Elektromagnetische Induktion
Wichtige Formel
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Induktionsspannung
$$ U_{\text{ind}} $$ Einheit $$ \mathrm{V} = \frac{ \mathrm J }{ \mathrm C } = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 }{ \mathrm{A} \, \mathrm{s}^3 } $$Ist die Leiterschleife kurzgeschlossen, d.h. die beiden Kontakte miteinander verbunden, dann entsteht ein Induktionsstrom \( I_{\text{ind}} \) in der Leiterschleife.
Das Minuszeichen im Induktionsgesetz ist durch die Lenz-Regel begründet, um die Energieerhaltung nicht zu verletzen.
Magnetfeldänderung
$$ \class{violet}{\Delta B} $$ Einheit $$ \mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{A} \, \mathrm{s}^2} $$Zeitspanne
$$ \Delta t $$ Einheit $$ \mathrm{s} $$Flächeninhalt
$$ A $$ Einheit $$ \mathrm{m}^2 $$Inhaltsverzeichnis
Elektromagnetische Induktion besagt, dass eine Änderung des magnetischen Flusses \( \class{purple}{B} \) in einem geschlossenen elektrischen Stromkreis eine elektrische Spannung \( U_{\mathrm{ind}} \) (Induktionsspannung) oder einen elektrischen Strom \( I_{\mathrm{ind}} \) (Induktionsstrom) in diesem Kreis induziert: $$U_{\text{ind}} ~=~ - A \, \frac{\class{violet}{\Delta B}}{\Delta t}$$
- Hierbei ist \( U_{\text{ind}} \) die induzierte Spannung. Diese elektrische Spannung bildet sich z.B. zwischen den Endpunkten einer Leiterschleife aus, wenn das die Leiterschleife durchdringende Magnetfeld \( B \) verändert wird.
- Von der Leiterschleife eingeschlossene magnetische Flussdichte \( B \), die um den Wert \( \Delta B \) geändert wird. Wenn diese Flussdichte \( B \) sich zeitlich ändert, also \( \Delta B \neq 0 \), dann entsteht eine Induktionsspannung bzw. Induktionsstrom in der Leiterschleife.
- Zeitspanne \( \Delta t \), innerhalb der, sich die magnetische Flussdichte um den Wert \( \Delta B \) geändert hat.
- Fläche \( A \), die beispielsweise von der Leiterschleife eingeschlossen wird. Nach dieser Formel wird \( A \) nicht geändert, d.h. in diesem Fall wird angenommen, dass die Fläche unverändert bleibt.
Die Induktionsspannung \( U_{\mathrm{ind}} \) kann auch aufgrund einer Flächenänderung \( \Delta A \) entstehen. Hierbei nehmen wir an, dass sich das Magnetfeld nicht verändert. Es ändert sich nur die Fläche, welche von den magnetischen Feldlinien durchstoßen wird: $$U_{\text{ind}} ~=~ - \class{violet}{B} \, \frac{A}{\Delta t}$$
Im Fall einer Spule mit \(N\) Windungen wird die erzeugte Induktionsspannung \(N\)-fach so groß: $$U_{\text{ind}} ~=~ - N \, \class{violet}{B} \, \frac{A}{\Delta t}$$
Wie funktioniert ein Dynamo?
Mit einem Dynamo (z.B. ein Fahrraddynamo) wandelst Du mechanische Arbeit (hier: Treten der Pedale) in elektrische Energie um.
Das geht folgendermaßen: Ein Dynamo besteht aus einer Spule mit einer bestimmten Windungszahl \( N \) und der Querschnittsfläche \( A \). Diese Spule wird im Magnetfeld \( B \) eines Permanentmagneten gedreht, was nach dem Faraday-Induktionsgesetz 1
eine Wechselspannung \( U_{\text{ind}}(t) \) erzeugt.
Wenn sich die Spule mit einer festen Kreisfrequenz \( \omega \) dreht, so ändert sich der magnetische Fluss durch die Spule auf folgende Weise:
Du musst nur noch den magnetischen Fluss 2
zeitlich ableiten und schon hast Du die vom Dynamo induzierte elektrische Spannung:
Diese Induktionsspannung kannst Du dann benutzen, um beispielsweise ein Lämpchen zum Leuchten zu bringen.
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe: Eine ins Magnetfeld fallende Leiterschleife
Eine sehr sehr lange, rechteckige Leiterschleife fällt die ganze Zeit senkrecht in ein konstantes Magnetfeld \( B ~=~ 2 \, \text{T} \) hinein, das in die Ebene hinein zeigt. Die Leiterschleife hat einen Widerstand \( R ~=~ 20 \, \Omega \) sowie eine Breite \( w ~=~ 10 \, \text{cm} \).
Da die Leiterschleife die ganze Zeit fällt, wird sie beschleunigt. Zu einem bestimmten Zeitpunkt \( t_1 \) hat die Leiterschleife eine Geschwindigkeit von \( v(t_1) ~=~ 2 \, \frac{\text m}{\text s} \) erreicht.
- Da sich der magnetische Fluss durch die Fläche der Spule ändert, entsteht ein Induktionsstrom \( I \) durch die Leiterschleife. In welche Richtung fließt der konventionelle Strom?
- Wie groß ist der Strom \( I(t_1) \) zum Zeitpunkt \( t_1 \)?
- Erfährt die Leiterschleife genau die Fallbeschleunigung \( g \)?
Lösung zur Teilaufgabe #1
Das Magnetfeld \( B \) zeigt in die Ebene hinein. Damit erhöht sich der magnetische Fluss durch die Fläche \(A\) der Leiterschleife in die Ebene hinein. Nach der Lenz-Regel versucht die Natur diese Erhöhung des magnetischen Flusses zu hemmen. Damit entsteht ein Induktionsstrom \( I \) durch die Leiterschleife. Die Stromrichtung muss so sein, dass das durch den Induktionsstrom entstehende Magnetfeld \( B_{\text{ind}} \) den steigenden magnetischen Fluss zu unterbinden versucht. Das induzierte Magnetfeld \( B_{\text{ind}} \) muss also aus der Ebene heraus zeigen.
Wende die Korkenzieherregel der rechten Hand an. Krümme deine Finger entlang der Leiterschleife so, dass der Daumen aus der Ebene heraus zeigt. Das ist nämlich die Richtung des induzierten Magnetfelds. Die gekrümmten Finger zeigen folglich gegen den Uhrzeigersinn. Da diese Finger die Stromrichtung anzeigen, muss der Induktionsstrom gegen den Uhrzeigersinn fließen.
Lösung zur Teilaufgabe #2
Um den induzierten Strom \( I \) zum Zeitpunkt \(t_1\) zu bestimmen, nutzen wir das Induktionsgesetz aus: 1 $$ U(t) ~=~ - \frac{ \text{d} \Phi}{ \text{d}t } $$
Dieses gibt uns den Zusammenhang zwischen der Induktionsspannung \( U(t) \) und der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses \( \Phi(t) \), die durch die Zeitableitung repräsentiert wird.
Da wir den Induktionsstrom \( I \) suchen, benutzen wir das Ohm-Gesetz \( U ~=~ R \, I \), um das Induktionsgesetz mithilfe des Stroms auszudrücken. Dazu setzen wir das Ohm-Gesetz für die Spannung ein: 2 $$ R \, I(t) ~=~ - \frac{ \text{d} \Phi}{ \text{d}t } $$ und bringen \(R\) auf die rechte Seite: 3 $$ I(t) ~=~ - \frac{1}{R} \, \frac{ \text{d} \Phi}{ \text{d}t } $$
Jetzt müssen wir noch herausfinden, wie genau sich der magnetische Fluss \( \Phi \) zeitlich ändert. Den magnetischen Fluss können wir als \( \Phi(t) = B \, A(t) \) schreiben. Das Magnetfeld \( B \) in das die Leiterschleife fällt, ist nach der Aufgabenstellung konstant, also zeitunabhängig.
Die Fläche \(A(t)\), die der magnetische Fluss innerhalb der Leiterschleife durchdringt, nimmt mit der Zeit jedoch zu, weil die Leiterschleife ja fällt und damit mehr magnetischen Fluss das Schleifeninnere durchdringt.
Wir können also das konstante Magnetfeld vor die Zeitableitung ziehen und nur die Zeitableitung der magnetisch durchdrungenen Fläche \(A(t)\) betrachten (siehe Illustration 2): 4 $$ I(t) ~=~ - \frac{B}{R} \, \frac{ \text{d} A}{ \text{d}t } $$
Die Fläche ist nicht konkret gegeben, aber wir können sie weiter in bekannte Größen 'aufspalten'. Wir wissen nämlich, dass die Schleife die Breite \( w \) hat. Außerdem bezeichnen wir die aktuelle Höhe der durchdrungenen Fläche als \( h(t) \). Die Breite \(w\) der Schleife bleibt beim Fallen natürlich gleich. Sie ist daher zeitunabhängig. Die aktuelle Höhe \( h(t) \) der Fläche nimmt jedoch mit der Zeit zu, weil die Leiterschleife ja fällt und damit die durchdrungene Fläche in der vertikalen Höhe größer wird. Das Produkt der Breite \( w \) und der Höhe \(h(t)\) ergibt die Rechteckfläche \(A(t)\). Das können wir in 4
einsetzen und dabei die konstante Breite \(w\) aus der Ableitung herausziehen:
5
$$ I(t) ~=~ - \frac{B \, w}{R} \, \frac{ \text{d} h(t)}{ \text{d}t } $$
Die Geschwindigkeit \( v(t) \) ist allgemein definiert als Zeitableitung des Wegs. Genau das haben wir auch in der Gleichung 5
. Dort steht nämlich die Ableitung der Höhe (also des Wegs) nach der Zeit \(t\). Damit können wir die Zeitableitung mit der Geschwindigkeit \( v(t) \) ersetzen:
6
$$ I(t) ~=~ - \frac{B \, w}{R} \, v(t) $$
Mit dieser Formel können wir den Strom zum beliebigen Zeitpunkt ausrechnen, wenn wir die Geschwindigkeit \(v(t)\) zum gleichen Zeitpunkt kennen. In der Aufgabe kennen wir die Geschwindigkeit \( v(t_1) = 2 \, \frac{\text m}{\text s} \) zum Zeitpunkt \(t_1\). Damit können wir den Strom \( I(t_1) \) zu diesem Zeitpunkt \(t_1\) berechnen:
Es gibt keine Unbekannten mehr. Jetzt müssen wir nur noch konkrete Werte einsetzen, um den Strom zu berechnen: 8 \begin{align} I(t_1) &~=~ - \frac{2 \, \text{T} ~\cdot~ 0.1 \, \text{m}}{ 20 \, \Omega } ~\cdot~ 2 \, \frac{\text m}{\text s} \\\\ &~=~ - 0.02 \, \text{A} \end{align}
Lösung zur Teilaufgabe #3
Beim Fallen wirkt auf die Leiterschleife folgende Fallkraft nach unten zur Erde hin: 9 $$ F_{\text g} ~=~ m \, g $$
Da im unteren horizontalen Stab der Leiterschleife ein Strom fließt und dieser sich in einem externen Magnetfeld \(B\) befindet, wirkt auf dieses Stück des Leiters eine Lorentzkraft. Wenn du die Drei-Finger-Regel der rechten Hand anwendest,
- Daumen in Richtung des Stroms
- Zeigefinger in die Ebene hinein
