Alexander Fufaev
Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Coulomb-Gesetz: Elektrische Kraft zwischen Ladungen

Wichtige Formel

Formel: Coulomb-Gesetz zwischen zwei Punktladungen
Was bedeuten diese Formelzeichen?

Elektrische Kraft

Einheit
Elektrostatische Kraft (auch Coulomb-Kraft genannt) ist die anziehende oder abstoßende elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen \( q_1 \) und \( q_2 \).

Elektrische Ladung

Einheit
Diese Ladung ist die Eigenschaft des ersten Ladungsträgers, der bei der elektrischen Wechselwirkung teilnimmt. Je nach Vorzeichen der Ladung, stößt der Ladungsträger andere Ladungsträger ab oder zieht sie an. Ein Proton (positives Vorzeichen) zieht ein Elektron (negatives Vorzeichen) an.

Elektrische Ladung

Einheit
Diese Ladung ist die Eigenschaft des zweiten Ladungsträgers, der bei der elektrischen Wechselwirkung teilnimmt.

Abstand

Einheit
Der Abstand zwischen den Ladunen \( q_1 \) und \( q_2 \). Je größer dieser Abstand ist, desto kleiner ist die elektrostatische Kraft zwischen den Ladungen.

Relative Permittivität

Einheit
Diese dimensionslose Größe beschreibt das Medium, in dem sich die beiden Ladungen befinden. Wenn sich die beiden Ladungen im Vakuum befinden, dann ist \( \varepsilon_{\text r} = 1 \). Und, wenn sie sich beispielsweise im lauwarmen Wasser befinden dann ist \( \varepsilon_{\text r} = 80 \). Je größer die relative Permittivität des Mediums ist, desto mehr schwächt dieses Medium die Kraft zwischen den Ladungen ab.

Elektrische Feldkonstante

Einheit
Die elektrische Feldkonstante ist eine Naturkonstante, die in Gleichungen auftritt, die mit elektromagnetischen Feldern zu tun haben. Sie hat den folgenden experimentell bestimmten Wert: $$ \varepsilon_0 ~\approx~ 8.854 \, 187 \, 8128 ~\cdot~ 10^{-12} \, \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} $$
Kraft in Abhängigkeit vom Abstand der Ladungen - Diagramm
Erklärung
Inhaltsverzeichnis
  1. Wichtige Formel
  2. Grundlagen, um das Coulomb-Gesetz zu verstehen Hier lernst du elektrische Ladungen kennen.
  3. Mit welcher Kraft ziehen sich Ladungen an? Hier werden die Zutaten des Coulomb-Gesetzes ausführlich erklärt.
  4. Wann ist die elektrische Kraft abstoßend / anziehend?
  5. Beispiel: Kraft zwischen Elektron und Proton Hier wird ein typisches Beispiel zum Coulomb-Gesetz gemacht.
  6. Coulomb-Gesetz in einem Medium Hier lernst du, wie sich das Coulomb-Gesetz ändert, wenn sich zwei Ladungen beispielsweise im Wasser befinden.
  7. Elektrisches Potential einer Punktladung
  8. Übungen mit Lösungen

Grundlagen, um das Coulomb-Gesetz zu verstehen

Elektrisch positive / negative Ladung - Anziehung und Abstoßung Visier das Bild an!
Wechselwirkung zwischen positiven und negativen Ladungen.

Es gibt zwei verschiedene Arten elektrischer Ladung:

  • positive Ladung

  • negative Ladung

Warum ausgerechnet zwei Ladungsarten und nicht eine oder sogar drei? Weil die bisheringen Experimente (wie z.B. die Ablenkung der Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern) genau ZWEI Ladungsarten finden konnten, die sich in ihrer Kraftwirkung untereinander unterscheiden. Positive Ladungen stoßen sich mit einer bestimmten Kraft ab. Negative Ladungen stoßen sich auch untereinander ab. Eine positive und eine negative Ladung dagegen ziehen sich an.

Wie wechselwirken Ladungen miteinander?

Gleichnamige Ladungen (++ oder --) stoßen sich ab. Ungleichnamige Ladungen (+- oder -+) ziehen sich an.

Elektrische Ladung wird mit einem kleinen \( q \) abgekürzt. Und die physikalische Einheit der elektrischen Ladung wurde als Einheit "Coulomb" (\(\text C \)) definiert, die auch als eine Amperesekunde (\(\text{As} \)) geschrieben werden kann:

Bedenke, dass das Kennen der Einheiten, Dir dabei helfen kann, andere Einheiten abzuleiten oder Deine Umformungen von Formeln auf ihre Richtigkeit zu überprüfen.

Beispiel für eine Ladung in der Natur

Die elektrische Ladung eines negativ geladenen Elektrons beträgt: \( q = -1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Da es die kleinste Ladung, die ein freies Teilchen haben kann, wird dieser Wert der Ladung auch als Elementarladung \( e \) genannt. Das Teilchen Proton dagegen hat eine positive Elementarladung: \( e = +1.602 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} \). Das Vorzeichen der Ladung wird entscheidend sein, ob die elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen abstoßend oder anziehend ist.

Mit welcher Kraft ziehen sich Ladungen an?

Du weißt nun, dass es zwei verschiedene Ladungsarten gibt, die eine abstoßende oder anziehende elektrische Kraft \( F_{\text e} \) aufeinander ausüben. Es treten jetzt bei Dir wahrscheinlich einige Fragen auf: Wie kann ich diese Kraft berechnen? Was ist, wenn die Ladungen unterschiedlich groß sind? Was ist, wenn deren Abstand zueinander varändert wird? All diese Fragen können in einem Experiment beantwortet werden. Das Coulomb-Gesetz ist so ein typisches physikalisches Gesetz, welches ursprünglich durch das Experiment und nicht durch eine mathematische Herleitung herausgefunden wurde.

Grundsätzlich geht das Experiment zum Coulomb-Gesetz so: Du lädst zwei metallische Kugeln elektrisch auf, sodass sie eine elektrische Ladung tragen, die Du z.B. mittels einer Spannungsquelle vorgibst. Dann misst Du die Kraft zwischen den Kugeln, die in einem bestimmten Abstand \( r \) voneinander entfernt sind. Dann variierst Du sowohl den Abstand (z.B. \(0.1\,\mathrm{m}, 0.2\,\mathrm{m}, 0.3\,\mathrm{m}\)...) als auch Ladungen der einen Kugel \( q_1 \) und der zweiten Kugel \(q_2 \) (z.B. \(0.5\,\mathrm{C}, 0.6\,\mathrm{C}, 0.7\,\mathrm{C}\)...). Ein konkretes Experiment zur Bestimmung des Coulomb-Gesetzes ist beispielsweise die sogenannte Coulomb-Drehwaage.

Kraft in Abhängigkeit vom Abstand der Ladungen - Diagramm
Elektrische Kraft in Abhängigkeit vom Abstand der Ladungen. Für kleine Abstände wird die Abstoßungskraft (oberer Verlauf) bzw. Anziehungskraft (unterer Verlauf) SEHR groß.

Alle von Dir gesammelten Messwerte werden dann so wie üblich in veranschaulichenden Diagrammen weiter untersucht. In einem \(F_{\text e}\)-\(r\)-Diagramm (also Kraft in Abhängigkeit vom Ladungsabstand) findest Du heraus, dass die elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen \(q_1 \) und \(q_2 \), die die beiden Kugeln tragen, proportional zu \( \frac{1}{r^2} \) ist:

Das heißt: Verdoppelst Du den Abstand \(r\), dann verkleinert sich die Kraft \( F_{\text e} \) um das VIERfache!

Erkenntnis #1

Je größer der Abstand zweier elektrischer Ladungen ist, desto kleiner ist die elektrische Kraft zwischen ihnen. Dementsprechend ist die Abstoßung bzw. Anziehung schwächer.

Dann schaust Du Dir an, wie sich die Kraft verändert, wenn Du andere Ladungswerte benutzt. Dazu variierst Du die Ladung einer Kugel. Die erhaltenen Messwerte trägst Du in ein \(F_{\text e}\)-\(q_1\)-Diagramm ein. Als Ergebnis bekommst Du einen linearen Zusammenhang:

Wenn Du die Ladung \( q_2 \) der zweiten Kugel variierst, bekommst Du natürlich die gleiche Proportionalität:

Erkenntnis #2

Je größer die Ladungen desto größer die elektrische Kraft zwischen ihnen. Dementsprechend ist die Abstoßung bzw. Anziehung stärker.

Abstand zwischen zwei Ladungen und deren elektrisches Feld
Zwei Ladungen (Proton und Elektron) im Abstand \( r \), die sich anziehen. Und zwei Protonen, die sich abstoßen.

Fasst Du die drei experimentellen Zusammenhänge 1, 2 und 3 zusammen, dann kennst Du schonmal die folgende Proportionalität:

Es muss nur noch die Proportionalitätskonstante \( K \) bestimmt werden, um das Coulomb-Gesetz vollständig zu bestimmen:

Durch die Messung der Kraft zwischen zwei (bekannten) Ladungen und deren Abstand zueinander, findest Du durch Umformen der Gleichung 5 die gesuchte Konstante \( K \) heraus. Lade beispielsweise die beiden Kugeln so auf, dass sie \( q_1 = q_2 = 10^{-4} \, \mathrm{C} \) haben und platziere sie im Abstand \( r = 1 \, \mathrm{m} \) zueinander. Dann wirst Du eine Kraft \( F_{\text e} = 89.875 \, \mathrm{N} \) zwischen den beiden Ladungen messen. Stelle 5 nach dem gesuchten \( K \) um und setze den hier zur Verfügung gestellten Messwert ein:

Natürlich spielt es keine Rolle, welche Ladungen und welchen Abstand Du auswählst, das Ergebnis für die Proportionalitätskonstante wird immer gleich sein, weil es ja eine Konstante ist!

Später wird es sich bei Deinen Physikabenteuern herausstellen, dass es sinnvoll ist, die Coulomb-Konstante folgendermaßen zu definieren:

Der Wert der sogenannten elektrischen Feldkonstante \( \varepsilon_0 \) kannst du herausfinden, wenn du Gl. 7 nach \( \varepsilon_0 \) umstellst und dann den Wert von \(K\) (Gl. 6) einsetzt:

Die Einheit der elektrischen Feldkonstante wird normalerweise in Amperesekunde durch Voltmeter angegeben, was aber leicht durch Einheitenumformung geschehen kann:

Die elektrische Feldkonstante \( \varepsilon_0 \) findest Du fast überall, wo Elektrizität und Magnetismus vorkommen, denn mithilfe dieser Naturkonstanten schreibt uns die Natur vor, wie stark die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen elektrischen Ladungen sein muss, damit das Universum so ist, wie es ist. Warum ausgerechnet dieser Wert 8 und nicht ein anderer von der Natur vorgeschrieben wird, kann nur eine "höhere Macht" beantworten.

Die Reise ist hier zu Ende, denn, wenn Du alles bisher gelernte zusammenfasst, dann kommst Du zum folgenden physikalischen Zusammenhang, der zu Ehren eines französischen Physikers Charles Augustin de Coulomb, der viel mit Ladungen herumexperimentiert hat, als Coulomb-Gesetz genannt wird:

Wann ist die elektrische Kraft abstoßend / anziehend?

Je nachdem, ob \( q_1 \) bzw. \( q_2 \) im Coulomb-Gesetz 10 positiv oder negativ ist, hat die elektrische Kraft \( F_{\text e} \) ein anderes Vorzeichen und damit eine abstoßende bzw. anziehende Wirkung auf die beiden Ladungen:

  • \( q_1\) und \(q_2 \) beide positiv. Dann ist \( F_{\text e} \) auch positiv.

  • \(q_1\) und \(q_2 \) beide negativ. Dann ist \( F_{\text e} \) positiv, denn "-" mal "-" ergibt "+".

  • \(q_1\) positiv und \(q_2\) negativ (oder andersherum). Dann ist \( F_{\text e} \) negativ, denn "+" mal "-" ergibt "-".

Erkenntnis #3

Wenn die Kraft positiv ist, dann stoßen sich die Ladungen ab. Wenn die Kraft negativ ist, dann ziehen sich die Ladungen an.

Beispiel: Kraft zwischen Elektron und Proton

Nach dem einfachen Atommodell des Hydrogenium-Atoms (Wasserstoffatom), umkreist ein negativ geladenes Elektron den Atomkern, der aus einem einzigen positiv geladenen Proton besteht. Sowohl das Elektron als auch das Proton tragen die Elementarladung:

Der Radius \(r\) der Elektronenkreisbahn beträgt nach dem Modell:

Wie groß ist die elektrische Kraft \( F_{\text e} \), die das Elektron und Proton in diesem Abstand aufeinander ausüben? Ziehen sie sich an oder stoßen sie sich ab?

Benutze das Coulomb-Gesetz 10, um die elektrische Kraft zwischen den beiden Ladungen herauszufinden:

Da die Kraft negativ ist, ziehen sich das Elektron und Proton an!

Coulomb-Gesetz in einem Medium

Das Coulomb-Gesetz 10 gilt nur im Vakuum oder näherungsweise in der Luft. Wenn Du die beiden geladenen Kugeln ins Wasser platzierst (natürlich kein salzhaltiges Wasser, sonst gibts einen Kurzschluss), dann wirst Du feststellen, dass das Medium zwischen den Ladungen ebenfalls eine entscheidende Rolle spielt und wir haben es nicht berückschtigt! Um andere Medien zu berücksichtigen, wird das Coulomb-Gesetz zu:

Hierbei ist \( \varepsilon_{\text r} \) die eingeführte relative Permittivität (auch Dielektrizitätszahl genannt). Diese einheitslose Größe dient dazu, um das Medium zwischen den Ladungen zu berücksichtigen.

  • Wenn die beiden Ladungen im Vakuum sind: \( \varepsilon_{\text r} = 1 \).
  • Wenn die beiden Ladungen in der Luft sind: \( \varepsilon_{\text r} = 1.0006 \approx 1 \)
  • Wenn die beiden Ladungen im lauwarmen Wasser sind: \( \varepsilon_{\text r} \approx 81.1 \).

Elektrisches Potential einer Punktladung

Eine elektrische Ladung \(\class{red}{Q}\) im Abstand \(r\) erzeugt ein elektrisches Potential \(V(r)\), gegeben durch die folgende Formel: \[ V(r) ~=~ \frac{\class{red}{Q}}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \]

Das elektrische Potential \(V\) gibt die potentielle Energie pro Ladung an. Die potentielle Energie \( W_{\text{pot}}(r) \) einer Ladung \(\class{red}{q}\), die im Abstand \(r\) zu der Quelladung \(\class{red}{Q}\) platziert wird, ist dann gegeben durch: $$\begin{align} W_{\text{pot}}(r) ~&=~ \class{red}{q} \, V(r) \\\\ ~&=~ \frac{\class{red}{q} \, \class{red}{Q}}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \end{align}$$ Potentielle Energie einer Ladung in einem radialen elektrischen Feld

Übungen mit Lösungen

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Mit den nachfolgenden Aufgaben übst du das Herumhantieren mit dem Coulomb-Gesetz.

Aufgabe #1: Ein geladenes Partikel

Welche Kraft erfährt ein geladenes Partikel mit der Ladung \( 0.001 \, \text{C} \), das sich in einem Abstand von \( 0.2\, \text{m} \) von einer Kugel mit der Ladung \( 0.5 \, \text{C} \) befindet?

Lösung zur Aufgabe #1

Für alle Aufgaben benutzt du das Coulomb-Gesetz: 1 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \]

Hierbei hat die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0\) den Wert \( 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } \). Das einzige was du immer machen musst: Genau lesen, was die Aufgabe verlangt und dann das Coulomb-Gesetz nach der gesuchten Größe umstellen.

In der Aufgabe (a) ist nach der elektrischen Kraft \(F_{\text e}\) zwischen einem geladenen Partikel mit der Ladung \( q_1 = 0.001 \, \text{C} \) und einer Kugel mit der Ladung \( q_2 = 0.5 \, \text{C} \) gefragt, die sich im Abstand von \( r = 0.2\, \text{m} \) zueinander befinden.

Hier musst du das Coulomb-Gesetz nicht umstellen, sondern kannst direkt die gebenen Werte einsetzen. Hierbei entspricht die Coulomb-Konstante \( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \) dem Wert \( 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } \): 1-1 \begin{align} F_{\text e} &~=~ 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } ~\cdot~ \frac{0.001 \, \text{C} ~\cdot~ 0.5 \, \text{C}}{(0.2\, \text{m})^2} \\\\ &~=~ 1.1 \cdot 10^8 \, \text{N} \end{align}

Das Partikel erfährt also eine sehr große Kraft von \(1.1 \cdot 10^8 \, \text{N}\).

Aufgabe #2: Das Eisenatom

Wie groß ist die Anziehungskraft zwischen dem Kern eines Eisenatoms mit der Ladung \( 26 \, e \) und einem Elektron im Abstand \( 10^{-12} \, \text{m} \)?

Lösung zur Aufgabe #2

Gesucht ist die anziehende elektrische Kraft \( F_{\text e} \) zwischen dem Kern eines Eisenatoms, der die Ladung \( q_1 = 26\,e\) trägt und einem Elektron mit der Ladung \(q_2 = e \) im Abstand von \( r = 10^{-12} \, \text{m}\).

Die Elementarladung hat den Wert \( e = 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\). Damit hat der Eisenkern die Ladung: 2 \begin{align} q_1 &~=~ 26 ~\cdot~1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \\\\ &~=~ 4.168 \cdot 10^{-18} \, \text{C} \end{align}

Mit der Coulomb-Konstanten (siehe Aufgabenteil (a)) beträgt die elektrische Kraft: 2-1 \begin{align} F_{\text e} &~=~ 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } ~\cdot~ \frac{4.168 \cdot 10^{-18} \, \text{C} ~\cdot~ 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} }{ \left(10^{-12} \, \text{m}\right)^2 } \\\\ &~=~ 0.006 \, \text{N} \end{align}

Der Kern eines Eisenatoms übt also auf das betrachtete Elektron eine Kraft von \(0.006 \, \text{N}\) aus.

Aufgabe #3: Der Atomkern

Mit welcher Kraft stoßen sich zwei Protonen im Atomkern ab, unter der Annahme, dass sie sich im Abstand von \( 5\cdot 10^{-15} \, \text{m} \) befinden?

Lösung zur Aufgabe #3

Gesucht ist die elektrische Abstoßungskraft \(F_{\text e}\) zwischen zwei Protonen im Abstand \( r = 5\cdot 10^{-15} \, \text{m} \). Ein Proton trägt die Elementarladung \( q_1 = q_2 = 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\).

Mit der Coulomb-Konstanten (siehe Aufgabenteil (a)) beträgt die elektrische Kraft: 3 \begin{align} F_{\text e} &~=~ 8.987 \cdot 10^9 \, \frac{ \text{Vm} }{ \text{As} } ~\cdot~ \frac{ \left( 1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \right)^2 }{ \left( 5\cdot 10^{-15} \, \text{m} \right)^2 } \\\\ &~=~ 9.22 \, \text{N} \end{align}

Zwei Protonen eines Atomkerns stoßen sich mit der Kraft von \(9.22 \, \text{N}\) ab.

Aufgabe #4: Ladung der Kugeln

Zwei gleich geladene Kugeln stoßen sich mit der Kraft von \( 0.2 \, \text{N} \) ab, wenn deren Abstand voneinander \( 1\, \text{m} \) beträgt. Welche Ladung tragen diese Kugeln?

Lösung zur Aufgabe #4

Gesucht ist die Ladung \(q \) der Kugeln. Beide tragen die gleiche Ladung. Das heißt \(q = q_1 = q_2\). Gegeben ist ihre Abstoßungskraft \( F_{\text e} = 0.2 \, \text{N} \) im Abstand \( r = 1 \, \text{m} \) zueinander. Wir müssen also das Coulomb-Gesetz 4 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \] nach der Ladung \(q\) umstellen. Bringe \(r^2\) auf die linke Seite: 4.1 \[ F_{\text e} \, r^2 ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, q^2 \]

Bringe \(4\pi \varepsilon_0\) auf die linke Seite: 4.2 \[ 4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e} \, r^2 ~=~ q^2 \]

Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten: 4.3 \[ \sqrt{ 4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e} \, r^2 } ~=~ q \]

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt: 4.4 \begin{align} q &~=~ \sqrt{ 4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e} \, r^2 } \\\\ q &~=~ \sqrt{ 4\pi ~\cdot~ 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } ~\cdot~ 0.2 \, \text{N} ~\cdot~ \left( 1 \, \text{m} \right)^2 } \\\\ q &~=~ 4.7 \cdot 10^{-6} \, \text{C} \end{align}

Die geladenen Kugeln stoßen sich mit der Kraft von \(4.7 \,\mu\text{C}\) ab.

Aufgabe #5: Abstand der Kugeln

Zwei befestigte, geladene Kugeln, beide mit der Ladung \( 10^{-6} \, \text{C} \), üben eine Kraft von \( 1 \, \text{N} \) aufeinander aus. In welchem Abstand befinden sie sich zueinander?

Lösung zur Aufgabe #5

Gesucht ist der Abstand \( r \) zweier geladener Kugeln, die beide die Ladung \( q_1 = q_2 = 10^{-6} \, \text{C} \) tragen und eine Kraft \( F_{\text e} = 1 \, \text{N} \) aufeinander ausüben.

Stelle dazu das Coulomb-Gesetz 5 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \] nach dem Abstand \(r\) um. Bringe \( r^2 \) auf die linke Seite: 5.1 \[ F_{\text e} \, r^2 ~=~ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0} \]

Bringe dann \(F_{\text e}\) auf die rechte Seite: 5.2 \[ r^2 ~=~ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e}} \]

Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten: 5.3 \[ r ~=~ \sqrt{ \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 \, F_{\text e}} } \]

Setze nur noch die gegebenen Werte ein: 5.4 \begin{align} r &~=~ \sqrt{ \frac{ \left( 10^{-6} \, \text{C} \right)^2 }{ 4\pi ~\cdot~ 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } ~\cdot~ 1 \, \text{N} } } \\\\ &~=~ 8.99 \cdot 10^{-3} \, \text{m} \end{align}

Die beiden geladenen Kugeln befinden sich ungefähr im Abstand von \( 9 \, \text{mm}\) zueinander.

Aufgabe #6: Elektrische Feldkonstante bestimmen

Du möchtest die elektrische Feldkonstante mithilfe des Coulomb-Gesetzes experimentell bestimmen. Dazu lädst du zwei Kugeln gleich auf \( 2 \cdot 10^{-8} \, \text{C} \) auf, platzierst sie im Abstand \( 0.01\, \text{m} \) zueinander und misst dabei die Kraft von \( 0.036\, \text{N} \). Wie groß ist die elektrische Feldkonstante bei dieser Messung?

Lösung zur Aufgabe #6

Gesucht ist die elektrische Feldkonstante \( \varepsilon_0 \). Gegeben ist die Ladung \( q_1 = q_2 = 2 \cdot 10^{-8} \, \text{C} \) sowie der Abstand \( r = 0.01\, \text{m} \) und die Kraft \( F_{\text e} = 0.036\, \text{N} \).

Stelle dazu das Coulomb-Gesetz 6 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \] nach \(\varepsilon_0\) um. Multipliziere beide Seiten mit \(\varepsilon_0\): 6.1 \[ \varepsilon_0\, F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi } \, \frac{q^2}{r^2} \]

Multipliziere beide Seiten mit \(\frac{1}{ F_{\text e} } \): 6.2 \[ \varepsilon_0 ~=~ \frac{1}{4\pi F_{\text e}} \, \frac{q^2}{r^2} \]

Setze gegebene Werte ein: 6.3 \begin{align} \varepsilon_0 &~=~ \frac{1}{4\pi ~\cdot~ 0.036\, \text{N} } ~\cdot~ \frac{ \left(2 \cdot 10^{-8} \, \text{C}\right)^2 }{(0.01\, \text{m})^2} \\\\ &~=~ 8.84 \cdot 10^{-12} \, \frac{ \text{As} }{ \text{Vm} } \end{align}

Aufgabe #7: Elektrische Kraft zwischen zwei Natrium-Kugeln

Zwei Kugeln aus Natrium jeweils der Masse \(M = 0.001 \, \text{kg} \) befinden sich im Abstand \( r = 1 \, \text{m} \) zueinander. Ein Zehntel der Kugel besteht aus einfach positiv geladenen \(\text{Na}^+\)-Ionen (d.h. aus eine Natrium-Atom wurde ein Valenzelektron entfernt).

Wie groß ist die elektrische Kraft \(F_{\text e}\) zwischen den beiden Natrium-Kugeln?

Tipp: Die Masse eines Natrium-Atoms ist: $$ m ~=~ 23 ~\cdot~ 1.67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} $$

Lösung zur Aufgabe #7

Um die Aufgabe zu lösen, benutze das Coulomb-Gesetz. Das Ziel ist es also lediglich die Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) der beiden Natirum-Kugeln herauszufinden. Der Abstand der Kugeln ist bekannt: \( r = 1 \, \text{m} \).

Da die beiden Natrium-Kugeln gleich groß sind und vor allem bei beiden die gleiche Anzahl an Elektronen fehlt, tragen sie die gleiche Ladung: \( q:= q_1 = q_2 \). Bezeichne sie einfach als \(q\). Das Coulomb-Gesetz 1 wird also zu: \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \]

Jetzt müssen also nicht zwei unbekannte Größen \(q_1\) und \(q_2\) herausgefunden werden, sondern nur eine Größe, nämlich \(q\). Es ist laut der Aufgabe bekannt, dass einem Zehntel aller Natrium-Atome einer Kugel ein Valenzelektron fehlt. Ein Valenzelektron trägt die negative Ladung \( e = -1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \), somit sind ein Zehntel der Natrium-Atome positiv geladen (sie heißen \(\text{Na}^+\)-Ionen). Ein einzelnes \(\text{Na}^+\)-Ion trägt also die Ladung \( e = +1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Die Gesamtladung \(q\) der Kugel ist also einfach die Anzahl der \(\text{Na}^+\)-Ionen \(N_{\text e}\) multipliziert mit der Ladung \(e\): \( q = N_{\text e} \, e\): \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\left(N_{\text e} \, e\right)^2}{r^2} \]

Doch das einzige, was über ihre Anzahl bekannt ist, dass sie ein Zehntel von der Gesamtzahl \(N\) aller Natrium-Atome der Kugel ist: \(N_{\text e} = \frac{1}{10} \, N \): 5 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\left( \frac{1}{10} \, N \,e \right)^2}{r^2} \]

Um herauszufinden, aus wie vielen Natrium-Atomen eine Kugel besteht, muss die Masse der Kugel bekannt sein (das ist sie: \(M = 0.001 \, \text{kg} \)) und die Masse eines einzelnen Natrium-Atoms. Die letzte kann aus dem Periodensystem der Elemente abgelesen werden: \(m = 23 \cdot 1.67 \cdot 10^{-27} \text{kg} \). Das Verhältnis der Massen entspricht der Anzahl der Natrium-Atome der Kugel: 6 \[ N ~=~ \frac{M}{m} \]

Setze nur noch Gl. 6 in Gl. 5 ein: 7 \[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\left( \frac{1}{10} \, \frac{M}{m} \,e \right)^2}{r^2} \]

Das Ziel ist erreicht: Alle Größen in 7 sind bekannt. Setze sie ein, um herauszufinden, mit welcher Kraft sich die beiden kleinen Kugeln abstoßen: 8 \[ F_{\text e} ~=~ 1.56 \cdot 10^{15} \, \text{N} \]

Die berechnete Kraft ist kein Rechenfehler, sondern tatsächlich so unvorstellbar groß. Zum Vergleich: Die Erde und der Mond ziehen sich mit einer Kraft von \( 10^{20} \, \text{N}\) an.

Aufgabe #8: Ladungen in einer Dreieck- und Quadrupolanordnung

Bestimme die potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\), die in den folgenden elektrischen Ladungsanordnungen steckt:

  1. Dreieck-Ladungsanordnung mit Punktladungen \(Q_1\), \(Q_2\) und \(Q_3\). Alle Ladungen haben den Abstand \(d\) zueinander. Dreieck - Ladungsanordnung
  2. Quadrupol-Anordnung mit zwei Punktladungen \(Q\) und zwei Punktladungen \(-Q\) mit Abstand \(d\). Quadrupol - äquidistante Ladungsanordnung

Lösung zur Aufgabe #8.1

Um die potentielle Energie zu berechnen, wird das Superpositionsprinzip ausgenutzt. Dieses Prinzip besagt, dass die elektrische Gesamtkraft \(F\) auf eine Probeladung, welche von beliebigen Ladungsverteilungen ausgeübt wird, gegeben ist durch die Summe der Kräfte \(F_1, F_2,~...\) aller einzelnen Quellladungen, die eine Kraft auf die Probeladung ausüben: \[ F ~=~ F_1 + F_2 + ... +F_n \]

Diese Eigenschaft überträgt sich auch auf elektrische Felder und Potentiale. Deshalb wird im Folgenden die Dreieck-Anordnung Ladung für Ladung aufgebaut, um dann daraus die Summe der potentiellen Energien zu bilden.

Da hier Punktladungen betrachtet werden, ist das elektrische Potential, welches von der Ladung \(Q_1\) ausgeht, gegeben durch: \[ V(r) ~=~ \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \]

Das Potential \(V\) gibt die potentielle Energie pro Ladung am Ort \(r\) an.

Wenn eine andere Ladung \(Q_2\) im Abstand \(r\) zu \(Q_1\) platziert wird, dann hat diese Ladung \(Q_2\) die folgende potentielle Energie: \[ W_1 ~=~ Q_2 \, V(r) ~=~ Q_2 \, \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{r} \]

Nach der Aufgabenstellung wird die Ladung \(Q_2\) im Abstand \(d\) zu der Ladung \(Q_1\) platziert. Also: 2 \[ W_1 ~=~ Q_2 \, \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \]

Nun handelt es sich um eine neue Ladungsanordnung: Das Gesamtpotential wird jetzt nicht mehr durch eine Ladung \(Q_1\) bestimmt, sondern auch durch die andere Ladung \(Q_2\). Um also die potentielle Energie der dritten Ladung \(Q_3\) zu bestimmen, muss zuerst das Potential, welches sowohl von \(Q_1\) als auch von \(Q_2\) abhängig ist, berechnet werden. Und das ist nicht schwer, denn das Superpositionsprinzip erlaubt zuerst die potentielle Energie zu berechnen, die eine weitere Ladung \(Q_3\) haben wird, wenn sie im Abstand \(d\) zu \(Q_1\) 3 \[ W_2 ~=~ Q_3 \, \frac{Q_1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \]

und dann die potentielle Energie von \(Q_3\), wenn sie im Abstand \(d\) zu \(Q_2\) platziert wird: 4 \[ W_3 ~=~ Q_3 \, \frac{Q_2}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \]

Die gesamte potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) dieser Dreieck-Anordnung ist also die Summe von 2, 3 und 4: 5 \[ W_{\text{pot}} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{1}{d} \, \left( Q_1 \, Q_2 + Q_1 \, Q_3 + Q_3 \, Q_2 \right) \]

Wenn beispielsweise \(Q_1 = Q_2 = Q_3 = e \) ist, dann wird 5 zu: 6 \[ W_{\text{pot}} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{3 e^2}{d} \]

Diese Energie steckt also im System aus drei positiven Elementarladungen \(e\), die jeweils im Abstand \(d\) zueinander sind. Wenn diese Ladungen nicht durch eine externe Kraft in diesem Abstand \(d\) zueinander zusammengehalten werden, ist die Dreieck-Anordnung instabil. Die Ladungsträger werden ihre potentielle Energie in kinetische Energie durch die gegenseitige Abstoßung umwandeln.

Wenn dagegen \(Q_1 = -e \) und \(Q_2 = Q_3 = e \), wird 5 zu: 7 \[ W_{\text{pot}} ~=~ -\frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{e^2}{d} \]

Dieses System hat eine negative potentielle Gesamtenergie. Dieses System ist stabil und diese Energie wäre notwendig, um das System zu zerstören.

Lösung zur Aufgabe #8.2

Es wird genauso wie in der Teilaufgabe #8.1 vorgegangen. Die Ladung \(-Q\) verursacht ein negatives Potential im Abstand \(d\), welches gegeben ist durch: 8 \[ V(d) ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{-Q}{d} \]

Wenn eine positive Ladung \(+Q\) in den Abstand \(d\) zu \(-Q\) gebracht wird, dann hat das System die potentielle Energie: 9 \[ W_1 ~=~ Q \, \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{-Q}{d} \]

Das ist also die Energie eines elektrischen Dipols, welches aus einer positiven und negativen Ladung besteht. Eine dritte Ladung \(-Q\), die so wie in der Abbildung zum Dipol gebracht wird, hat dann die potentielle Energie: 10 \[ W_2 ~=~ -Q \, \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \left( \frac{Q}{d} + \frac{-Q}{\sqrt{2} \, d} \right) \]

In 10 muss beachtet werden, dass \(-Q\) im Abstand zur anderen Ladung \(-Q\) (siehe Abbildung) nicht den Abstand \(d\) hat, sondern den Abstand, der durch die Diagonale gegeben ist. Dieser kann leicht mit dem Satz des Pythagoras herausgefunden werden: \(\sqrt{d^2 + d^2}\).

Um einen Quadrupol zu erhalten, wird noch die letzte positive Ladung \(+Q\) zu der Ladungsanordnung aus drei Ladungen gebracht. Die neue Ladung hat dann die folgende potentielle Energie: 11 \[ W_3 ~=~ Q \, \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \left( \frac{-Q}{d} + \frac{-Q}{d} + \frac{Q}{\sqrt{2} \, d} \right) \] Auch hier muss der Diagonalen-Abstand von \(+Q\) und \(+Q\) beachtet werden.

Die Summe von 9, 10 und 11 ergibt die gesamte potentielle Energie des Quadrupols: \[ W_{\text{pot}} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{Q^2}{d} \left( -4 + \sqrt{2} \right) \]

Hierbei wurde \( \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \) verwendet. Wenn du noch die Klammer ausrechnest, bekommst du: $$ W_{\text{pot}} ~\approx~ -\frac{2.6 \, Q^2}{4\pi \, \varepsilon_0 \, d} $$