Kovarianz der Elektrodynamik
Beispiel: wie E- und B-Felder ineinander übergehen
Betrachte einen elektrischen Leiter der Länge \( L \), der nach außen neutral ist. Nach außen neutral heißt, dass die Ladungsdichte der Kerne \( \rho_+ \) und die Ladungsdichte der Elektronen gleich sind \( -\rho_- ~=~ \rho_+ \), weshalb die Gesamtladungsdichte \( \rho \) verschwindet: \[ \rho ~=~ \rho_+ ~+~ \rho_- ~=~ \rho_+ ~-~ \rho_- ~=~ 0 \]
Wenn Du in die Nähe des Leiters ein negativ geladenes Teilchen \( -q \) platzierst, dann passiert erstmal gar nichts. Sobald ein Strom \( I ~=~ j \, A \) - mit einer Stromdichte \( \vec{j} ~=~ \rho_{-} \, v \) - durch den Leiter fließt, erzeugt es ein magnetisches Feld mit dem Betrag (berechnet mit dem Ampere'schen Gesetz): \[ B ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi \, r} \] Dieses Magnetfeld wirkt am Ort der negativen Ladung aus dem Bildschirm heraus. Aber auch ein Magnetfeld wird kaum etwas an der Situation ändern. Erst, wenn das Teilchen - zur Vereinfachung - mit der gleichen Geschwindigkeit \( v \) sich bewegt, erfährt es eine magnetische Kraft \( F_{M} \), die das Teilchen zum Leiter hinzieht: \[ F_{\text m} ~=~ q \, v \, B ~=~ q \, v \, \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi \, r} ~=~ q \, v^2 \, \frac{\mu_0 \, \rho_{-} \, A}{2 \pi \, r} \]
Dein Bezugssystem \( \mathcal{BS} \) ist zuerstmal das Ruhesystem des Leiters. Aus Sicht des ruhenden Leiters sind positive Atomrümpfe in Ruhe, während die Leiterelektronen und das Teilchen in Bewegung sind. Nach der speziellen Relativitätstheorie tritt für die bewegten Elektronen Längenkontraktion auf. Die Länge steckt im Volumen \( V \), welches wiederum in der Ladungsdichte \( \rho_{-} \) steckt: \[ \rho_{-} ~=~ \frac{n_- \, q_-}{V} ~=~ \frac{n_- \, q_-}{A \, L} \]
Aus Sicht ruhender Atomrümpfe ist die Ladungsdichte der Elektronen \( \rho_{-} \) gleich der eigenen Ladungsdichte \( \rho_{+} \). Folglich ist das Volumen in dem die Atomrümpfe sind \( V_+ ~=~ A \, L \) gleich dem Volumen, in dem Elektronen drin sind \( V_- ~=~ A \, L \). Die Querschnittsfläche \( A \) liegt nicht in Bewegungsrichtung der Elektronen, deshalb ist nur die Länge \( L \) für die Volumenänderung beim Bezugssystemwechsel verantwortlich. Die Länge, die in der Ladungsdichte der Elektronen steckt, hat sich in \( \mathcal{BS} \) genau auf die Länge \( L \) verkürzt, demnach ist ihre Ruhelänge \( L_-' \) im Ruhesystem der Elektronen \( \mathcal{BS}' \) größer als \( L \): \[ L_-' ~=~ \frac{1}{\sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}}} \, L ~=~ \gamma \, L \]
Die Ladungsdichte der Elektronen in ihrem Ruhesystem \( \mathcal{BS'} \) beträgt also durch Ersetzen von \( L \) mit ihrer Ruhelänge \( L_-' \): \[ \rho_{-}' ~=~ \frac{n_- \, q_-}{A \, L_{-}'} ~=~ \frac{n_- \, q_-}{A \, \gamma \, L} ~=~ \frac{\rho_{-}}{\gamma} \]
Wechsle Dein Bezugssystem in \( \mathcal{BS}' \) (Ruhesystem der Leitungsektronen). In diesem Bezugssystem ruht das negativ geladene Teilchen: \( \boldsymbol{v} ~=~ 0 \). Dann kann auf dieses Teilchen gar keine magnetische Kraft \( F_{\text m} \) wirken, weil dafür müsste es eine von Null verschiedene Geschwindigkeit haben! Dafür bewegen sich aus dieser Sicht die positiv geladenen Atomrümpfe in entgegengesetzte Richtung mit der Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \). Im Ruhesystem der Elektronen \( \mathcal{BS}' \) verkürzt sich also die Ruhelänge \( L \), die im Volumen der Atomrümpfe steckt, auf \( L'_+ \): \[ L'_+ ~=~ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} \, L ~=~ \frac{1}{\gamma} \, L \]
Die Ladungsdichte der Atomrümpfe im Ruhesystem der Elektronen \( \mathcal{BS'} \) beträgt also durch Ersetzen von \( L \) mit der Länge \( L_+' \) des Volumens der Atomrümpfe, die aus Sicht ruhender Elektronen verkürzt ist: \[ \rho_{+}' ~=~ \frac{n_- \, q_-}{A \, L_{+}'} ~=~ \frac{n_- \, q_- \, \gamma}{A \, L} ~=~ \gamma \, \rho_{+} \]
Die Ladungsdichte \( \rho_{+}' \) ist (siehe Gamma-Faktor) größer als \( \rho_{-}' \), damit ist der Leiter im System \( \mathcal{BS}' \) nicht neutral wie in \( \mathcal{BS} \), sondern positiv geladen und trägt die Gesamtladungsdichte (mit \( \rho_{+} ~=~ -\rho_{-} \)): \[ \rho' ~=~ \rho_{+}' ~+~ \rho_{-}' ~=~ \gamma \, \rho_{+} ~+~ \frac{\rho_{-}}{\gamma} ~=~ \left( \gamma - \frac{1}{\gamma} \right) \, \rho_{+} \] Ruhendes Elektron erfährt in \( \mathcal{BS} \) magnetische Kraft, aber keine elektrische Kraft. Und in \( \mathcal{BS'} \) erfährt es elektrische, aber keine magnetische Kraft.
Die vom geladen Leiter auf das negativ geladene Teilchen - im Bezugssystem \( \mathcal{BS}' \) - ausgeübte Coulomb-Kraft, ausgedrückt mit "Ladung pro Längeneinheit": \[ \frac{q}{L} ~=~ \rho' \, A \] ist: \[ F_{\text e}' ~=~ \frac{q \, \rho' \, A}{2\pi \epsilon_{0} \, r} \]
Mit der eben berechneten Gesamtladungsdichte \( \rho' \) aus Sicht ruhender Atomrümpfe ist die Coulomb-Kraft: \[ F_{\text e}' ~=~ \frac{q \, A}{2\pi \epsilon_{0} \, r} \, \left( \gamma - \frac{1}{\gamma} \right) \, \rho_{+} \]
Mit einer kleinen Umformung vom Faktor, der in der Gesamtladungsdichte im Bezugssystem \( \mathcal{BS}' \) steckt (und unter Berücksichtigung \( \frac{1}{c^2} ~=~ \epsilon_{0} \, \mu_{0} \)): \[ \gamma - \frac{1}{\gamma} ~=~ \frac{\gamma^2 ~-~ 1}{\gamma} ~=~ \frac{v^2}{c^2 \, \gamma} ~=~ \frac{v^2 \, \mu_{0} \, \epsilon_{0}}{\gamma} \]
Wenn Du nun die Coulomb-Kraft \( F_{\text e}' \) in \( \mathcal{BS}' \) mit der magnetischen Kraft \( F_{\text m}' \) in \( \mathcal{BS} \) vergleichst, stellst Du fest, dass sie sich nur um einen Gamma-Faktor unterscheiden: \[ F_{\text e}' ~=~ \gamma \, F_{\text m} \]
Der Gamma-Faktor wird erst für große Geschwindigkeiten wichtig; aber selbst bei kleiner Relativgeschwindigkeit zwischen den Atomrümpfen und den Leitungselektronen wird elektrische Kraft in magnetische transfomiert und andersherum.
Wie Du an der Formel erkennen kannst, verändert sich die Geschwindigkeit \( v \) eines geladenen Teilchen mit der Ladung \( q \), dann verändert sich auch die auf das Teilchen wirkende magnetische Kraft \( \boldsymbol{F}_{\text L} \). Je schneller sich das Teilchen bewegt, desto größer wird Lorentzkraft.
Diese Formel setzt jedoch eine absolute Geschwindigkeit voraus, welche jedoch nach dem Relativitätsprinzip nicht gibt. \( v \) ist stets eine Relativgeschwindigkeit und Du musst Dir immer die Frage stellen: relativ zu welchem System hat das Teilchen diese Geschwindigkeit? Du könntest beispielsweise in ein Bezugssystem übergehen, in dem das Teilchen ruht (\( v ~=~ 0\)). Ein Beobachter in diesem Bezugssystem würde keine Lorentzkraft auf das Teilchen feststellen. Nach dem Relativitätsprinzip sollte jedes Inertialsystem gleichberechtigt sein. Das heißt, sowohl aus Sicht ruhender Atomrümpfe und aus Sicht ruhender Leiterelektronen sollten die gleichen physikalischen Erscheinungen auftreten. Und in unserem Beispiel mit dem äußeren Teilchen und dem stromdurchflossenen Leiter war das der Fall.
Das Problem ist also mit der obigen Lorentzkraft-Formel ist, dass sie nur den magnetischen Anteil berücksichtigt, nicht jedoch den elektrischen Anteil, was dazu führt, dass in einem Bezugssystem eine Anziehung des geladenen Teilchens beobachtet wird, während im anderen Bezugssystem nicht. Das ist aber - wie Du am obigen Beispiel gesehen hast - nicht der Fall. Dazu musst Du lediglich auch den elektrischen Anteil in der Formel mitberücksichtigen. Dann können der magnetische und elektrische Anteile ineinander übergehen. Das wird das Problem mit der verschwundenen Lorentzkraft lösen und die Gleichung unter Lorentz
Wenn Du jetzt in das Ruhesystem der Ladung übergehst, wird zwar der magnetische Anteil verschwunden sein, nicht jedoch der elektrische Anteil. Auf diese Weise bleibt die Lorentzkraft kovariant unter Lorentztransformation.