Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:
Boltzmann-Verteilung: Die klassische Besetzungswahrscheinlichkeit
Wichtige Formel
$$P(W) ~=~ \mathrm{e}^{ -\frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}}$$
$$P(W) ~=~ \mathrm{e}^{ -\frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}}$$
$$W ~=~ - \ln(P(W)) \, k_{\text B} \, T - \mu$$
$$\mu ~=~ - \ln(P(W)) \, k_{\text B} \, T - W$$
$$T ~=~ \frac{-W-\mu}{ \ln(P(W)) \, k_{\text B} }$$
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Besetzungswahrscheinlichkeit
$$ P(W) $$ Einheit $$ - $$
Die Besetzungswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit \(P\) ein Zustand mit Energie \( W \) bei Temperatur \( T \) von einem Teilchen (z.B. Gasteilchen) besetzt ist.
Energie
$$ W $$ Einheit $$ \mathrm{J} = \mathrm{Nm} = \frac{ \mathrm{kg} \, \mathrm{m^2} }{ \mathrm{s}^2 } $$
Energie eines Teilchens, z.B. eines Gasteilchens.
Chemisches Potential
$$ \mu $$ Einheit $$ \mathrm{J} $$
Chemisches Potential gibt die Änderung der inneren Energie an, wenn sich die Teilchenzahl des klassischen Gases ändert.
Temperatur
$$ T $$ Einheit $$ \mathrm{K} $$
Absolute Temperatur des Gases.
Boltzmann-Konstante
$$ k_{\text B} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm J}{\mathrm K} = \frac{\mathrm{kg} \,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2 \, \mathrm{K}} $$Boltzmann-Konstante ist eine Naturkonstante aus der Thermodynamik und Vielteilchenphysik hat den folgenden exakten Wert:
$$ k_{\text B} ~=~ 1.380 \, 649 ~\cdot~ 10^{-23} \, \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}} $$
Die Boltzmann-Verteilung gibt die Besetzungswahrscheinlichkeit \( P(W) \) an, dass ein Teilchen in einem System die Energie \( W \) annimmt. Die Besetzungswahrscheinlichkeit hängt dabei von der Temperatur \( T \) des Systems ab.
$$ \begin{align} P(W) ~=~ \mathrm{e}^{ -\frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}} \end{align} $$
Je höher die Energie, desto unwahrscheinlicher ist es, dass ein Teilchen des Systems diese Energie hat.