Kartesisches Koordinatensystem (Links- und Rechtssystem)
Um die Frage zu klären, ob ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem rechtshändig oder linkshändig ist, muss die Reihenfolge der Einheitsvektoren \(\hat{x}\) und \(\hat{y}\), die das Koordinatensystem aufspannen, festgelegt werden, denn die beiden geordneten Tupel (\(\hat{x},~\hat{y}\)) und (\(\hat{y},~\hat{x}\)) sind nicht gleich! Die beiden Determinanten der Matrizen für die obigen Tupel von Spaltenvektoren sind nämlich unterschiedlich.
(\(\hat{x},~\hat{y}\)) ist ein rechtshändiges Koordinatensystem, weil die Determinante positiv ist: \[ |\hat{x}, ~\hat{y}| ~=~ \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \]
(\(\hat{y},~\hat{x}\)) ist ein linkshändiges Koordinatensystem, weil die Determinante negativ ist: \[ |\hat{y}, ~\hat{x}| ~=~ \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \]
Wie die Determinante einer beliebigen nxn-matrix berechnet werden kann, verrät der Laplace-Entwicklungssatz.
Betrachte ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem mit den Basiseinheitsvektoren \(\hat{x}\), \(\hat{y}\) und \(\hat{z}\).
Der Tupel (\(\hat{x},~\hat{y},~\hat{z}\)) bildet ein rechtshändiges Koordinatensystem, weil die Determinante positiv ist: \[ \begin{vmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} = 1 \]
Der Tupel (\(\hat{z},~\hat{y},~\hat{x}\)) bildet ein linkshändiges Koordinatensystem, weil die Determinante negativ ist: \[ \begin{vmatrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{vmatrix} = -1 \]
Der Tupel (\(\hat{z},~\hat{x},~\hat{y}\)) bildet wieder ein rechtshändiges Koordinatensystem, weil die Determinante positiv ist: \[ \begin{vmatrix}0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{vmatrix} = 1 \]
An dem Beispiel #2 ist deutlich zu erkennen, dass eine ungerade Permutation von Vektoren des Tupels (d.h. in diesem Fall eine einzige Vertauschung irgendeines Vektors) aus einem rechtshändigen Koordinatensystem ein linkshändiges macht. Eine gerade Permutation dagegen (d.h. in diesem Fall zwei Vertauschung irgendeines Vektors) ändert nichts an der Orientierung des Koordinatensystems; es bleibt rechtshändig.
Natürlich ist es in der Physik und Mathematik unpraktisch ständig das Vorzeichen der Determinante zu bestimmen, um zu überprüfen, ob das Koordinatensystem links- oder rechtshändig ist. Dafür gibt es eine einfache Regel! Dazu wird folgendes festgelegt:
Drei-Finger-Regel:
- Der Daumen zeigt in die Richtung des ersten Spaltenvektors. Zum Beispiel beim Tupel (\(\boldsymbol{x}\), \(\boldsymbol{y}\), \(\boldsymbol{z}\)) ist es die \(x\)-Richtung.
- Der Zeigefinger zeigt in die Richtung des zweiten Spaltenvektors. Zum Beispiel beim Tupel (\(\boldsymbol{x}\), \(\boldsymbol{y}\), \(\boldsymbol{z}\)) ist es die \(y\)-Richtung.
- Der Mittelfinger zeigt in die Richtung des dritten Spaltenvektors. Zum Beispiel beim Tupel (\(\boldsymbol{x}\), \(\boldsymbol{y}\), \(\boldsymbol{z}\)) ist es die \(z\)-Richtung.
Wenn das betrachtete Koordinatensystem ein rechtshändiges Koordinatensystem ist, dann ist die festgelegte Anordnung der Finger nur mit der rechten Hand möglich! Mit der linken Hand dagegen ist es aufgrund der Physiologie des Menschen nicht möglich (Cyborgs o.Ä. sind ausgeschlossen). Wenn das betrachtete Koordinatensystem aber ein linkshändiges Koordinatensystem darstellt, dann ist die festgelegte Anordnung der Finger nur mit der linken Hand möglich!