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Was ist ein Dezibel (dB)?

Inhaltsverzeichnis

Übungen mit Lösungen

Dezibel dB - ist ein logarithmisches Verhältnis, das zum Vergleich zweier physikalischer Größen dient. Dezibel ist der zehnte Teil ("Dezi-") der Hilfsmaßeinheit B ("Bel").

Möchtest Du zwei physikalische Größen, z.B. zwei Massen $ 10 \, \text{kg} $ und $ 9 \, \text{kg} $ miteinander vergleichen, dann kannst Du beispielsweise die Differenz der Massen bilden:

$$ \begin{align} 10 \, \mathrm{kg} ~-~ 9 \, \mathrm{kg} ~=~ 1 \mathrm{kg} \end{align} $$

Das Ergebnis $ 1 \, \mathrm{kg} $ sagt Dir nun, wie stark die beiden Massen voneinander abweichen. Die Differenzbildung ist bei diesem Beispiel eine gute, d.h. handliche Vergleichsmethode! Was ist aber, wenn der Massenunterschied größer wird?

$$ \begin{align} 10000 \, \mathrm{kg} ~-~ 100 \, \mathrm{kg} ~=~ 9900 \, \mathrm{kg} \end{align} $$

In diesem Fall wird die Differenzbildung eher zu einer unhandlichen Vergleichsmethode. Im Fall von Gl. 2 eignet sich die Bildung des Verhältnisses der beiden Massen, als eine bessere Vergleichsmethode:

$$ \begin{align} \frac{10000 \, \mathrm{kg}}{100 \, \mathrm{kg}} ~=~ 100 \end{align} $$

Blöderweise wird auch die Handlichkeit dieser Vergleichsmethode irgendwann an ihre Grenzen stoßen; nämlich genau dann, wenn der Massenunterschied noch viel viel größer wird:

$$ \begin{align} \frac{10 \, 995 \, 648 \, \mathrm{kg}}{0.999 \, \mathrm{kg}} ~=~ 11 \, 006 \, 654.65... \end{align} $$

Natürlich kannst Du diese riesige Vergleichszahl etwas kompakter (+ krass gerundet) mit Zehnerpotenzen ausdrücken: $ 11 * 10^6 $. Es besteht jedoch auch die Möglichkeit, den Logarithmus (zur Basis 10) von Gl. 4 zu bilden:

$$ \begin{align} \lg \left(\frac{10 \, 995 \, 648 \, \mathrm{kg}}{0.999 \, \mathrm{kg}} \right) ~=~ 7.04... \end{align} $$

Wie Du siehst, ist die Vergleichszahl dadurch handlicher geworden! Anscheinend erweist sich die Bildung des logarithmischen Verhältnisses als eine gute Vergleichsmethode, wenn Du mit extremen Größenunterschieden hantierst. Du wirst staunen, wenn Du den Logarithmus zweier Größen bildest, die nicht so stark voneinander abweichen, wie z.B. die zwei Massen bei 3:

$$ \begin{align} \lg \left(\frac{10000 \, \mathrm{kg}}{100 \, \mathrm{kg}} \right) ~=~ 2 \end{align} $$

Selbst bei einem kleinen Größenunterschied hat diese Vergleichsmethode keinen Nachteil, was die Handlichkeit angeht. Genau deshalb nutzt man in der Elektrotechnik häufig die logarithmische Vergleichsmethode.

Wenn nun das Ergebnis "2" aus 6 ganz alleine da steht, kann es mit dem Verhältnis, welches OHNE Logarithmus gebildet wurde, verwechselt werden. Schließlich sind beide Fälle reine Zahlen. Woher weißt Du nun, dass dieses Ergebnis "2" aus dem logarithmischen Vergleich stammt?

Dazu fügt man ein sogenanntes Hinweiszeichen, der - wie der Name schon sagt - dem Leser einen Hinweis gibt, worum es sich bei der Zahl handelt. Das Hinweiszeichen für logarithmisches Verhältnis ist $ B $ und steht für "Bel" (benannt nach Alexander Graham Bell, lustigerweise mit doppeltem L):

$$ \begin{align} \lg \left(\frac{10000 \, \mathrm{kg}}{100 \, \mathrm{kg}} \right) \, \mathrm{B} ~=~ 2 \, \mathrm{B} \end{align} $$

Ein kleiner Feinschliff: In der Praxis (d.h. in Elektrotechnik und Akustik) ist es eher üblich, die logarithmische Größe in Dezibel $ \mathrm{dB} $ anzugeben. "Dezi-" steht für ein Zehntel. 1 Bel entpricht also 10 Dezibel. Unsere Vergleichszahl in 7 verwandelt sich also zu:

$$ \begin{align} 10 \cdot \lg \left(\frac{10000 \, \mathrm{kg}}{100 \, \mathrm{kg}}\right) \, \mathrm{dB} ~=~ 20 \, \mathrm{dB} \end{align} $$

Super! Nun, weißt Du, was Dezibel ist und wie Du darauf kommst.

Übungen mit Lösungen

Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.

Aufgabe #1: Spannungswerte in Dezibel

Wie viel Dezibel $ \text{dB}(\text{V}) $ entsprechen folgende Spannungswerte:

$ U ~=~ 1 \, \mathrm{V} $
$ U ~=~ 2 \, \mathrm{V} $
$ U ~=~ 10 \, \mathrm{V} $
$ U ~=~ 100 \, \mathrm{V} $

Tipp: Benutze dafür einfach die Definition des Dezibel für Feldgrößen: \[ L_{\text U} ~=~ 20 \, \log\left(\frac{U}{U_0}\right) \, \text{dB}(\text{V}) \] Dabei ist $ L_{\text U} $ der gesuchte Spannungspegel.

Lösung zur Aufgabe #1.1

Mit $ U ~=~ 1 \, \text{V} $ und $ U_0 ~=~ 1 \, \text{V} $ folgt aus der Definition des Dezibel für Feldgrößen der Spannungspegel: \[ L_{\text U} ~=~ 20 \, \log\left(\frac{ 1 \, \text{V} }{ 1 \, \text{V} }\right) \, \text{dB}(\text{V}) ~=~ 0 \, \text{dB}(\text{V}) \]

Lösung zur Aufgabe #1.2

Mit $ U ~=~ 2 \, \text{V} $ und $ U_0 ~=~ 1 \, \text{V} $ folgt: \[ L_{\text U} ~=~ 20 \, \log\left(\frac{ 2 \, \text{V} }{ 1 \, \text{V} }\right) \, \text{dB}(\text{V}) ~=~ 6.02 \, \text{dB}(\text{V}) \]

Lösung zur Aufgabe #1.3

Mit $ U ~=~ 10 \, \text{V} $ und $ U_0 ~=~ 1 \, \text{V} $ folgt: \[ L_{\text U} ~=~ 20 \, \log\left(\frac{ 10 \, \text{V} }{ 1 \, \text{V} }\right) \, \text{dB}(\text{V}) ~=~ 20 \, \text{dB}(\text{V}) \]

Lösung zur Aufgabe #1.4

Mit $ U ~=~ 100 \, \text{V} $ und $ U_0 ~=~ 1 \, \text{V} $ folgt: \[ L_{\text U} ~=~ 20 \, \log\left(\frac{ 100 \, \text{V} }{ 1 \, \text{V} }\right) \, \text{dB}(\text{V}) ~=~ 40 \, \text{dB}(\text{V}) \]

Aufgabe #2: Leistungswerte in Dezibel angeben

Wieviel Dezibel $ \text{dB}(W) $ entsprechen folgende Leistungswerte:

$ P ~=~ 1 \, \text{W} $
$ P ~=~ 2 \, \text{W} $
$ P ~=~ 20 \, \text{W} $
$ P ~=~ 100 \, \text{mW} $

Tipps: Benutze dafür die Definition des Dezibel für Leistungsgrößen: \[ L_{\text P} ~=~ 10 \, \log\left(\frac{P}{P_0}\right) \, \text{dB}(P_0) \] dabei ist $ L_{\text P} $ der gesuchte Leistungspegel und $ P_0 $ die Bezugsgröße.

Lösung zur Aufgabe #2.1

Mit $ P ~=~ 1 \, \text{W} $ und $ P_0 ~=~ 1 \, \text{W} $ folgt aus der Definition des Dezibel für Leistungsgrößen der Leistungspegel: \[ L_{\text P} ~=~ 10 \, \log\left(\frac{ 1 \, \text{W} }{ 1 \, \text{W} }\right) \, \text{dB}(\text{W}) ~=~ 0 \, \text{dB}(\text{W}) \]

Lösung zur Aufgabe #2.2

Mit $ P ~=~ 2 \, \text{W} $ und $ P_0 ~=~ 1 \, \text{W} $ folgt: \[ L_{\text P} ~=~ 10 \, \log\left(\frac{ 2 \, \text{W} }{ 1 \, \text{W} }\right) \, \text{dB}(\text{W}) ~=~ 3.01 \, \text{dB}(\text{W}) \]

Lösung zur Aufgabe #2.3

Mit $ P ~=~ 20 \, \text{W} $ und $ P_0 ~=~ 1 \, \text{W} $ folgt: \[ L_{\text P} ~=~ 10 \, \log\left(\frac{ 20 \, \text{W} }{ 1 \, \text{W} }\right) \, \text{dB}(\text{W}) ~=~ 13.01 \, \text{dB}(\text{W}) \]

Lösung zur Aufgabe #2.4

Mit $ P ~=~ 100 \, \text{mW} $ und $ P_0 ~=~ 1 \, \text{W} $ folgt: \[ L_{\text P} ~=~ 10 \, \log\left(\frac{ 100 * 10^{-3} \, \text{W} }{ 1 \, \text{W} }\right) \, \text{dB}(\text{W}) ~=~ -10 \, \text{dB}(\text{W}) \]