Coulomb-Gesetz: Elektrische Kraft zwischen Ladungen

Welche Kraft erfährt ein geladenes Partikel mit der Ladung \( 0.001 \, \text{C} \), das sich in einem Abstand von \( 0.2\, \text{m} \) von einer Kugel mit der Ladung \( 0.5 \, \text{C} \) befindet?

Lösung zur Aufgabe #1

Für alle Aufgaben benutzt du das Coulomb-Gesetz: 1 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \]

Hierbei hat die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0\) den Wert \( 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } \). Das einzige was du immer machen musst: Genau lesen, was die Aufgabe verlangt und dann das Coulomb-Gesetz nach der gesuchten Größe umstellen.

In der Aufgabe (a) ist nach der elektrischen Kraft \(F_{\text e}\) zwischen einem geladenen Partikel mit der Ladung \( q_1 = 0.001 \, \text{C} \) und einer Kugel mit der Ladung \( q_2 = 0.5 \, \text{C} \) gefragt, die sich im Abstand von \( r = 0.2\, \text{m} \) zueinander befinden.

Hier musst du das Coulomb-Gesetz nicht umstellen, sondern kannst direkt die gebenen Werte einsetzen. Hierbei entspricht die Coulomb-Konstante \( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \) dem Wert \( 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } \): 1-1 \begin{align} F_{\text e} &~=~ 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } ~\cdot~ \frac{0.001 \, \text{C} ~\cdot~ 0.5 \, \text{C}}{(0.2\, \text{m})^2} \\\\ &~=~ 1.1 \cdot 10^8 \, \text{N} \end{align}

Das Partikel erfährt also eine sehr große Kraft von \(1.1 \cdot 10^8 \, \text{N}\).

Wie groß ist die Anziehungskraft zwischen dem Kern eines Eisenatoms mit der Ladung \( 26 \, e \) und einem Elektron im Abstand \( 10^{-12} \, \text{m} \)?

Lösung zur Aufgabe #2

Gesucht ist die anziehende elektrische Kraft \( F_{\text e} \) zwischen dem Kern eines Eisenatoms, der die Ladung \( q_1 = 26\,e\) trägt und einem Elektron mit der Ladung \(q_2 = e \) im Abstand von \( r = 10^{-12} \, \text{m}\).

Die Elementarladung hat den Wert \( e = 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\). Damit hat der Eisenkern die Ladung: 2 \begin{align} q_1 &~=~ 26 ~\cdot~1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \\\\ &~=~ 4.168 \cdot 10^{-18} \, \text{C} \end{align}

Mit der Coulomb-Konstanten (siehe Aufgabenteil (a)) beträgt die elektrische Kraft: 2-1 \begin{align} F_{\text e} &~=~ 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } ~\cdot~ \frac{4.168 \cdot 10^{-18} \, \text{C} ~\cdot~ 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} }{ \left(10^{-12} \, \text{m}\right)^2 } \\\\ &~=~ 0.006 \, \text{N} \end{align}

Der Kern eines Eisenatoms übt also auf das betrachtete Elektron eine Kraft von \(0.006 \, \text{N}\) aus.

Mit welcher Kraft stoßen sich zwei Protonen im Atomkern ab, unter der Annahme, dass sie sich im Abstand von \( 5\cdot 10^{-15} \, \text{m} \) befinden?

Lösung zur Aufgabe #3

Gesucht ist die elektrische Abstoßungskraft \(F_{\text e}\) zwischen zwei Protonen im Abstand \( r = 5\cdot 10^{-15} \, \text{m} \). Ein Proton trägt die Elementarladung \( q_1 = q_2 = 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\).

Mit der Coulomb-Konstanten (siehe Aufgabenteil (a)) beträgt die elektrische Kraft: 3 \begin{align} F_{\text e} &~=~ 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } ~\cdot~ \frac{ \left( 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \right)^2 }{ \left( 5\cdot 10^{-15} \, \text{m} \right)^2 } \\\\ &~=~ 9.22 \, \text{N} \end{align}

Zwei Protonen eines Atomkerns stoßen sich mit der Kraft von \(9.22 \, \text{N}\) ab.

Zwei gleich geladene Kugeln stoßen sich mit der Kraft von \( 0.2 \, \text{N} \) ab, wenn deren Abstand voneinander \( 1\, \text{m} \) beträgt. Welche Ladung tragen diese Kugeln?

Lösung zur Aufgabe #4

Gesucht ist die Ladung \(q \) der Kugeln. Beide tragen die gleiche Ladung. Das heißt \(q = q_1 = q_2\). Gegeben ist ihre Abstoßungskraft \( F_{\text e} = 0.2 \, \text{N} \) im Abstand \( r = 1 \, \text{m} \) zueinander. Wir müssen also das Coulomb-Gesetz 4 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \] nach der Ladung \(q\) umstellen. Bringe \(r^2\) auf die linke Seite: 4.1 \[ F_{\text e} \, r^2 ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, q^2 \]

Bringe \(4\pi \varepsilon_0\) auf die linke Seite: 4.2 \[ 4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e} \, r^2 ~=~ q^2 \]

Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten: 4.3 \[ \sqrt{ 4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e} \, r^2 } ~=~ q \]

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt: 4.4 \begin{align} q &~=~ \sqrt{ 4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e} \, r^2 } \\\\ q &~=~ \sqrt{ 4\pi ~\cdot~ 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } ~\cdot~ 0.2 \, \text{N} ~\cdot~ \left( 1 \, \text{m} \right)^2 } \\\\ q &~=~ 4.7 \cdot 10^{-6} \, \text{C} \end{align}

Die geladenen Kugeln stoßen sich mit der Kraft von \(4.7 \,\mu\text{C}\) ab.

Zwei befestigte, geladene Kugeln, beide mit der Ladung \( 10^{-6} \, \text{C} \), üben eine Kraft von \( 1 \, \text{N} \) aufeinander aus. In welchem Abstand befinden sie sich zueinander?

Lösung zur Aufgabe #5

Gesucht ist der Abstand \( r \) zweier geladener Kugeln, die beide die Ladung \( q_1 = q_2 = 10^{-6} \, \text{C} \) tragen und eine Kraft \( F_{\text e} = 1 \, \text{N} \) aufeinander ausüben.

Stelle dazu das Coulomb-Gesetz 5 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \] nach dem Abstand \(r\) um. Bringe \( r^2 \) auf die linke Seite: 5.1 \[ F_{\text e} \, r^2 ~=~ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0} \]

Bringe dann \(F_{\text e}\) auf die rechte Seite: 5.2 \[ r^2 ~=~ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e}} \]

Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten: 5.3 \[ r ~=~ \sqrt{ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e}} } \]

Setze nur noch die gegebenen Werte ein: 5.4 \begin{align} r &~=~ \sqrt{ \frac{ \left( 10^{-6} \, \text{C} \right)^2 }{ 4\pi ~\cdot~ 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } ~\cdot~ 1 \, \text{N} } } \\\\ &~=~ 8.99 \cdot 10^{-3} \, \text{m} \end{align}

Die beiden geladenen Kugeln befinden sich ungefähr im Abstand von \( 9 \, \text{mm}\) zueinander.

Du möchtest die elektrische Feldkonstante mithilfe des Coulomb-Gesetzes experimentell bestimmen. Dazu lädst du zwei Kugeln gleich auf \( 2 \cdot 10^{-8} \, \text{C} \) auf, platzierst sie im Abstand \( 0.01\, \text{m} \) zueinander und misst dabei die Kraft von \( 0.036\, \text{N} \). Wie groß ist die elektrische Feldkonstante bei dieser Messung?

Lösung zur Aufgabe #6

Gesucht ist die elektrische Feldkonstante \( \varepsilon_0 \). Gegeben ist die Ladung \( q_1 = q_2 = 2 \cdot 10^{-8} \, \text{C} \) sowie der Abstand \( r = 0.01\, \text{m} \) und die Kraft \( F_{\text e} = 0.036\, \text{N} \).

Stelle dazu das Coulomb-Gesetz 6 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \] nach \(\varepsilon_0\) um. Multipliziere beide Seiten mit \(\varepsilon_0\): 6.1 \[ \varepsilon_0\, F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi } \, \frac{q^2}{r^2} \]

Multipliziere beide Seiten mit \(\frac{1}{ F_{\text e} } \): 6.2 \[ \varepsilon_0 ~=~ \frac{1}{4\pi F_{\text e}} \, \frac{q^2}{r^2} \]

Setze gegebene Werte ein: 6.3 \begin{align} \varepsilon_0 &~=~ \frac{1}{4\pi ~\cdot~ 0.036\, \text{N} } ~\cdot~ \frac{ \left(2 \cdot 10^{-8} \, \text{C}\right)^2 }{(0.01\, \text{m})^2} \\\\ &~=~ 8.84 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } \end{align}

Zwei Kugeln aus Natrium jeweils der Masse \(M = 0.001 \, \text{kg} \) befinden sich im Abstand \( r = 1 \, \text{m} \) zueinander. Ein Zehntel der Kugel besteht aus einfach positiv geladenen \(\text{Na}^+\)-Ionen (d.h. aus eine Natrium-Atom wurde ein Valenzelektron entfernt).

Wie groß ist die elektrische Kraft \(F_{\text e}\) zwischen den beiden Natrium-Kugeln?

Tipp: Die Masse eines Natrium-Atoms ist: $$ m ~=~ 23 ~\cdot~ 1.67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} $$

Lösung zur Aufgabe #7

Um die Aufgabe zu lösen, benutze das Coulomb-Gesetz. Das Ziel ist es also lediglich die Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) der beiden Natirum-Kugeln herauszufinden. Der Abstand der Kugeln ist bekannt: \( r = 1 \, \text{m} \).

Da die beiden Natrium-Kugeln gleich groß sind und vor allem bei beiden die gleiche Anzahl an Elektronen fehlt, tragen sie die gleiche Ladung: \( q:= q_1 = q_2 \). Bezeichne sie einfach als \(q\). Das Coulomb-Gesetz 1 wird also zu: \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \]

Jetzt müssen also nicht zwei unbekannte Größen \(q_1\) und \(q_2\) herausgefunden werden, sondern nur eine Größe, nämlich \(q\). Es ist laut der Aufgabe bekannt, dass einem Zehntel aller Natrium-Atome einer Kugel ein Valenzelektron fehlt. Ein Valenzelektron trägt die negative Ladung \( e = -1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \), somit sind ein Zehntel der Natrium-Atome positiv geladen (sie heißen \(\text{Na}^+\)-Ionen). Ein einzelnes \(\text{Na}^+\)-Ion trägt also die Ladung \( e = +1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Die Gesamtladung \(q\) der Kugel ist also einfach die Anzahl der \(\text{Na}^+\)-Ionen \(N_{\text e}\) multipliziert mit der Ladung \(e\): \( q = N_{\text e} \, e\): \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\left(N_{\text e} \, e\right)^2}{r^2} \]

Doch das einzige, was über ihre Anzahl bekannt ist, dass sie ein Zehntel von der Gesamtzahl \(N\) aller Natrium-Atome der Kugel ist: \(N_{\text e} = \frac{1}{10} \, N \): 5 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\left( \frac{1}{10} \, N \,e \right)^2}{r^2} \]

Um herauszufinden, aus wie vielen Natrium-Atomen eine Kugel besteht, muss die Masse der Kugel bekannt sein (das ist sie: \(M = 0.001 \, \text{kg} \)) und die Masse eines einzelnen Natrium-Atoms. Die letzte kann aus dem Periodensystem der Elemente abgelesen werden: \(m = 23 \cdot 1.67 \cdot 10^{-27} \text{kg} \). Das Verhältnis der Massen entspricht der Anzahl der Natrium-Atome der Kugel: 6 \[ N ~=~ \frac{M}{m} \]

Setze nur noch Gl. 6 in Gl. 5 ein: 7 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\left( \frac{1}{10} \, \frac{M}{m} \,e \right)^2}{r^2} \]

Das Ziel ist erreicht: Alle Größen in 7 sind bekannt. Setze sie ein, um herauszufinden, mit welcher Kraft sich die beiden kleinen Kugeln abstoßen: 8 \[ F_{\text e} ~=~ 1.56 \cdot 10^{15} \, \text{N} \]

Die berechnete Kraft ist kein Rechenfehler, sondern tatsächlich so unvorstellbar groß. Zum Vergleich: Die Erde und der Mond ziehen sich mit einer Kraft von \( 10^{20} \, \text{N}\) an.

Bestimme die potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\), die in den folgenden elektrischen Ladungsanordnungen steckt:

1. Dreieck-Ladungsanordnung mit Punktladungen \(Q_1\), \(Q_2\) und \(Q_3\). Alle Ladungen haben den Abstand \(d\) zueinander.
2. Quadrupol-Anordnung mit zwei Punktladungen \(Q\) und zwei Punktladungen \(-Q\) mit Abstand \(d\).

Lösung zur Aufgabe #8.1

Um die potentielle Energie zu berechnen, wird das Superpositionsprinzip ausgenutzt. Dieses Prinzip besagt, dass die elektrische Gesamtkraft \(F\) auf eine Probeladung, welche von beliebigen Ladungsverteilungen ausgeübt wird, gegeben ist durch die Summe der Kräfte \(F_1, F_2,~...\) aller einzelnen Quellladungen, die eine Kraft auf die Probeladung ausüben: \[ F ~=~ F_1 + F_2 + ... +F_n \]

Diese Eigenschaft überträgt sich auch auf elektrische Felder und Potentiale. Deshalb wird im Folgenden die Dreieck-Anordnung Ladung für Ladung aufgebaut, um dann daraus die Summe der potentiellen Energien zu bilden.

Da hier Punktladungen betrachtet werden, ist das elektrische Potential, welches von der Ladung \(Q_1\) ausgeht, gegeben durch: \[ V(r) ~=~ \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \]

Das Potential \(V\) gibt die potentielle Energie pro Ladung am Ort \(r\) an.

Wenn eine andere Ladung \(Q_2\) im Abstand \(r\) zu \(Q_1\) platziert wird, dann hat diese Ladung \(Q_2\) die folgende potentielle Energie: \[ W_1 ~=~ Q_2 \, V(r) ~=~ Q_2 \, \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \]

Nach der Aufgabenstellung wird die Ladung \(Q_2\) im Abstand \(d\) zu der Ladung \(Q_1\) platziert. Also: 2 \[ W_1 ~=~ Q_2 \, \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \]

Nun handelt es sich um eine neue Ladungsanordnung: Das Gesamtpotential wird jetzt nicht mehr durch eine Ladung \(Q_1\) bestimmt, sondern auch durch die andere Ladung \(Q_2\). Um also die potentielle Energie der dritten Ladung \(Q_3\) zu bestimmen, muss zuerst das Potential, welches sowohl von \(Q_1\) als auch von \(Q_2\) abhängig ist, berechnet werden. Und das ist nicht schwer, denn das Superpositionsprinzip erlaubt zuerst die potentielle Energie zu berechnen, die eine weitere Ladung \(Q_3\) haben wird, wenn sie im Abstand \(d\) zu \(Q_1\) 3 \[ W_2 ~=~ Q_3 \, \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \]

und dann die potentielle Energie von \(Q_3\), wenn sie im Abstand \(d\) zu \(Q_2\) platziert wird: 4 \[ W_3 ~=~ Q_3 \, \frac{Q_2}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \]

Die gesamte potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) dieser Dreieck-Anordnung ist also die Summe von 2, 3 und 4: 5 \[ W_{\text{pot}} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \, \left( Q_1 \, Q_2 + Q_1 \, Q_3 + Q_3 \, Q_2 \right) \]

Wenn beispielsweise \(Q_1 = Q_2 = Q_3 = e \) ist, dann wird 5 zu: 6 \[ W_{\text{pot}} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{3 e^2}{d} \]

Diese Energie steckt also im System aus drei positiven Elementarladungen \(e\), die jeweils im Abstand \(d\) zueinander sind. Wenn diese Ladungen nicht durch eine externe Kraft in diesem Abstand \(d\) zueinander zusammengehalten werden, ist die Dreieck-Anordnung instabil. Die Ladungsträger werden ihre potentielle Energie in kinetische Energie durch die gegenseitige Abstoßung umwandeln.

Wenn dagegen \(Q_1 = -e \) und \(Q_2 = Q_3 = e \), wird 5 zu: 7 \[ W_{\text{pot}} ~=~ -\frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{e^2}{d} \]

Dieses System hat eine negative potentielle Gesamtenergie. Dieses System ist stabil und diese Energie wäre notwendig, um das System zu zerstören.

Lösung zur Aufgabe #8.2

Es wird genauso wie in der Teilaufgabe #8.1 vorgegangen. Die Ladung \(-Q\) verursacht ein negatives Potential im Abstand \(d\), welches gegeben ist durch: 8 \[ V(d) ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{-Q}{d} \]

Wenn eine positive Ladung \(+Q\) in den Abstand \(d\) zu \(-Q\) gebracht wird, dann hat das System die potentielle Energie: 9 \[ W_1 ~=~ Q \, \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{-Q}{d} \]

Das ist also die Energie eines elektrischen Dipols, welches aus einer positiven und negativen Ladung besteht. Eine dritte Ladung \(-Q\), die so wie in der Abbildung zum Dipol gebracht wird, hat dann die potentielle Energie: 10 \[ W_2 ~=~ -Q \, \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \left( \frac{Q}{d} + \frac{-Q}{\sqrt{2} \, d} \right) \]

In 10 muss beachtet werden, dass \(-Q\) im Abstand zur anderen Ladung \(-Q\) (siehe Abbildung) nicht den Abstand \(d\) hat, sondern den Abstand, der durch die Diagonale gegeben ist. Dieser kann leicht mit dem Satz des Pythagoras herausgefunden werden: \(\sqrt{d^2 + d^2}\).

Um einen Quadrupol zu erhalten, wird noch die letzte positive Ladung \(+Q\) zu der Ladungsanordnung aus drei Ladungen gebracht. Die neue Ladung hat dann die folgende potentielle Energie: 11 \[ W_3 ~=~ Q \, \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \left( \frac{-Q}{d} + \frac{-Q}{d} + \frac{Q}{\sqrt{2} \, d} \right) \] Auch hier muss der Diagonalen-Abstand von \(+Q\) und \(+Q\) beachtet werden.

Die Summe von 9, 10 und 11 ergibt die gesamte potentielle Energie des Quadrupols: \[ W_{\text{pot}} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{Q^2}{d} \left( -4 + \sqrt{2} \right) \]

Hierbei wurde \( \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \) verwendet. Wenn du noch die Klammer ausrechnest, bekommst du: $$ W_{\text{pot}} ~\approx~ -\frac{2.6 \, Q^2}{4\pi \, \varepsilon_0 \, d} $$