Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung

Wichtige Formel

Formel: Relativistische Energie-Impuls-Beziehung

$$W ~=~ \sqrt{W_{0}^2 ~+~ (p \, c)^2}$$ $$W ~=~ \sqrt{W_{0}^2 ~+~ (p \, c)^2}$$ $$W_0 ~=~ \sqrt{ W^2 ~-~ (p\,c)^2 }$$ $$p ~=~ \sqrt{ \frac{W^2 ~-~ {W_0}^2 }{ c^2 } }$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Energie

$$ W $$ Einheit $$ \mathrm{J} $$

Relativistische Gesamtenergie eines Körpers, die auch bei großen Geschwindigkeiten gültig ist.

Ruheenergie

$$ W_0 $$ Einheit $$ \mathrm{J} $$

Ruheenergie ist die Energie des Körpers in seinem Ruhesystem. Die Ruheenergie eines Photons ist Null.

Impuls

$$ p $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{kg} \, \mathrm{m}}{\mathrm{s}} $$

Relativistischer Impuls des Körpers.

Lichtgeschwindigkeit

$$ c $$ Einheit $$ \frac{\mathrm m}{\mathrm s} $$

Lichtgeschwindigkeit ist eine Naturkonstante und gibt an, wie schnell sich das Licht im leeren Raum (Vakuum) ausbreitet. Sie hat den folgenden exakten Wert im Vakuum: $$ c ~=~ 299 \, 792 \, 458 \, \frac{ \mathrm{m} }{ \mathrm{s} } $$

Inhaltsverzeichnis

Wichtige Formel
Übungen mit Lösungen

Bei einem hohen Impuls $ p $ eines Körpers wird die folgende klassische kinetische Energie-Impuls-Beziehung sehr ungenau: $$ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{p^2}{2m} $$ Hierbei ist $ m $ die Masse des Körpers und $ W_{\text{kin}} $ seine kinetische Energie.

Stattdessen müssen wir die relativistische Energie-Impuls-Beziehung verwenden. Diese verknüpft die Gesamtenergie $ W $ mit dem relativistischen Impuls $ p $: $$ W ~=~ \sqrt{(m\,c^2)^2 ~+~ (p\,c)^2} $$ Hierbei entspricht $ W_0 = m\,c^2 $ der Ruheenergie. Das ist die Energie des Körpers in seinem Ruhesystem ($ p = 0 $).

Lichtteilchen (Photonen) haben keine Mase: $ m = 0 $. Die Energie Impuls-Beziehung für masselose Teilchen lautet daher: $$ W ~=~ p \, c $$

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Relativistische Masse nach dem Stoß

Zwei Teilchen - jeweils mit der Masse $ m $ - kollidieren frontal mit 3/5 der Lichtgeschwindigkeit ($ v ~=~ \frac{3}{5}c $) und verschmelzen zu einem neuen Teilchen.

Welche resultierende Masse $ m_{\text{res}} $ hat das neue Teilchen?

Tipp: Nutze relativistische Formeln für Impuls und Energie, die im Viererimpuls als Komponenten stehen und betrachte die Impuls- und Energieerhaltung (heißt: betrachte Energie und Impuls nach dem Stoß).

Lösung zur Aufgabe #1

Impulserhaltung für den Stoßprozess

Betrachte zuerst den räumlichen Anteil des Viererimpulses, der durch den relativistischen Impuls gegeben ist: \[ \boldsymbol{p} ~=~ \frac{m \, \boldsymbol{v}}{\sqrt{1 ~-~ \frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}} \]

Nach der Impulserhaltung: 1 \[ \boldsymbol{p}_{\text{vor},1} ~+~ \boldsymbol{p}_{\text{vor},2} ~=~ \boldsymbol{p}_{\text{nach},1} ~+~ \boldsymbol{p}_{\text{nach},2} ~=~ \boldsymbol{p}_{res} \] hat das neue Teilchen den Impuls: 2 \[ \boldsymbol{p}_{\text{vor},1} ~+~ \boldsymbol{p}_{\text{vor},2} ~=~ \boldsymbol{p}_{\text{nach},1} ~-~ \boldsymbol{p}_{\text{nach},1} ~=~ 0 ~=~ \boldsymbol{p}_{res} \] wobei hier verwendet wurde, dass die beiden Teilchen die gleiche Masse $ m $ und gleiche Geschwindigkeit $ \boldsymbol{v} $ besitzen, weshalb auch ihr Impuls-Betrag gleich ist: $ |\boldsymbol{p}_{\text{vor},1}| ~=~ |\boldsymbol{p}_{\text{vor},2}| $. Außerdem ist die Richtung ihrer Bewegung bezüglich des jeweils anderen Teilchens genau entgegengesetzt: $ \boldsymbol{p}_{\text{vor},2} ~=~ -\boldsymbol{p}_{\text{vor},1} $.

Halte also fest: Die räumliche Komponente des Viererimpulses ist Null: 3 \[ \begin{bmatrix} W/c \\ \boldsymbol{p} \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} W/c \\ 0 \end{bmatrix} \]

Energieerhaltung für den Stoßprozess

Jetzt nur noch den zeitlichen Anteil $ W/c $ des Viererimpulses betrachten, mit der relativistischen Energie: 4 \[ W ~=~ \frac{m \, c^2}{\sqrt{1 ~-~ \frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}} \]

Die Gesamtenergie $ W $ eines Teilchens setzt sich - in der speziellen Relativitätstheorie - aus der Ruheenergie $ m \, c^2 $ und der kinetischen Energie $ W_{\text{kin}} ~=~ W - m \, c^2 $. Davon hast Du ingsesamt 2, nämlich $ W_1 $ für das eine Teilchen und $ W_2 $ für das andere Teilchen.

Also ist die Gesamtenergie (die sich aus beiden Teilchen-Gesamtenergien $ W_1 $ und $ W_2 $ zusammensetzt) muss nach dem Stoß erhalten sein und der Energie $ W_{\text{res}} $ des neuen, entstandenen Teilchens entsprechen: 5 \[ W_1 ~+~ W_2 ~=~ W_{\text{res}} \]

Da die Geschwindigkeit des resultierenden neuen Teilchens nach dem Stoß $ \boldsymbol{v}_{\text{res}} ~=~ 0 $ ist (weil: Impulse $ \boldsymbol{p}_1 $ und $ \boldsymbol{p}_2 $ der beiden Teilchen sich gegenseitig wegheben und $ m_{\text{res}} ~\neq~ 0 $.)

Die jeweiligen Energien $ W_1 $ und $ W_2 $ der Teilchen betragen - mit $ |\boldsymbol{v}| ~=~ \frac{3}{5} c $ - zusammengerechnet: 6 \[ W_1 ~=~ W_2 ~=~ \frac{m \, c^2}{\sqrt{1 ~-~ \frac{3^2}{5^2}}} ~=~ \frac{5}{4}m \, c^2 \]

Resultierende Energie des neuen Teilchens ist $ W_{\text{res}} ~=~ m_{\text{res}} \, c^2 $. Sie beinhaltet nur die Ruheenergie, weil sich das resultierende Teilchen nicht bewegt und der kinetische Anteil der Energie ($ W_{\text{res}} ~=~ W_{\text{kin}} ~+~ m_{\text{res}} \, c^2 $) somit wegfällt: $ W_{\text{kin}} ~=~ 0 $.

Der Energieerhaltungssatz lautet also konkret: 7 \[ \frac{5}{4}m \, c^2 ~+~ \frac{5}{4}m \, c^2 ~=~ m_{\text{res}} \, c^2 \]

Teile die Gleichung durch $ c^2 $ und rechne $ \frac{5}{4}m ~+~ \frac{5}{4}m $ zusammen, dann bekommst Du die resultierende Masse des neuen Teilchens nach dem Stoß: 8 \[ m_{\text{res}} ~=~ \frac{5}{2}m \]

Bedenke! Die Summe der Teilchenmassen $ m ~+~ m ~=~ 2m $ entspricht nicht der neuen Masse $ m_{\text{res}} ~=~ 2.5m $. Die resultierende Masse ist nämlich um $ 0.5m $ größer als die eigentliche Summe der Massen!

Was musst Du also aus dieser Aufgabe mitnehmen? Die Masse bleibt bei derartigen relativistischen Stößen nicht erhalten! Offensichtlich wandelt sich ein Teil der kinetischen Energie in Ruheenergie um, sodass dadurch die resultierende Masse nach dem Stoß größer wird als vor dem Stoß.