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Kondensatoren: Reihenschaltung und Parallelschaltung

Wichtige Formel

Formel: Reihenschaltung von Kondensatoren

$$\frac{1}{C} ~=~ \frac{1}{C_1} ~+~ \frac{1}{C_2} ~+~... ~+~ \frac{1}{C_n}$$

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Gesamtkapazität

$$ C $$ Einheit $$ \mathrm{F} $$

Die gesamte Kapazität (auch Ersatzkapazität genannt) von allen in Reihe geschalteten $n$ Kondensatoren. In einer Reihenschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kapazitäten der Kondensatoren reziprok.

Die Kapazität ist eine charakteristische Größe des Kondensators und sagt aus, wie viele Ladungen auf den Kondensator gebracht werden müssen, um den Kondensator auf die Spannung $ 1 \, \mathrm{V} $ aufzuladen.

Teilkapazitäten

$$ C_1, C_2, ... , C_n $$ Einheit $$ \mathrm{F} $$

Kapazitäten einzelner seriell geschalteter Kondensatoren.

Beispiel: Zwei Kondensatoren sind in Serie geschaltet. Sie haben die Werte $C_1 = 100 \, \mu\mathrm{F}$ und $C_2 = 300 \, \mu\mathrm{F}$. Die Gesamtkapazität ist somit: \begin{align} \frac{1}{C} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \\\\ &= \frac{1}{100 \, \mu\mathrm{F}} + \frac{1}{300 \, \mu\mathrm{F}} \\\\ &= \frac{1}{75 \, \mu\mathrm{F}} \end{align} Folglich ist die Gesamtkapazität der Kehrwert davon: $ 75 \, \mu\mathrm{F} $.

Gesamtkapazität einer Reihenschaltung von Kondensatoren

Betrachten wir eine Schaltung mit einem Stromkreis. Dazu nehmen wir zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten $C_1$ und $C_2$. An diese beiden Kondensatoren legen wir eine Spannung $ U $ an. Auf diese Weise haben wir eine Reihenschaltung von Kondensatoren konstruiert.

Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten:
Aufgrund der angelegten Spannung entsteht ein elektrischer Strom $ \class{red}{I} $, der durch die Schaltung fließt. Da die Reihenschaltung keine Knoten hat, an denen der Strom sich aufteilen könnte, fließt durch die beiden Kondensatoren der gleiche Strom $ \class{red}{I} $. Der Strom ist definiert als Ladung $\class{red}{Q}$ pro Zeit $t$: 1 $$\class{red}{I} ~=~ \frac{\class{red}{Q}}{t}$$

Das heißt, zum Zeitpunkt $t$, ist in beiden Kondensatoren die Ladungsmenge $\class{red}{Q} ~=~ \class{red}{I} \, t $ gespeichert. Da der Strom durch beide Kondensatoren gleich ist, ist auch die Ladungsmenge $ \class{red}{Q} $ zum Zeitpunkt $t$ auf beiden Kondensatoren gleich.

Spannung an den Kondensatoren:
Die angelegte Spannung $ U $ ist die Gesamtspannung, die an beiden Kondensatoren abfällt. Sie setzt sich zusammen aus der Spannung $U_1$, die zwischen den Elektroden des ersten Kondensators anliegt und aus der Spannung $U_2$, die zwischen den Elektroden des zweiten Kondensators anliegt: 2 $$U ~=~ U_1 ~+~ U_2$$

Die Kapazität bringen wir ins Spiel, indem wir den Zusammenhang zwischen der Ladung und der Spannung benutzen ($\class{red}{Q} = C\, U$). Für den ersten und zweiten Kondensator also: 3 $$\begin{align}\class{red}{Q} &~=~ C_1 \, U_1 \\\\ \class{red}{Q} &~=~ C_2 \, U_2\end{align}$$

Die Gesamtkapazität $C$ der Reihenschaltung hängt genauso mit der Gesamtspannung $ U $ zusammen, wie die Einzelkapazitäten in 3: 4 $$\class{red}{Q} ~=~ C \, U$$

Diese Gleichungen besagen, dass die Ladungsmenge $ \class{red}{Q} $ auf den Kondensatorplatten proportional zur jeweiligen Spannung zwischen den Kondensatorplatten ist, wobei die Proportionalitätskonstante die Kapazität ist. Stelle beide Gleichungen in 3 und in 4 nach den Spannungen um: 5 $$\begin{align}U_1 &~=~ \frac{\class{red}{Q}}{C_1} \\\\ U_2 &~=~ \frac{\class{red}{Q}}{C_2} \\\\ U &~=~ \frac{\class{red}{Q}}{C}\end{align}$$

Nun kannst du die Spannungen in 3 und 4 mit denen in 5 ersetzen: 6 $$\begin{align}U &~=~ U_1 ~+~ U_2 \\\\ \frac{\class{red}{Q}}{C} &~=~ \frac{\class{red}{Q}}{C_1} ~+~ \frac{\class{red}{Q}}{C_2}\end{align}$$

Teile nur noch beide Seiten durch die Ladung $\class{red}{Q}$, um sie zu eliminieren: 7 $$\frac{1}{C} ~=~ \frac{1}{C_1} ~+~ \frac{1}{C_2}$$

Diese Gleichung lässt sich nach $C$ umformen: 8 $$C ~=~ \frac{C_1\, C_2}{C_1 ~+~ C_2}$$

Wenn du mehr als zwei Kondensatoren hast, kannst du analog vorgehen, um die folgende Formel herzuleiten: 9 $$\frac{1}{C} ~=~ \frac{1}{C_1} ~+~ \frac{1}{C_2} ~+~ ... ~+~ \frac{1}{C_n}$$

Hierbei bezeichnet $C_n$ die Kapazität des $n$-ten Kondensators.

Gesamtkapazität einer Parallelschaltung von Kondensatoren

Betrachten wir eine etwas andere Schaltung. Dazu nehmen wir wieder zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten $C_1$ und $C_2$. An diese beiden Kondensatoren legen wir eine Spannung $ U $ an. Auf diese Weise haben wir eine Parallelschaltung von Kondensatoren konstruiert.

Strom durch den Kondensator:
Bei einer Parallelschaltung spaltet sich der Gesamtstrom $ \class{red}{I} $ an den Knoten zu den Kondensatoren auf. Jetzt dürfen wir nicht mehr annehmen, dass der Strom durch beide Kondensatoren gleich ist. Daher bezeichnen wir den Strom durch den ersten Kondensator mit $ \class{red}{I_1} $ und durch den zweiten Kondensator mit $ \class{red}{I_2} $. Der Gesamtstrom muss natürlich wegen der Ladungserhaltung die Summe der beiden Einzelströme sein: 10 $$\class{red}{I} ~=~ \class{red}{I_1} ~+~ \class{red}{I_2}$$

Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten:

Wir können die Definition des Stroms (als Ladung pro Zeit) in 2 benutzen, um eine Gleichung für die Gesamtladung $\class{red}{Q}$ zu bekommen: 11 $$\frac{\class{red}{Q}}{t} ~=~ \frac{\class{red}{Q_1}}{t} ~+~ \frac{\class{red}{Q_2}}{t}$$

Teile beide Seiten nur noch durch die Zeit $t$: 12 $$\class{red}{Q} ~=~ \class{red}{Q_1} ~+~ \class{red}{Q_2}$$

Im Gegensatz zu einer Reihenschaltung ist bei einer Parallelschaltung die Ladungsmenge in den Kondensatoren unterschiedlich.

Nutze nun den Zusammenhang $\class{red}{Q} = C\, U$ zwischen der Ladung und der Spannung, um die Kapazität ins Spiel zu bringen: 13 $$\begin{align}\class{red}{Q_1} &~=~ C_1 \, U \\\\ \class{red}{Q_2} &~=~ C_2 \, U \\\\ \class{red}{Q} &~=~ C \, U\end{align}

Ersetze die Ladungen in 12 mit denen aus 13: 14 $$C \, U ~=~ C_1 \, U ~+~ C_2 \, U$$

Teile beide Seiten durch die Spannung $U$, um sie zu eliminieren: 15 $$C ~=~ C_1 ~+~ C_2$$

Wenn du mehr als zwei Kondensatoren hast, kannst du analog vorgehen, um die folgende Formel herzuleiten: 16 $$C ~=~ C_1 ~+~ C_2 ~+~ ... ~+~ C_n$$

Hierbei bezeichnet $C_n$ die Kapazität des $n$-ten Kondensators.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Kondensator mit und ohne Dielektrikum im Vergleich

Betrachte ein Plattenkondensator mit der Plattenfläche $A$ und Abstand $d$ zwischen den Elektroden. Im Inneren des Plattenkondensators befindet sich zur Hälfte ein Dielektrikum mit der relativen Permittivität $\varepsilon_1$ und zur anderen Hälfte ein Dielektrikum mit der relativen Permittivität $\varepsilon_2$.

Wie groß ist die Kapazität des Kondensators mit den beiden Dielektrika?
Um welchen Faktor ändert sich die Spannung mit Dielektrika im Vergleich zur Spannung ohne Dielektrika?
Um welchen Faktor ändert sich die elektrische Energie mit Dielektrika im Vergleich zur Energie ohne Dielektrika?

Lösung zur Aufgabe #1.1

Parallelschaltung von zwei Kondensatoren.

Da im Plattenkondensator zur einen Hälfte ein Dielektrikum und zur anderen Hälfte ein anderes Dielektrikum gefüllt ist, kann das Problem als eine Parallelschaltung von zwei Kondensatoren betrachtet werden, die jeweils eine Plattenfläche $A/2$ haben (weil das Dielektrikum nur die Hälfte des Kondensators ausfüllt).

In einer Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität die Summe einzelner Kapazitäten: 1 $$ C ~=~ C_1 + C_2 $$ wobei hier $C_1$ die Kapazität des einen Kondensators und $C_2$ die Kapazität des anderen Kondensators ist, die noch konkret bestimmt werden müssen. Die Kapazität des ersten Plattenkondensators mit der relativen Permittivität $\varepsilon_1$ und der Plattenfläche $\frac{A}{2}$ ist: 2 $$ C_1 ~=~ \varepsilon_0 \, \varepsilon_1 \, \frac{A}{2d} $$

Analog ist die Kapazität des anderen Kondensators mit der relativen Permittivität $\varepsilon_2$: 3 $$ C_2 ~=~ \varepsilon_0 \, \varepsilon_2 \, \frac{A}{2d} $$

Die Gesamtkapazität ist also die Summe von 2 und 3: 4 $$ C ~=~ \varepsilon_0 \, \frac{A}{2d} \, ( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 ) $$

Lösung zur Aufgabe #1.2

Die Spannung und die Ladung sind in einem Plattenkondensator proportional: 5 $$ Q ~=~ C \, U $$

Unter der Annahme, dass die Ladung $Q$ konstant gehalten wird, ist die Spannung $ U_{\text v} $ am Kondensator mit der Plattenfläche $A$ und mit Vakuum dazwischen, gegeben durch: 6 \begin{align} U_{\text v} &~=~ \frac{Q}{C} \\\\ &~=~ \frac{d \, Q}{\varepsilon_0 \, A} \end{align}

Es wurde lediglich die Formel für die Kapazität des Plattenkondensators mit der rel. Permittivität = 1 und der Fläche $A$ benutzt.

Und die Spannung $ U_{\text d} $ mit den beiden Dielektrika resultiert durch Einsetzen der Gesamtkapazität 4 in Gl. 5: 7 \begin{align} U_{\text d} &~=~ \frac{Q}{C} \\\\ &~=~ \frac{Q \, d}{\varepsilon_0 \, A} \, \frac{2}{\varepsilon_1 ~+~ \varepsilon_2} \end{align}

Der Vergleich von 6 und 7 ergibt, dass die Spannung am Plattenkondensator mit den beiden Dielektrika sich um den Faktor 8 $$ \frac{ U_{\text v} }{ U_{\text d} } ~=~ \frac{2}{\varepsilon_1 ~+~ \varepsilon_2} $$ verändert hat.

Lösung zur Aufgabe #1.3

Die elektrische Energie $W$, die im Plattenkondensator gespeichert ist, ist gegeben durch: 9 $$ W ~=~ \frac{1}{2} \, C \, U^2 $$

Einsetzen der Kapazität des Plattenkondensators mit Vakuum zwischen den Platten (analog zur Teilaufgabe b) ergibt die folgende Energie: 10 $$ W_{\text v} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, U^2 $$

Einsetzen der Kapazität 4 für ein Kondensator mit den beiden Dielektrika in die Gleichung 9: 11 $$ W_{\text d} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, \frac{\varepsilon_1 ~+~ \varepsilon_2}{2} \, U^2 $$

Der Vergleich von 10 und 11 ergibt, dass die elektrische Energie am Plattenkondensator mit den beiden Dielektrika sich um den Faktor 12 $$ \frac{ W_{\text v} }{ W_{\text d} } ~=~ \frac{\varepsilon_1 ~+~ \varepsilon_2}{2} $$ verändert hat.

Aufgabe #2: Steighöhe einer dielektrischen Flüssigkeit im Plattenkondensator

In eine Flüssigkeit mit der relativen Permittivität $ \varepsilon_{\text r} $ und Dichte $\rho$ werden zwei Kondensatorplatten mit Höhe $a$ und Länge $b$ bis zur Höhe $s$ eingetaucht. Die Platten befinden sich im Abstand $d$ zueinander.

Nun wird eine Spannungsquelle benutzt, um die beiden Platten auf eine Spannung $U$ aufzuladen. Im Experiment wird beobachtet, dass die Flüssigkeit dann um die Höhe $h$ zwischen den Platten ansteigt.

Wie ändert sich die Höhe $h$, wenn die Spannungsquelle nach dem Aufladen der Platten abgeschaltet wird?
Wie lautet der Zusammenhang zwischen der Spannung $U$ und der Höhe $h$, wenn die Spannungsquelle nicht abgeschaltet wird?

Lösung zur Aufgabe #2.1

Beim Anlegen der Spannung $U$ wurde die Flüssigkeit zwischen den Kondensatorplatten um die Höhe $h $ entlang der $z$-Achse angehoben.

In diesem Fall wird der Plattenkondensator auf die Spannung $U$ aufgeladen und die Spannungsquelle wird abgeschaltet. Das heißt: Die Ladung $Q_0$, die beim Einschalten der Spannungsquelle auf die Kondensatorplatten gebracht wird, bleibt konstant, weil die Spannungsquelle nach dem Aufladen abgeschaltet wird und damit keine zusätzlichen Ladungen liefern kann.

Die angehobene Flüssigkeitsmenge hat an potentieller Energie $W_{\text{pot}}$ gewonnen: 1 $$ W_{\text{pot}} ~=~ -\int_{0}^{h} F_{\text g} \text{d}z $$

Hierbei ist $ F_{\text g} = m \, g $ die Fallkraft, die auf die angehobene Flüssigkeitsmasse $m$ ausgeübt wird. Da die Masse $m$ nicht bekannt ist, wird sie mithilfe der gegebenen Massendichte $ \rho $ und dem Volumen $V(z)$, das die angehobene Flüssigkeitsmenge einnimmt, umgeschrieben: $ m = \rho \, V(z) $, wobei $V(z) = z \, d \, b $ von der variablen Höhe $z$ abhängt: $ m = \rho \, z \, d \, b $. Damit wird Gl. 1 zu: 2 \begin{align} W_{\text{pot}} &~=~ -\int_{0}^{h} g\, \rho \, z \, d \, b ~ \text{d}z \\\\ &~=~ - g\, \rho \, d \, b \int_{0}^{h} z ~ \text{d}z \\\\ &~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, g \, d \,b \left[ z^2 \right]_{0}^{h} \\\\ &~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, g \, d\,b\,h^2 \\\\ & ~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, V \, g \, h \end{align}

Hierbei haben wir in der letzten Zeile $ V = d\,b\,h$ geschrieben. Da an unserem Plattenkondensator der Gesamtkapazität $C$ eine konstante Spannung $U$ anliegt, ist im Plattenkondensator folgende elektrische Energie gespeichert: 3 $$ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, C \, U^2 $$

Die Gesamtkapazität $C$ setzt sich zusammen aus der Kapazität $C_0$ des Teils des Kondensators, der noch im Vakuum ist und aus der Kapazität $C_{\text r}$ des Teils des Kondensators, der mit Flüssigkeit gefüllt ist: 4 $$ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, (C_0 + C_{\text r}) \, U^2 $$

Die Kapazität am Plattenkondensator ohne Dielektrikum (also im Vakuum) ist $ C_0 = \varepsilon_0 \, A_0 / d $ und die Kapazität am Plattenkondensator mit Dielektrikum ist $ C_{\text r} = \varepsilon_0 \, \varepsilon_{\text r} \, A_{\text r} / d $. Nach der Aufgabenstellung ist die Fläche $ A_0 = b \, (a - h - s)$ und die Fläche $ A_{\text r} = b \, (h+s)$.

Die elektrische Energie 3 enthält damit drei Terme: 5 \begin{align} W_{\text e} &~=~\frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, a \, U^2 \\\\ &~+~ \frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, h \, (\varepsilon_{\text r}-1) \, U^2 \\\\ & ~+~ \frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, s \, (\varepsilon_{\text r}-1) \, U^2 \end{align}

Der erste Term ist die elektrische Energie, die im Kondensator mit Vakuum steckt. Der zweite Term ist die elektrische Energie, die im mit der Flüssigkeit vollständig ausgefüllten Kondensator der Höhe $h$ steckt. Der dritte Term ist die elektrische Energie, die im mit der Flüssigkeit vollständig ausgefüllten Kondensator der Höhe $s$ steckt. Der Anteil der elektrischen Energie, der der potentiellen Energie der Flüssigkeit entsprechen muss, ist der zweite Term. Gleichsetzen des zweiten Terms mit 2 und das Umstellen nach der Steighöhe $ h $ ergibt den gesuchten Zusammenhang zwischen $h$ und $U$. 6 \[ h = \frac{\varepsilon_0 \, (\varepsilon_{\text r} - 1)}{\rho \, g \, d^2} \, U^2 \]

Die Steighöhe steigt quadratisch mit $U$ an. Aus der Messung der Steighöhe kann die relative Permittivität $ \varepsilon_{\text r}$ der Flüssigkeit experimentell bestimmt werden.

Lösung zur Aufgabe #2.2

Die elektrische Gesamtenergie drücken wir mit der konstante Ladung $Q_0$ aus: $ W_{\text{e},0} = \frac{Q_0^2}{2 C_0} $. Hierbei ist $C_0 = \frac{\varepsilon_0 \, (a-s)\, b}{d} + \frac{\varepsilon_0 \, s\, b}{d} $ die Kapazität des Kondensators, bevor die Flüssigkeit steigt. Sie setzt sich zusammen aus der Kapazität des Teil-Kondensators, der im Vakuum ist und der Kapazität des Teil-Kondensators, der in die Flüssigkeit eingetaucht ist.

Die elektrische Gesamtenergie $ W_{\text{e},0}$ bleibt erhalten, da die Spannungsquelle abgeschaltet ist. Sie setzt sich zusammen aus der elektrischen Energie $ W_{\text e} = \frac{Q_0^2}{2 C} $, die im Plattenkondensator gespeichert ist, nachdem die Flüssigkeit gestiegen ist und aus der potentiellen Energie $W_{\text{pot}} = - \frac{1}{2} \, \rho \, V \, g \, h $ der angehobenen Flüssigkeitsmenge. Diese haben wir im Aufgabenteil (a) berechnet: $$\begin{align} W_{\text{e},0} &= W_{\text e} ~+~ W_{\text{pot}} \\\\ \frac{Q_0^2}{2 C_0} &= \frac{Q_0^2}{2 C} ~-~ \frac{1}{2} \, \rho \, V \, g \, h \end{align}$$

Hierbei ist $C = \frac{\varepsilon_0 \, s\, b}{d} + \frac{\varepsilon_0 \, h\, b}{d} + \frac{\varepsilon_0 \, (a-h-s)\, b}{d} $. Benutze außerdem $ Q_0 = E \, C_0 \, d $, mit $E = \frac{U}{d}$. Ein bisschen umstellen und einsetzen, dann bekommst du eine quadratische Gleichung für die Höhe $h$. Mit der Annahme, dass $a$ viel größer ist als $h$, bekommst du: $$ h ~\approx~ \frac{\varepsilon_0}{\rho \, g \, d^2} \, \frac{1}{\varepsilon_{\text r}^2} \, U^2 $$

Nach dem Aufladen der Platten auf $U$ und anschließendes Abschalten der Spannungsquelle sinkt die Steighöhe, gegenüber dem Fall ohne Abschalten der Spannungsquelle, um den Faktor: \[ (\varepsilon_{\text r} - 1) \, \varepsilon_{\text r}^2 \]