Bedingung $ r \leq R $ ($ R $ als Radius der Kugel) gegeben ist, ist keine holonome Zwangsbedingung. Aber auch eine geschwindigkeitsabhängige Zwangsbedingung $ g\left( \boldsymbol{r},v,t\right) ~=~ 0$ ist nichtholonom.

Was heißt skleronom?
Das sind zeitunabhängige Zwangsbedingungen $ g \, \left( \boldsymbol{r} \right) $. Ihre zeitliche Ableitung $ \frac{\partial g}{\partial t} ~\stackrel{!}{=}~ 0 $ muss in jedem Fall Null sein.

Was heißt rheonom?
Das sind zeitabhängige Zwangsbedingungen $ g \, \left( \boldsymbol{r}, t \right) $.

Was sind generalisierte Koordinaten?

Auch verallgemeinerte Koordinanten $ q_i $ genannt - zeichnen sich dadurch aus, dass sie unabhängig voneinander sind und das System vollständig beschreiben.

Die Anzahl der generalisierten Koordinanten entspricht genau der Anzahl der Freiheitsgrade $ f $ des Systems. Die Zahl der Freiheitsgrade ist gegeben durch: \[ f ~=~ 3N ~-~ R \] wobei $ R $ die Anzahl der Zwangsbedingungen ist.

Eine weitere wichtige Eigenschaft der generalisierten Koordinanten $ q_i $ ist, dass ganz egal welche Werte sie annehmen, die holonomen Zwangsbedingungen $ g\left( \boldsymbol{r}, t\right) ~=~ 0$ sind für jeden Wert $ q_i $ erfüllt.

Lagrange-Gleichungen 1. Art

Die Gleichungen 1. Art sind - in Komponentenschreibweise - gegeben durch:

Lagrange-Gleichungen erster Art

zur Bestimmung der Zwangskräfte $ F_{\text Z} $

\[ m_n \, \ddot{x}_n ~=~ F_n ~+~ \underset{\alpha ~=~ 1}{\overset{ R }{\boxed{+}}} ~ \lambda_{\alpha}(t) \, \frac{\partial g_{\alpha}(x_1,...x_{3N},t)}{\partial x_n} \]

Mehr zur Formel...

Index $ \alpha $: nummeriert die Zwangsbedingung und wird von 1 bis R summiert.
Index $ n $: nummeriert die Teilchen.
Kraft $ F_n $: wirkt auf das Teilchen $ n $ und ist bekannt.
Lagrange-Multiplikator $ \lambda_n $: für den Ansatz der Zwangskraft.
Masse $ m_n $: vom $n$-ten Teilchen.
Beschleunigung $ \ddot{x}_n $: vom $n$-ten Teilchen. Sie ist die zweite, zeitliche Ableitung des Ortes des Teilchens $ x_n $.

Lagrange-Gleichungen 2. Art

Die Gleichungen 2. Art ist die Euler-Lagrange-Gleichung bezogen auf die Zeit und generalisierte Koordinaten:

Gleichung 2. Art: Euler-Lagrange-Gleichung

zur Elimination der Zwangskräfte und Bestimmung der Bewegungsgleichungen

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}~-~ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} ~=~ 0 \]

Mehr zur Formel...

Lagrange-Funktion $ \mathcal{L} $: ist die Differenz zwischen der kinetischen und potentiellen Energie in generalisierten Koordinaten $ \mathcal{L} ~=~ T ~-~ U $.
Generalisierte Koordinaten $ q_i $: beschreiben das betrachtete Problem vollständig.
Zeit $ t $
Generalisierte Geschwindigkeiten $ \dot{q}_i $: sind die ersten zeitlichen Ableitungen der $ q_i $.

Rezept: 5 Schritte zur Lösung mit Lagrange 2. Art

Wähle generalisierte Koordinaten $ q_i $. Ihre Anzahl entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade des betrachteten Systems.
Bestimme die Lagrange-Funktion $ \mathcal{L} ~=~ T ~-~ U $.
Stelle Bewegungsgleichungen mit Lagrange-Gleichungen 2. Art auf
Löse die aufgestellten Bewegungsgleichungen
Bestimme - wenn nötig - die Integrationskonstanten mit gegebenen Anfangsbedingungen

Zyklische Koordinaten: erkenne Impulserhaltung sofort

In der Lagrange-Gleichung 2. Art definiert man folgenden Ausdruck als generalisierten Impuls: 1 \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} ~=:~ p_i \]

Der generalisierte Impuls kann beispielsweise linearer Impuls oder Drehimpuls sein. Das hängt davon ab, welche Dimension die jeweilige generalisierte Koordinate hat. In kartesischen Koordinaten leitest Du die Lagrange-Funktion nach den generalisierten Geschwindigkeiten (z.B. $ \dot{q} ~=~ \dot{x} $) ab, weshalb der generalisierte Impuls $ p $ die Einheit eines linearen Impulses $ \frac{kg \, m }{s} $ bekommt (denn: $ \mathcal{L} $ hat die Einheit einer Energie und $ \dot{x} $ die Einheit einer Geschwindigkeit).

In Polarkoordinaten dagegen, würde die Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Winkelgeschwindigkeit $ \dot{q} ~=~ \dot{\varphi} $ die Einheit $ \frac{kg \, m^2 }{s} $ ergeben, was der Einheit eines Drehimpulses entspricht.

Die Lagrange Gleichung 2. Art sieht mit der Definition des generalisierten Impulses 1 also folgendermaßen aus: \[ \frac{\text{d}p_i}{\text{d} t} ~=~ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \]

Wann ist der Impuls $ p_i $ erhalten? Er ist genau dann erhalten (also $ p_i ~=~ \text{const.} $), wenn $ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} $ verschwindet: \[ \frac{\text{d}p_i}{\text{d} t} ~=~ 0 \]

Um also sofort sagen zu können, ob der generalisierte Impuls $ p_i $ erhalten ist, musst Du nur schauen, ob in der Lagrangefunktion die generalisierten Koordinaten $ q_i $ explizit vorkommen. Koordinaten, die in der Euler-Lagrange-Gleichung nicht auftauchen, heißen zyklisch. Dabei ist es egal, ob die Euler-Lagrange-Gleichung von der Ableitung dieser Koordinate (also von $\dot{q}$) abhängt; wichtig für die Impulserhaltung ist nur die Abhängigkeit von der Koordinate $ q_i $ selbst.

Beispiel für Impulserhaltung Gegeben ist die Lagrangefunktion für ein freies Teilchen in der Ebene, in kartesischen Koordinaten: \[ \mathcal{L} ~=~ \frac{1}{2} \, m (\dot{x_1}^2 ~+~ \dot{x_2}^2) \] und in Polarkoordinaten: \[ \mathcal{L} ~=~ \frac{1}{2} \, m (\dot{r}_{\perp}^2 ~+~ \dot{\varphi}^2 \, r_{\perp}^2) \] Koordinaten $ x_1 $ und $ x_2 $ kommen in der kartesischen Lagrangefunktion beide nicht vor, weshalb \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} ~=~ 0 ~\text{und}~ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} ~=~ 0 \] wegfallen. Der Impuls ist somit in beide Richtungen $x_1$ und $x_2$ erhalten!

Bei der Lagrangefunktion in Polarkoordinaten dagegen, kommt nur $\varphi$ explizit nicht vor. Die radiale Komponente $ r_{\perp} $ jedoch schon, weshalb der generalisierte Impuls nur in $\varphi$-Richtung erhalten ist; jedoch nicht in $ r_{\perp} $-Richtung!

Kartesische Koordinaten sind also für dieses Problem (freies Teilchen in der Ebene) die besseren Koordinaten, weil sie mehr Erhaltungsgrößen liefern.

Wie Du am Beispiel des freien Teilchens gesehen hast, ist die Anzahl der zyklischen Koordinaten davon abhängig, ob Du kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten oder andere Koordinaten zur Beschreibung Deines Problems verwendest.

Das ist nicht gut... Du kannst noch mehr Erhaltungsgrößen als die zyklischen finden (oder sogar alle) und zwar unabhängig, welche Koordinaten Du zur Beschreibung des Problems verwendest. Das gelingt Dir mit dem Noether-Theorem.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Der Peitschenknall

Eine inelastische Peitsche hat eine konstante Massendichte $\rho = m / L $ und eine Länge $L$. Die Peitsche wird nun einmal so geschwungen, dass an einem Ende der Peitsche ein Knick entsteht.

Bestimme die Lagrange-Funktion.
Stelle die Bewegungsgleichungen auf und vernachlässige dabei den Knick der Peitsche.
Stelle die Bewegungsgleichungen für das Wandern des Knicks der Peitsche.

Lösung zur Aufgabe #1.1

Betrachte für die potentielle Energie $ W_{\text{pot}} $ die Massenmittelpunkte, die sich an den folgenden Orten $x_1$ und $x_2$ befinden: 1 \begin{align} x_1 &~=~ h_1 ~+~ \frac{1}{2} \, \left( h - h_1 \right) \\ &~=~ \frac{h + h_1}{2} \end{align} 2 \begin{align} x_2 &~=~ h_2 ~+~ \frac{1}{2} \, \left( h - h_2 \right) \\ &~=~ \frac{h + h_2}{2} \end{align} und folgende Massen haben: 3 \begin{align} m_1 &~=~ (h-h_1) \, \rho\\\\ m_2 &~=~ (h-h_2) \, \rho \end{align}

Damit ist die potentielle Energie: 4 \begin{align} W_{\text{pot}} &~=~ (h-h_1) \, \rho \, g \, \frac{h + h_1}{2} ~+~ (h-h_2) \, \rho \, g \, \frac{h + h_2}{2} \\\\ &~=~ \frac{\rho \, g}{2} \left[ (h-h_1) \, (h+h_2) ~+~ (h-h_2)\,(h+h_2) \right] \\\\ &~=~ \frac{\rho \, g}{2} \left[ h^2 - {h_1}^2 + h^2 - {h_2}^2\right] \\\\ &~=~ \frac{\rho \, g}{2} \left[ 2h^2 - {h_1}^2 - {h_2}^2\right] \\\\ &~=~ \frac{\rho \, g}{2} \left[ \frac{1}{2}\left( l + h_1 + h_2 \right)^2 - {h_1}^2 - {h_2}^2 \right] \end{align}

Und die kinetische Energie ist: 5 \begin{align} W_{\text{kin}} &~=~ \frac{1}{2} \, m_1 \, {v_1}^2 ~+~ \frac{1}{2} \, m_2 \, {v_2}^2 \\\\ &~=~ \frac{1}{2} \, (h-h_1) \, \rho \, \dot{h_1}^{2} ~+~ \frac{1}{2} \, (h-h_2) \, \rho \, \dot{h_2}^{2} \end{align} dabei ist $\dot{h_1}$ (und $\dot{h_2}$) für alle Massenpunkte gleich, da sich die Peitsche nicht zusammenzieht o.Ä.

Benutze $ h = \frac{1}{2} (l + h_1 + h_2) $ in 5: 6 \begin{align} W_{\text{kin}} &~=~ \frac{\rho}{2} \left[ (h - h_1) \, \dot{h_1}^{2} ~+~ (h - h_2) \, \dot{h_2}^{2} \right] \\\\ &~=~ \frac{\rho}{4} \left[ (l + h_2 - h_1) \, \dot{h_1}^{2} ~+~ (l + h_1 - h_2) \, \dot{h_2}^{2} \right] \end{align}

Damit lautet die Lagrange-Funktion: 7 \begin{align} \mathcal{L} &~=~ \frac{\rho}{4} \, \left[ (L+h_{2}-h_{1}) \, \dot{h_1}^{2} ~+~ (L+h_{1}-h_{2}) \, \dot{h_2}^{2} \right] \\\\ &~-~ \frac{g\,\rho}{2} \, \left[ \frac{1}{2}(L+h_{1}+h_{2})^{2} ~-~ h_{1}^{2} ~-~ h_{2}^{2} \right] \end{align}

Lösung zur Aufgabe #1.2

Zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen nutzen wir die Euler-Lagrange-Gleichungen. Wir starten mit der Aufstellung der ersten Bewegungsgleichung: 8 $$ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}\dot{h}_1} ~-~ \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}h_1} ~=~ 0 $$

Jetzt musst du nur noch die in Aufgabe 1.1 hergeleitete Lagrange-Funktion einsetzen und ableiten, dann kommst du auf die erste Bewegungsgleichung: 9 $$ (L+h_{2}-h_{1})(\ddot{h_{1}}+g) ~-~ \frac{1}{2}(\dot{h_1}-\dot{h_2})^{2} ~=~ 0 $$

Mit der zweiten Bewegungsgleichung gehst du analog vor und setzt die Lagrange-Funktion in die Euler-Lagrange-Gleichung ein: 10 $$ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}\dot{h}_2} ~-~ \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}h_2} ~=~ 0 $$

Die 2. Bewegungsgleichung lautet dann: 11 $$ (L+h_{1}-h_{2})(\ddot{h_{2}}+g) ~-~ \frac{1}{2}(\dot{h_1}-\dot{h_2})^{2} ~=~ 0 $$

Lösung zur Aufgabe #1.3

Die 1. Bewegungsgleichung - nach Addition der Differentialgleichungen 9 und 10 aus Aufgabe #1.2 - lautet: $$ L(\ddot{h_{1}}+\ddot{h_{2}}) ~+~ 2L\,g ~-~ x\ddot{x} ~-~ \dot{x}^2 ~=~ 0 $$

Die 2. Bewegungsgleichung - nach Subtraktion der Differentialgleichungen aus Aufgabe #1.2 - lautet: $$ L\ddot{x} ~-~ x(\ddot{h_1}+\ddot{h_2}+2g) ~=~ 0 $$

Löse beide nach $ (\ddot{h_1}+\ddot{h_2}) $ auf und setze gleich. Dann bekommst Du: $$ \frac{x\cdot{x}}{l^{2}-x^{2}} ~=~ \frac{\ddot{x}}{\dot{x}} $$

Durch scharfes Hinsehen erkennst Du, dass: $$ \frac{\ddot{x}}{\dot{x}} ~=~ \frac{d}{dt} \, \ln(\dot{x}) $$ und auch: $$ \frac{-2x\dot{x}}{L^{2}-x^{2}} ~=~ \frac{d}{dt} \, \ln(L^{2}-x^{2}) $$

Setze die beiden Ausdrücke in die neue DFG ein, und integriere über die Zeit, um die zweite Ableitung $\ddot{x}$ zu eliminieren. Dann bekommst Du: $$ \dot{x} ~=~ \frac{C}{\sqrt{L^{2}-x^{2}}} $$ Hierbei ist C eine Konstante ist.

Aufgabe #2: Schiefe Ebene

Betrachte einen Klotz der Masse $ m $, der auf einer schiefen Ebene, die um den Winkel $ \alpha $ geneigt ist, reibungsfrei hinunterrutscht.

Bestimme die Bewegungsgleichungen mithilfe der Lagrange-Gleichungen 2. Art.
Löse die aufgestellten Bewegungsgleichungen.

Lösung zur Aufgabe #1.1

Du gehst nach dem Rezept zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen vor. Es gibt grundsätzlich insgesamt 5 Schritte:

Schritt 1: Wähle generalisierte Koordinaten $ q_i $

Du kannst den Klotz als einen Massenpunkt auf der Ebene betrachten, mit der Masse $ m $. Der Neigungswinkel der Ebene ist unveränderlich, weshalb er sich nicht als verallgemeinerte Koordinate eignet. Die sinnvollste Koordinate, die als verallgemeinerte Koordinate genommen werden kann, ist der Ort $ s(t) $ des Klotzes auf der Ebene.

Sie ist die einzige Koordinate, weil der Klotz sich nur auf einer Linie bewegen kann, weshalb er nur einen Freiheitsgrad besitzt. Und es gilt: #Freiheitsgrade = #Anzahl generalisierter Koordinaten.

Die Koordinate $ s(t) $ muss aber auch den zwei zum Problem gehörenden holonomen Zwangsbedingungen genügen. Erste Zwangsbedingung ist durch die Einschränkung der Bewegung auf eine Ebene gegeben (2D-Problem): 1 \[ z ~=~ 0 \]

Und die zweite Zwangsbedingung ist durch die konstante Steigung der Geraden $ s(t) $ gegeben: 2 \[ \frac{y}{x} ~-~ \tan(\alpha) ~=~ 0 \]

Es gibt nur zwei Zwangsbedingungen für dieses Problem, denn ihre Anzahl ist gegeben durch: #Zwangsbedingungen = #Freiheitsgrade insgesamt - #Freiheitsgrade vom System = 3 - 1. Um zu sehen, dass insbesondere die 2. Zwangsbedingung erfüllt ist, schreibe ($x$,$y$) um: 3 \[ \frac{\sin(\alpha) \, s}{\cos(\alpha) \, s} ~-~ \tan(\alpha) ~=~ \tan(\alpha) ~-~ \tan(\alpha) ~=~ 0 \]

Offensichtlich sind die beiden Zwangsbedingungen für alle Werte von $ s(t) $ erfüllt, also sind sie unabhängig von $ s(t) $. Damit kann $ s(t) $ in jedem Fall als verallgemeinerte Koordinate genommen werden, weil sie das System (schiefe Ebene) vollständig beschreibt.

Schritt 2: Bestimme die Lagrange-Funktion:

Die Lagrange-Funktion - bezogen auf Koordinate $ s $ - lautet: 4 \[ \mathcal{L}(s,\dot{s},t) ~=~ T(s,\dot{s},t) ~-~ U(s,t) \]

Kinetische Energie $ T $, ausgedrückt mit verallgemeinerter Koordinate, lautet: 5 \[ T ~=~ \frac{1}{2} \, m \, \left( \dot{x}^2 ~+~ \dot{y}^2 \right) ~=~ \frac{1}{2} \, m \, \dot{s}^2 \] Hierbei wurde $ \dot{x} ~=~ \dot{s} \, \cos(\alpha) $ und $ \dot{y} ~=~ \dot{s} \, \sin(\alpha) $ benutzt. Und die potentielle Energie $ U $, ausgedrückt mit verallgemeinerter Koordinate, lautet: 6 \[ U ~=~ m \, g \, y ~=~ m \, g \, \sin(\alpha) \, s \]

Mit 5 und 6 lautet die Lagrange-Funktion 4 also: 7 \[ \mathcal{L}(s,\dot{s},t) ~=~ \frac{1}{2} \, m \, \dot{s}^2 ~-~ m \, g \, \sin(\alpha) \, s \]

Schritt 3: Aufstellen der Bewegungsgleichungen:

DGL's stellst Du mithilfe der Lagrange-Gleichungen 2. Art auf. Es gibt wegen nur einer generalisierter Koordinate $ s $ nur eine einzige Bewegungsgleichung.

Die Lagrange-Gleichung 2. Art lautet - angewendet auf Koordinate $ s $: 8 \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{s}} ~=~ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s} \]

Verarzte die Lagrange-Gleichung 8 in Einzelschritten. Zuerst die linke Seite: 8.1 \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{s}} ~=~ m \, \dot{s} \]

Dann ergibt die zeitliche Ableitung von 8.1: 8.2 \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{s}} ~=~ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, m \, \dot{s} ~=~ m \, \ddot{s} \]

Berechne noch die rechte Seite der Lagrange-Gleichung 8 und Du bekommst: 8.3 \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s} ~=~ -m \, g \, \sin(\alpha) \]

Wenn Du nun die Ergebnisse 8.2 und 8.3 in die Lagrange-Gleichung 8 einsetzt und noch auf beiden Seiten der Gleichung durch die Masse $ m $ teilst, bekommst Du die gesuchte Bewegungsgleichung für die schiefe Ebene:

9 \[ \ddot{s} ~=~ -g \, \sin(\alpha) \]

Lösung zur Aufgabe #1.2

Schritt 4: Löse die aufgestellte Bewegungsgleichung:

Dein Ziel ist es die Bahn $ s(t) $ zu bestimmen. Dazu integrierst Du die aufgestellte DGL. 9 zwei Mal über die Zeit. Dabei wird die Anfangszeit $ t_0 $ (als untere Integrationsgrenze) Null gesetzt. Das heißt: Zum Zeitpunkt $ t_0 ~=~ 0 $ fängt der Klotz die schiefe Ebene hinunterzurutschen.

Die erste Integration über die Zeit (hier wurde die Integrationsvariable als $ t' $ geschrieben, um sie nicht mit der oberen Integrationsgrenze $ t $ zu verwechseln) 10 \[ \int_{0}^{t} \ddot{s} ~ \text{d}t' ~=~ -g \, \sin(\alpha)\int_{0}^{t} \text{d}t' \] ergibt nach dem Integrieren und Einsetzen der Integrationsgrenzen: 11 \[ \dot{s}(t) ~-~ \dot{s}(0) ~=~ -g \, \sin(\alpha) \, t \]

Die zweite Integration 12 \[ \int_{0}^{t} \dot{s} ~ \text{d}t' ~=~ \int_{0}^{t} \left( -g \, \sin(\alpha) \, t ~+~ \dot{s}(0) \right) ~ \text{d}t' \] ergibt: 13 \[ s(t) ~-~ s(0) ~=~ -\frac{1}{2} \,g \, \sin(\alpha) \, t^2 ~+~ \dot{s}(0) \, t \]

Schritt 5: Integrationskonstanten konkret einsetzen:

Mit den Anfangsbedingungen $ s(0) ~=~ s_0 $ und $ \dot{s}(0) ~=~ v_0 $ lautet die gesuchte Lösung für schiefe Ebene: 14 \[ s(t) ~=~ -\frac{g}{2} \, \sin(\alpha) \, t^2 ~+~ v_0 \, t ~+~ s_0 \]