Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Kapazitiver Blindwiderstand (Reaktanz) eines Kondensators

Wichtige Formel

Formel: Kapazitive Reaktanz (Blindwiderstand) eines Kondensators

$$\class{purple}{X_{\text C}} ~=~ -\frac{1}{2\pi \, f \, \class{purple}{C}}$$ $$\class{purple}{X_{\text C}} ~=~ -\frac{1}{2\pi \, f \, \class{purple}{C}}$$ $$f ~=~ -\frac{1}{2\pi \, \class{purple}{C} \, \class{purple}{X_{\text C}}}$$ $$\class{purple}{C} ~=~ -\frac{1}{2\pi \, f \, \class{purple}{X_{\text C}}}$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Kapazitiver Widerstand

$$ \class{purple}{X_{\text C}} $$ Einheit $$ \mathrm{\Omega} $$

Dieser wird auch kapazitive Reaktanz oder kapazitiver Blindwiderstand genannt. Dieser Blindwiderstand ist der komplexe Anteil der Kondensatorimpedanz (komplexer Widerstand). Dieser Blindwiderstand des Kondensators ermöglicht zum einen den Wechselstrom durch den Kondensator und zum anderen erzeugt dieser eine Phasenverschiebung zwischen Spannung $U_{\text{C}}(t)$ und Strom $I_{\text{C}}(t)$.

Im Fall eines Gleichstromkreises ist die Spannungsfrequenz $ f = 0 $. Der Kondensator hat in diesem Fall einen unendlich großen Blindwiderstand und der Kondensator leitet damit keinen Strom.

Frequenz

$$ f $$ Einheit $$ \mathrm{Hz} = \frac{ 1 }{ \mathrm{s} } $$

Frequenz, mit der die am Kondensator angelegte Wechselspannung ihre Polarität ändert: $$ U_{\text{C}}(t) ~=~ U_0 \, \cos(2\pi\, f \, t) $$

Der Wechselstrom, der durch den Kondensator fließt, wechselt ebenfalls mit dieser Frequenz seine Richtung.

Mit der Kreisfrequenz $\omega ~=~ 2\pi \, f$ lässt sich der kapazitive Widerstand etwas kürzer schreiben: $$ X_{\text C} ~=~ -\frac{1}{\omega \, C} $$

Elektrische Kapazität

$$ C $$ Einheit $$ \mathrm{F} = \frac{ \mathrm{C} }{ \mathrm{V} } $$

Es ist eine charakteristische Größe des Kondensators und sagt aus, wie viele Ladungen auf den Kondensator gebracht werden müssen, um den Kondensator auf die Spannung $ 1 \, \mathrm{V} $ aufzuladen.

An einem Kondensator liegt eine zeitabhängige Wechselspannung an.

Wenn wir eine Wechselspannung $ U_{\text C}(t) $ an einen Kondensator der Kapazität $ C $ anlegen, dann fließt durch den Kondensator ein Wechelstrom $ I_{\text C}(t) $. Die Wechselspannung $ U_{\text C} $ wechselt die Polarität mit der Frequenz $ f $. Mit dieser Frequenz ändert auch der Wechselstrom $ I_{\text C} $ seine Flussrichtung.

Ein Kondensator, an den eine Wechelspannung angelegt ist, hat einen komplexen nicht-ohmschen Widerstand, der als kapazitive Reaktanz $ X_{\text C}(t) $ bezeichnet wird. Das "C" steht für das englische Wort „Capacitor“. Manchmal wird die kapazitive Reaktanz auch als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet.

Du kannst den kapazitiven Blindwiderstand ganz einfach berechnen. Du brauchst dafür lediglich die Wechselspannungsfrequenz $f$ und die Kondensator-Kapazität $C$:

$$ \begin{align} \class{purple}{X_{\text C}} ~=~ -\frac{1}{2\pi \, f \, \class{purple}{C}} \end{align} $$

$\pi$ ist hier die Kreiszahl mit dem Wert $ \pi = 3.14 $. Das Minuszeichen in der Formel sagt aus, dass die Wechelspannung an einem Kondensator dem Wechselstrom hinterherhinkt.

Das Minuszeichen beim kapazitiven Blindwiderstand verursacht eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung am Kondensator.

Die Einheit des kapazitiven Blindwiderstands ist Ohm:

$$ \begin{align} \left[ X_{\text C} \right] ~=~ \mathrm{\Omega} \end{align} $$

Der Faktor $ 2 \, \pi \, f $ in der Formel 1 wird übrigens oft zur Kreisfrequenz $ \omega $ zusammengefasst:

$$ \begin{align} X_{\text C} ~=~ -\frac{1}{\omega \, C} \end{align} $$

Wenn du eine sehr große Wechselspannungsfrequenz benutzt, dann wird der kapazitive Blindwiderstand sehr klein und der Kondensator lässt den Strom leicht durch.
Wenn dagegen die Wechselspannungsfrequenz sehr klein ist oder gar Null, wenn also eine Gleichspannung anliegt, dann wird der kapazitive Blindwiderstand unendlich groß. Der Kondensator lässt keinen Strom durch.

Wie du an der Formel 1 oder 2 siehst, kannst du auch die Kapazität $C$ nutzen, um den komplexen Widerstand $ X_{\text C} $ des Kondensators anzupassen.

Wenn wir mit Effektivwerten der Spannung und des Stroms arbeiten, dann interessiert uns nur der Betrag $ |X_{\text C}| $ des kapazitiven Blindwiderstands:

$$ \begin{align} |X_{\text C}| ~=~ \frac{1}{2\,\pi \, f \, C} \end{align} $$

Beispiel: Blindwiderstand des Kondensators berechnen

Du legst eine Netzspannung von $230 \, \mathrm{V} $ an einen Kondensator mit der Kapazität von $10 \, \mathrm{nF} $ an. Die Netzspannung hat eine Frequenz von $50 \, \mathrm{Hz} $. Setze die Werte in die Formel 3 ein:

$$ \begin{align} |X_{\text C}| &~=~ \frac{1}{2\,\pi ~\cdot~ 50 \, \mathrm{Hz} ~\cdot~ 10 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{F}} \\\\
&~=~ 318309 \, \mathrm{\Omega} \\\\
&~=~ 318 \, \mathrm{k\Omega} \end{align} $$

Um den Effektivstrom $I_{\text{eff}}$ zu bestimmen, der durch den Kondensator fließt, benutze die URI-Formel. Statt den Ohmschen Widerstand R einzusetzen, benutzt du den kapazitiven Blindwiderstand $X_{\text C}$. Stelle die URI-Formel nach dem Strom um:

$$ \begin{align} I_{\text{eff}} ~=~ \frac{ U_{\text{eff}} }{ X_{\text C} } \end{align} $$

Setze die $230 \, \mathrm{V} $ Effektivspannung und $ 318 \, \mathrm{k\Omega} $ ein, dann bekommst du den Effektivstrom:

$$ \begin{align} I_{\text{eff}} &~=~ \frac{ 230 \, \mathrm{V} }{ 318 \, \mathrm{k\Omega} } \\\\
&~=~ 0.7 \, \mathrm{mA} \end{align} $$