Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:

Drehimpulserhaltung

Wichtige Formel

Formel: Drehimpulserhaltungssatz für Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit

$$\class{red}{I_1} \, \class{red}{\omega_1} ~=~ I_2 \, \omega_2$$ $$\class{red}{I_1} ~=~ \frac{\omega_2}{ \class{red}{\omega_1} } \, I_2$$ $$\class{red}{\omega_1} ~=~ \frac{I_2}{\class{red}{I_1}} \, \omega_2$$ $$I_2 ~=~ \frac{ \class{red}{\omega_1} }{\omega_2} \, \class{red}{I_1}$$ $$\omega_2 ~=~ \frac{\class{red}{I_1}}{I_2} \, \class{red}{\omega_1}$$

Formel umstellen

Was bedeuten diese Formelzeichen?

Trägheitsmoment davor

$$ \class{red}{I_1} $$ Einheit $$ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 $$

Trägheitsmoment hängt von der Masse und vom Abstand von der Drehachse ab und wirkt wie ein Widerstand der Rotation entgegen. Hier betrachten wir ein Trägheitsmoment zu irgendeinem bestimmten Zeitpunkt $t_1$.

Winkelgeschwindigkeit davor

$$ \class{red}{\omega_1} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s} $$

Winkelgeschwindigkeit zu irgendeinem Zeitpunkt $t_1$, wie bei $I_1$.

Trägheitsmoment danach

$$ I_2 $$ Einheit $$ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 $$

Trägheitsmoment zu irgendeinem späteren (anderen) Zeitpunkt $t_2$.

Winkelgeschwindigkeit danach

$$ \omega_2 $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s} $$

Winkelgeschwindigkeit zu irgendeinem Zeitpunkt $t_2$, wie bei $I_2$.

Der Drehimpuls $ \boldsymbol{L} $ eines Teilchens ist vektoriell folgendermaßen definiert: \[ \boldsymbol{L} ~=~ \boldsymbol{r}(t) ~\times~ \boldsymbol{p}(t) ~=~ \boldsymbol{r}(t) ~\times~ m \, \dot{\boldsymbol{r}}(t) \]

Dann ist das auf das Teilchen wirkende Drehmoment $ \boldsymbol{M} $ gegeben durch: \[ \boldsymbol{M} ~=~ \boldsymbol{r}(t) ~\times~ \boldsymbol{F}(t) \]

Hinweis: Das Drehmoment $ \boldsymbol{M} $ und Drehimpuls $ \boldsymbol{L} $ beziehen sich auf den Ursprung des Koordinatensystems (damit ist gemeint, dass der Ortsvektor $ \boldsymbol{r} $ vom Nullpunkt des Koordinatensystems ausgeht). Das heißt: eine Verschiebung des Koordinatensystems ändert das Drehmoment und den Drehimpuls; im Gegensatz zum Impuls $ \boldsymbol{p} $ und Kraft $ \boldsymbol{F} $.

Bewegungsgleichung für den Drehimpuls

Dein Ziel ist es zuerst die Bewegungsgleichung für den Drehimpuls aufzustellen. Dazu betrachtest Du die in den Newton- Axiomen kennengelernte Grundgleichung der Mechanik: \[ \boldsymbol{F} ~=~ m \, \ddot{\boldsymbol{r}}(t) \]

Bilde nun das Kreuzprodukt auf beiden Seiten der Gleichung mit $ \boldsymbol{r}(t) $: \[ \boldsymbol{r}(t) ~\times~ \boldsymbol{F} ~=~ \boldsymbol{r}(t) ~\times~ m \, \ddot{\boldsymbol{r}}(t) \] Auf der linken Seite steht nun die Definition des Drehmoments $ \boldsymbol{M} $: \[ \boldsymbol{M}(t) ~=~ \boldsymbol{r}(t) ~\times~ m \, \ddot{\boldsymbol{r}}(t) \]

Wenn Du jetzt den Drehimpuls $ \boldsymbol{L}(t) $ - den wir am Anfang definiert haben - zeitlich ableitest, kommst Du auf: \[ \frac{\text{d}\boldsymbol{L}}{\text{d}t} ~=~ \dot{\boldsymbol{L}}(t) ~=~ \dot{\boldsymbol{r}}(t) ~\times~ m \, \dot{\boldsymbol{r}}(t) ~+~ \boldsymbol{r}(t) ~\times~ m \, \ddot{\boldsymbol{r}}(t) \]

Zum Ableiten wurde einfach die Produktregel angewendet, die Du als Physiker kennen solltest.

Wenn Du die Ableitung näher betrachtest, stellst Du fest, dass dort ein Kreuzprodukt mit zwei Vektoren auftaucht, die parallel zu einander sind $ \dot{\boldsymbol{r}}(t) ~\times~ m \, \dot{\boldsymbol{r}}(t) $. Deshalb verschwindet dieser Term, denn: \[ \dot{\boldsymbol{r}} ~||~ \dot{\boldsymbol{r}} ~\Rightarrow~\dot{\boldsymbol{r}}(t) ~\times~ m \, \dot{\boldsymbol{r}}(t) ~=~ |\dot{\boldsymbol{r}}|~m \, |\dot{\boldsymbol{r}}|~\sin(0) ~=~ 0 \]

Übrig bleibt also die Bewegungsgleichung für den Drehimpuls: \[ \frac{\text{d}\boldsymbol{L}}{\text{d}t} ~=~ \boldsymbol{r}(t) ~\times~ m \, \ddot{\boldsymbol{r}}(t) \]

Sie entspricht genau der rechten Seite in der Grundgleichung der Mechanik, die wir mit $ \boldsymbol{r}(t) $ erweitert haben: \[ \boldsymbol{M}(t) ~=~ \frac{\text{d}\boldsymbol{L}}{\text{d}t} \]

Drehimpuls ist erhalten, wenn Drehmomet verschwindet

An der oben hergeleiteten Beziehung zwischen dem Drehmoment und der zeitlichen Ableitung des Drehimpulses kannst Du erkennen, dass der Drehimpuls $ \boldsymbol{L}(t) $ genau dann erhalten (konstant) ist, wenn das Drehmoment $ \boldsymbol{M} (t) $ und somit auch die zeitliche Ableitung des Drehimpulses Null ist: \[ \frac{\text{d}\boldsymbol{L}}{\text{d}t} ~=~ 0 ~\Rightarrow~ \boldsymbol{L} ~=~ \text{const.} \]

Der Drehimpuls ist also in folgenden Fällen erhalten:

$ \boldsymbol{r} ~=~ 0 $ - das Teilchen befindet sich im Koordinatenursprung (Nullpunkt)
$ \boldsymbol{F} ~=~ 0 $ - es wirkt keine Kraft auf das Teilchen ein
$ \boldsymbol{r} || \boldsymbol{F} $ - Kraft wirkt parallel zum Ortsvektor

Beispiel: Schwerkraft Hier wirkt die Schwerkraft $ \boldsymbol{F}_{G} $ zum Zentrum des Bezugssystems (z.B. Mittelpunkt der Erde), also parallel zum Ortsvektor $ \boldsymbol{r} $. Der Drehimpuls ist also im Fall der Schwerkraft erhalten!

Wie nutzen Eisläufer die Drehimpulserhaltung bei der Pirouette aus?

Ein Eisläufer rotiert mit ausgestreckten Armen um seine Längsachse mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit $ \boldsymbol{\omega}_1 $ und einem Trägheitsmoment $ I_1 $.

Zieht er nun die ausgestreckten Arme an den Körper, so wird sein Trägheitsmoment - gemäß der Formel $ I ~=~ \sum_i \, m_i \, r_i^2 $ - kleiner. (Da der Abstand zur Drehachse $ r_i $ für einige Massenpunkte der Arme kleiner wird).

Der folgende Drehimpuls $\boldsymbol{L}$ muss erhalten bleiben:

$$ \begin{align} \boldsymbol{L} ~=~ I_1 \, \boldsymbol{\omega}_1 ~=~ I_2 \, \boldsymbol{\omega}_2 \end{align} $$

Das heißt: wenn das Trägheitsmoment kleiner wird, muss die Winkelgeschwindigkeit offensichtlich nach der obigen Formel größer werden. Wenn also der Eisläufer seine Arme an den Körper zieht, so rotiert er schneller!