Kondensatoren: Reihenschaltung und Parallelschaltung

Betrachte ein Plattenkondensator mit der Plattenfläche \(A\) und Abstand \(d\) zwischen den Elektroden. Im Inneren des Plattenkondensators befindet sich zur Hälfte ein Dielektrikum mit der relativen Permittivität \(\varepsilon_1\) und zur anderen Hälfte ein Dielektrikum mit der relativen Permittivität \(\varepsilon_2\).

1. Wie groß ist die Kapazität des Kondensators mit den beiden Dielektrika?
2. Um welchen Faktor ändert sich die Spannung mit Dielektrika im Vergleich zur Spannung ohne Dielektrika?
3. Um welchen Faktor ändert sich die elektrische Energie mit Dielektrika im Vergleich zur Energie ohne Dielektrika?

Lösung zur Aufgabe #1.1

Da im Plattenkondensator zur einen Hälfte ein Dielektrikum und zur anderen Hälfte ein anderes Dielektrikum gefüllt ist, kann das Problem als eine Parallelschaltung von zwei Kondensatoren betrachtet werden, die jeweils eine Plattenfläche \(A/2\) haben (weil das Dielektrikum nur die Hälfte des Kondensators ausfüllt).

In einer Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität die Summe einzelner Kapazitäten: 1 $$ C ~=~ C_1 + C_2 $$ wobei hier \(C_1\) die Kapazität des einen Kondensators und \(C_2\) die Kapazität des anderen Kondensators ist, die noch konkret bestimmt werden müssen. Die Kapazität des ersten Plattenkondensators mit der relativen Permittivität \(\varepsilon_1\) und der Plattenfläche \(\frac{A}{2}\) ist: 2 $$ C_1 ~=~ \varepsilon_0 \, \varepsilon_1 \, \frac{A}{2d} $$

Analog ist die Kapazität des anderen Kondensators mit der relativen Permittivität \(\varepsilon_2\): 3 $$ C_2 ~=~ \varepsilon_0 \, \varepsilon_2 \, \frac{A}{2d} $$

Die Gesamtkapazität ist also die Summe von 2 und 3: 4 $$ C ~=~ \varepsilon_0 \, \frac{A}{2d} \, ( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 ) $$

Lösung zur Aufgabe #1.2

Die Spannung und die Ladung sind in einem Plattenkondensator proportional: 5 $$ Q ~=~ C \, U $$

Unter der Annahme, dass die Ladung \(Q\) konstant gehalten wird, ist die Spannung \( U_{\text v} \) am Kondensator mit der Plattenfläche \(A\) und mit Vakuum dazwischen, gegeben durch: 6 \begin{align} U_{\text v} &~=~ \frac{Q}{C} \\\\ &~=~ \frac{d \, Q}{\varepsilon_0 \, A} \end{align}

Es wurde lediglich die Formel für die Kapazität des Plattenkondensators mit der rel. Permittivität = 1 und der Fläche \(A\) benutzt.

Und die Spannung \( U_{\text d} \) mit den beiden Dielektrika resultiert durch Einsetzen der Gesamtkapazität 4 in Gl. 5: 7 \begin{align} U_{\text d} &~=~ \frac{Q}{C} \\\\ &~=~ \frac{Q \, d}{\varepsilon_0 \, A} \, \frac{2}{\varepsilon_1 ~+~ \varepsilon_2} \end{align}

Der Vergleich von 6 und 7 ergibt, dass die Spannung am Plattenkondensator mit den beiden Dielektrika sich um den Faktor 8 $$ \frac{ U_{\text v} }{ U_{\text d} } ~=~ \frac{2}{\varepsilon_1 ~+~ \varepsilon_2} $$ verändert hat.

Lösung zur Aufgabe #1.3

Die elektrische Energie \(W\), die im Plattenkondensator gespeichert ist, ist gegeben durch: 9 $$ W ~=~ \frac{1}{2} \, C \, U^2 $$

Einsetzen der Kapazität des Plattenkondensators mit Vakuum zwischen den Platten (analog zur Teilaufgabe b) ergibt die folgende Energie: 10 $$ W_{\text v} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, U^2 $$

Einsetzen der Kapazität 4 für ein Kondensator mit den beiden Dielektrika in die Gleichung 9: 11 $$ W_{\text d} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, \frac{\varepsilon_1 ~+~ \varepsilon_2}{2} \, U^2 $$

Der Vergleich von 10 und 11 ergibt, dass die elektrische Energie am Plattenkondensator mit den beiden Dielektrika sich um den Faktor 12 $$ \frac{ W_{\text v} }{ W_{\text d} } ~=~ \frac{\varepsilon_1 ~+~ \varepsilon_2}{2} $$ verändert hat.

In eine Flüssigkeit mit der relativen Permittivität \( \varepsilon_{\text r} \) und Dichte \(\rho\) werden zwei Kondensatorplatten mit Höhe \(a\) und Länge \(b\) bis zur Höhe \(s\) eingetaucht. Die Platten befinden sich im Abstand \(d\) zueinander.

Nun wird eine Spannungsquelle benutzt, um die beiden Platten auf eine Spannung \(U\) aufzuladen. Im Experiment wird beobachtet, dass die Flüssigkeit dann um die Höhe \(h\) zwischen den Platten ansteigt.

1. Wie ändert sich die Höhe \(h\), wenn die Spannungsquelle nach dem Aufladen der Platten abgeschaltet wird?
2. Wie lautet der Zusammenhang zwischen der Spannung \(U\) und der Höhe \(h\), wenn die Spannungsquelle nicht abgeschaltet wird?

Lösung zur Aufgabe #2.1

Beim Anlegen der Spannung \(U\) wurde die Flüssigkeit zwischen den Kondensatorplatten um die Höhe \(h \) entlang der \(z\)-Achse angehoben.

In diesem Fall wird der Plattenkondensator auf die Spannung \(U\) aufgeladen und die Spannungsquelle wird abgeschaltet. Das heißt: Die Ladung \(Q_0\), die beim Einschalten der Spannungsquelle auf die Kondensatorplatten gebracht wird, bleibt konstant, weil die Spannungsquelle nach dem Aufladen abgeschaltet wird und damit keine zusätzlichen Ladungen liefern kann.

Die angehobene Flüssigkeitsmenge hat an potentieller Energie \(W_{\text{pot}}\) gewonnen: 1 $$ W_{\text{pot}} ~=~ -\int_{0}^{h} F_{\text g} \text{d}z $$

Hierbei ist \( F_{\text g} = m \, g \) die Fallkraft, die auf die angehobene Flüssigkeitsmasse \(m\) ausgeübt wird. Da die Masse \(m\) nicht bekannt ist, wird sie mithilfe der gegebenen Massendichte \( \rho \) und dem Volumen \(V(z)\), das die angehobene Flüssigkeitsmenge einnimmt, umgeschrieben: \( m = \rho \, V(z) \), wobei \(V(z) = z \, d \, b \) von der variablen Höhe \(z\) abhängt: \( m = \rho \, z \, d \, b \). Damit wird Gl. 1 zu: 2 \begin{align} W_{\text{pot}} &~=~ -\int_{0}^{h} g\, \rho \, z \, d \, b ~ \text{d}z \\\\ &~=~ - g\, \rho \, d \, b \int_{0}^{h} z ~ \text{d}z \\\\ &~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, g \, d \,b \left[ z^2 \right]_{0}^{h} \\\\ &~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, g \, d\,b\,h^2 \\\\ & ~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, V \, g \, h \end{align}

Hierbei haben wir in der letzten Zeile \( V = d\,b\,h\) geschrieben. Da an unserem Plattenkondensator der Gesamtkapazität \(C\) eine konstante Spannung \(U\) anliegt, ist im Plattenkondensator folgende elektrische Energie gespeichert: 3 $$ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, C \, U^2 $$

Die Gesamtkapazität \(C\) setzt sich zusammen aus der Kapazität \(C_0\) des Teils des Kondensators, der noch im Vakuum ist und aus der Kapazität \(C_{\text r}\) des Teils des Kondensators, der mit Flüssigkeit gefüllt ist: 4 $$ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, (C_0 + C_{\text r}) \, U^2 $$

Die Kapazität am Plattenkondensator ohne Dielektrikum (also im Vakuum) ist \( C_0 = \varepsilon_0 \, A_0 / d \) und die Kapazität am Plattenkondensator mit Dielektrikum ist \( C_{\text r} = \varepsilon_0 \, \varepsilon_{\text r} \, A_{\text r} / d \). Nach der Aufgabenstellung ist die Fläche \( A_0 = b \, (a - h - s)\) und die Fläche \( A_{\text r} = b \, (h+s)\).

Die elektrische Energie 3 enthält damit drei Terme: 5 \begin{align} W_{\text e} &~=~\frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, a \, U^2 \\\\ &~+~ \frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, h \, (\varepsilon_{\text r}-1) \, U^2 \\\\ & ~+~ \frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, s \, (\varepsilon_{\text r}-1) \, U^2 \end{align}

Der erste Term ist die elektrische Energie, die im Kondensator mit Vakuum steckt. Der zweite Term ist die elektrische Energie, die im mit der Flüssigkeit vollständig ausgefüllten Kondensator der Höhe \(h\) steckt. Der dritte Term ist die elektrische Energie, die im mit der Flüssigkeit vollständig ausgefüllten Kondensator der Höhe \(s\) steckt. Der Anteil der elektrischen Energie, der der potentiellen Energie der Flüssigkeit entsprechen muss, ist der zweite Term. Gleichsetzen des zweiten Terms mit 2 und das Umstellen nach der Steighöhe \( h \) ergibt den gesuchten Zusammenhang zwischen \(h\) und \(U\). 6 \[ h = \frac{\varepsilon_0 \, (\varepsilon_{\text r} - 1)}{\rho \, g \, d^2} \, U^2 \]

Die Steighöhe steigt quadratisch mit \(U\) an. Aus der Messung der Steighöhe kann die relative Permittivität \( \varepsilon_{\text r}\) der Flüssigkeit experimentell bestimmt werden.

Lösung zur Aufgabe #2.2

Die elektrische Gesamtenergie drücken wir mit der konstante Ladung \(Q_0\) aus: \( W_{\text{e},0} = \frac{Q_0^2}{2 C_0} \). Hierbei ist \(C_0 = \frac{\varepsilon_0 \, (a-s)\, b}{d} + \frac{\varepsilon_0 \, s\, b}{d} \) die Kapazität des Kondensators, bevor die Flüssigkeit steigt. Sie setzt sich zusammen aus der Kapazität des Teil-Kondensators, der im Vakuum ist und der Kapazität des Teil-Kondensators, der in die Flüssigkeit eingetaucht ist.

Die elektrische Gesamtenergie \( W_{\text{e},0}\) bleibt erhalten, da die Spannungsquelle abgeschaltet ist. Sie setzt sich zusammen aus der elektrischen Energie \( W_{\text e} = \frac{Q_0^2}{2 C} \), die im Plattenkondensator gespeichert ist, nachdem die Flüssigkeit gestiegen ist und aus der potentiellen Energie \(W_{\text{pot}} = - \frac{1}{2} \, \rho \, V \, g \, h \) der angehobenen Flüssigkeitsmenge. Diese haben wir im Aufgabenteil (a) berechnet: $$\begin{align} W_{\text{e},0} &= W_{\text e} ~+~ W_{\text{pot}} \\\\ \frac{Q_0^2}{2 C_0} &= \frac{Q_0^2}{2 C} ~-~ \frac{1}{2} \, \rho \, V \, g \, h \end{align}$$

Hierbei ist \(C = \frac{\varepsilon_0 \, s\, b}{d} + \frac{\varepsilon_0 \, h\, b}{d} + \frac{\varepsilon_0 \, (a-h-s)\, b}{d} \). Benutze außerdem \( Q_0 = E \, C_0 \, d \), mit \(E = \frac{U}{d}\). Ein bisschen umstellen und einsetzen, dann bekommst du eine quadratische Gleichung für die Höhe \(h\). Mit der Annahme, dass \(a\) viel größer ist als \(h\), bekommst du: $$ h ~\approx~ \frac{\varepsilon_0}{\rho \, g \, d^2} \, \frac{1}{\varepsilon_{\text r}^2} \, U^2 $$

Nach dem Aufladen der Platten auf \(U\) und anschließendes Abschalten der Spannungsquelle sinkt die Steighöhe, gegenüber dem Fall ohne Abschalten der Spannungsquelle, um den Faktor: \[ (\varepsilon_{\text r} - 1) \, \varepsilon_{\text r}^2 \]