Warum können sich Feldlinien nicht schneiden?

Ein elektrisches Feld \(\class{purple}{\boldsymbol{E}}\) gibt an jedem Ort im Raum an, welche elektrische Kraft auf eine ruhende Ladung wirken würde und in welche Richtung diese Kraft die Ladung beschleunigen wird. Das elektrische Feld lässt sich durch Feldlinien veranschaulichen. Wird eine ruhende Ladung in das Feld platziert, so wird sie entlang der Feldlinie beschleunigt.

Die Frage ist: Warum können sich zwei Feldlinien niemals kreuzen, so wie in der nachfolgenden Illustration gezeigt? Diese Frage ist ähnlich der Frage, warum es an einem Punkt im Raum nicht zwei verschiedene Temperaturen geben kann.

Sobald die Ladung den Kreuzungspunkt zweier Feldlinien erreicht, wäre es nicht mehr klar, in welche der beiden Richtungen sie sich weiterbewegen wird. Entlang dieser Feldlinie oder entlang dieser Feldlinie? Das widerspricht dem Superpositionsprinzip, nach dem zwei elektrische Feldvektoren an einem Ort sich einfach addieren und damit einen einzigen, eindeutigen Feldvektor ergeben würden. Dadurch gäbe es keinen Kreuzungspunkt der Feldlinien, und die Ladung würde sich in Richtung des resultierenden Kraftvektors bewegen. Auch mathematisch wäre der Kreuzungspunkt inkonsistent mit der Definition eines Vektorfeldes, da einem Punkt im Raum stets ein eindeutiger Vektor zugeordnet wird.

Wir haben uns nur das Beispiel von elektrischen Feldlinien angeschaut. Die gleiche Argumentation gilt auch für die magnetischen Feldlinien!