Heisenberg-Unschärferelation

Im Folgenden leiten wir die Heisenberg-Unbestimmtheitsrelation anhand eines Einzelspalts her. Betrachte einen Einzelspalt mit der Breite \( \Delta x \). Auf diesen Einzelspalt wird ein gerader Elektronenstrahl geschickt. Jedes Elektron im Strahl hat einen Impuls \( p_{\text y} \) in \(y\)-Richtung, der genau auf den Einzelspalt gerichtet ist. Auf diese Weise können die Elektronen den Spalt durchqueren.

Wir wählen die Spaltbreite \( \Delta x \) so, dass es Elektronenbeugung am Einzelspalt stattfindet. Das hat zur Folge, dass wir auf dem Detektorschirm hinter dem Einzelspalt ein Interferenzmuster beobachten können. Dieses hat ein Hauptmaximum in der Mitte und kleinere Nebenmaxima drumherum. Offensichtlich haben die Elektronen nach dem Durchdringen des Spalts einen Impuls in \(x\)-Richtung bekommen. Wäre dies nicht der Fall, dann würden wir nur einen Streifen genau in der Mitte des Detektorschirms beobachten.

Wie groß die Impulskomponente des Elektrons in \(x\)-Richtung ist, wissen wir nicht, denn wir wissen ja nicht, wo das Elektron auf dem Schirm genau landen wird, sobald es den Einzelspalt durchquert hat.

Wir können uns den Detektorschirm anschauen und feststellen, dass je weiter die Elektronenstreifen auf dem Schirm sind, desto größer muss die Impulsabweichung \( \Delta p_{\text x} \) sein. Das ist die \(x\)-Komponente des Impulses \(p\), die VOR dem Durchqueren des Spalts nocht nicht vorhanden war. Die Abweichung von \( p_{\text y} \) bezeichnen wir als \( \Delta p_{\text x} \) (Impulsunschärfe).

Mithilfe der Abbildung 1 können wir die erste der zwei Gleichungen aufstellen, die uns zur Heisenberg-Unbestimmtheitsrelation führen werden.

Verknüpfen wir die beiden Bedingungen miteinander, indem wir den Sinus 2 in Gleichung 3 einsetzen:

Jetzt müssen wir noch irgendwie das Wirkungsquantum \(h\) einbringen, weil es in der Unbestimmtheitsrelation vorkommt. Das machen wir über die Materiewellenlänge \(\lambda\) (de-Broglie-Wellenlänge) der Elektronen:

Ersetzen wir mithilfe der de-Broglie-Beziehung 5 die Wellenlänge \(\lambda\) in Gl. 4:

Damit haben wir den Winkel \(\theta\) eliminiert. Der Impuls \(p\) kürzt sich auch weg:

Wir sind fast am Ziel. Bringe \(\Delta x \) und \(n\) auf die andere Seite:

Um eine Ungleichung zu bekommen, vergleichen wir Gl. 8 mit dem folgenden Term für das 1. Minimum (\(n=1\)): \(\Delta p_{\text x} \, \Delta x\). Offensichtlich ist die linke Seite von Gl. 8 kleiner als \(\Delta p_{\text x} \, \Delta x\) (oder gleich, wenn \(n=1\) ist). Wir teilen ja durch eine Zahl \(n\), die größer gleich 1 ist. Also können wir schreiben:

Lassen wir den mittleren Term weg, dann bekommen wir folgende Ungleichung:

Aus Gl. 10 können wir beispielsweise direkt ablesen, was passiert, wenn wir die Spaltbreite \(\Delta x\) verkleinern. Wenn die Spaltbreite kleiner gemacht wird, muss die Impulsabweichung \( \Delta p_{\text x} \) zunehmen, damit die rechte Seite in 10 stets größer bleibt als \(h\). Das wiederum bedeutet, dass das Interferenzmuster ausgedehnter wird. Die Elektronenimpulse nach dem Durchqueren des Spalts weichen stärker von dem Anfangsimpuls \( p_{\text y} \) ab.

Machst du dagegen den Spalt breiter, so ist der Ort der Elektronen weniger bestimmt, und die Impulsunsicherheit \(\Delta p_{\text x}\) nimmt ab. Das Interferenzmuster wird schmaler. Bei ausreichend großer Spaltbreite \( \Delta x\) verschwindet das Interferenzmuster und alle Elektronen landen, wie klassische Teilchen, in der Mitte des Schirms.

Beachte außerdem, dass die hergeleitete Heisenberg-Unbestimmtheitsrelation 10 mit einem etwas anderen Faktor auf der rechten Seiten vorkommen kann als mit dem üblichen Faktor \(h/4\pi\). Entscheidend ist hier die Größenordnung! Während \( h \) in der Größenordnung \( 10^{-34}\) liegt, liegt \(h/4\pi\) in der Größenordnung \( 10^{-35}\). Der Faktor macht also keinen großen Unterschied!