Was ist ein ideales Gas?

Vor dem Fahrtantritt prüfst Du den Reifendruck Deines Autos. Ein Druckmessgerät zeigt bei einer Temperatur von 20°C einen Druck von \(3 \, \text{bar}\) an. Nach der Fahrt stellst Du fest, dass sich der Reifen auf 60°C erwärmt hat.

Nimm an, dass der Reifen keine Ausdehnung erfahren hat und die Luft im Reifen als ideales Gas angenommen werden kann. Wie groß ist dann der Druck im Reifen?

Lösung zur Aufgabe #1

Benutze die ideale Gasgleichung und stelle damit jeweils eine Gleichung für den Anfangszustand und den Endzustand des Reifens auf. Da der Reifen laut der Aufgabe keine Ausdehnung erfährt, bleibt das Volumen \( V \) vor und nach der Fahrt gleich.

Vor der Fahrt war der Druck \( \mathit{\Pi}_{\text{vor}} = 3 \, \text{bar} \) und die Temperatur \( T_{\text{vor}} = 20 \,^{\circ} \text{C} \). Die ideale Gasgleichung für diesen Zustand lautet also: 1 \[ \mathit{\Pi}_{\text{vor}} \, V ~=~ n \, R \, T_{\text{vor}} \]

Nach der Fahrt hat sich der Druck zu einem unbekannten Wert \( \mathit{\Pi}_{\text{nach}} \) verändert und die Temperatur hat sich zu \( T_{\text{nach}} = 60 \,^{\circ} \text{C} \) erhöht. Die ideale Gasgleichung für den Reifenzustand nach der Fahrt lautet dementsprechend: 2 \[ \mathit{\Pi}_{\text{nach}} \, V ~=~ n \, R \, T_{\text{nach}} \]

Das Volumen \( V \), aber auch die Stoffmenge \( n \) und die Gaskonstante \( R \) sind alles Konstanten. Bringe sie deshalb auf die rechte Seite der Gleichung und die variablen Druck und Temperatur auf die linke Seite. Dann verwandeln sich die beiden Gleichungen 1 und 2 zu: 3 \[ \frac{\mathit{\Pi}_{\text{vor}}}{T_{\text{vor}}} ~=~ \frac{n \, R}{V} \] 4 \[ \frac{\mathit{\Pi}_{\text{nach}}}{T_{\text{nach}}} ~=~ \frac{n \, R}{V} \]

Jetzt siehst Du hoffentlich, warum Du diese Umformung machen musstest! Jetzt stehen die gleichen Konstanten \( \frac{n \, R}{V} \) auf der rechten Seite in beiden Gleichungen. Das bedeutet Du kannst 3 und 4 gleichsetzen und die Konstanten dadurch loswerden: 5 \[ \frac{\mathit{\Pi}_{\text{nach}}}{T_{\text{nach}}} ~=~ \frac{\mathit{\Pi}_{\text{vor}}}{T_{\text{vor}}} \]

Perfekt! Jetzt hast Du drei bekannte Größen und nur eine unbekannte Größe in der Gleichung, nämlich den gesuchten Reifendruck \( \mathit{\Pi}_{\text{nach}} \) nach der Fahrt. Stelle einfach 5 nach \( \mathit{\Pi}_{\text{nach}} \) um: 5 \[ \mathit{\Pi}_{\text{nach}} ~=~ \frac{\mathit{\Pi}_{\text{vor}}}{T_{\text{vor}}} \, T_{\text{nach}} \]

Jetzt nur noch die gegebenen Werte einsetzen. Aber ACHTUNG! Vergiss nicht, zuerst die Temperatur in Kelvinskala umzurechnen, sonst ist das Ergebnis falsch. Auch der Druck ist in Bar (\(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \frac{\text N}{\text{m}^2}\)) angegeben und nicht in Pascal (\( 1\, \text{Pa}= 1 \, \frac{\text N}{\text{m}^2} \)). Mit \( 3\, \text{bar} = 300 000 \, \text{Pa} \), sowie \( 20\, ^{\circ}\text{C} = 293.15 \, \text{K}\) und \( 60\, ^{\circ}\text{C} = 333.15 \, \text{K}\) bekommst Du den gesuchten Reifendruck: 6 \[ \mathit{\Pi}_{\text{nach}} ~=~ \frac{ 300 000 \, \text{Pa} }{ 293.15 \, \text{K} } \, 333.15 \, \text{K} ~=~ 340 000 \, \text{Pa} \]

Das entspricht dem folgenden Druck in Bar: \( \mathit{\Pi}_{\text{nach}} ~=~ 3.4 \, \text{bar} \).