Ich heiße Alexander FufaeV und hier schreibe ich über:
Wie funktioniert ein Höhenmesser (Barometer)?
Wichtige Formel
$$\mathit{\Pi}(h) ~=~ \mathit{\Pi}_0 \, \mathrm{e}^{-h/H}$$
$$\mathit{\Pi}(h) ~=~ \mathit{\Pi}_0 \, \mathrm{e}^{-h/H}$$
$$\mathit{\Pi}_0 ~=~ \frac{ \mathit{\Pi} }{ \mathrm{e}^{-h/H} }$$
$$H ~=~ - \frac{h}{ \ln\left( \mathit{\Pi}/\mathit{\Pi}_0 \right) }$$
$$h ~=~ - H \, \ln\left( \frac{\mathit{\Pi}}{\mathit{\Pi}_0} \right)$$
Was bedeuten diese Formelzeichen?
Druck
$$ \mathit{\Pi} $$ Einheit $$ \mathrm{Pa} = \frac{ \mathrm{N} }{ \mathrm{m}^2 } $$
Luftdruck (oder der Druck eines anderen Fluids) auf der Höhe \(h\) über der Meeresoberfläche. Nach dieser Barometerformel nimmt der Luftdruck exponentiell mit der Höhe ab.
Druck am Boden
$$ \mathit{\Pi}_0 $$ Einheit $$ \mathrm{Pa} $$
Luftdruck auf der Meereshöhe \(h = 0\).
Skalenhöhe
$$ H $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$
Skalenhöhe ist eine Konstante, die zum Beispiel von der Temperatur der Luft und der Fallbeschleunigung abhängt. Die Skalenhöhe beträgt ungefähr \(H=8\,\mathrm{km}\) auf der Erde.
Höhe
$$ h $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$
Höhe von der Meeresoberfläche aus gemessen.
Ein einfaches Barometer (auch Manometer genannt) funktioniert über die Barometerformel, welche die Höhe \(h\) über dem Erdboden mit dem auf dieser Höhe herrschenden Luftdruck \( \mathit{\Pi} \) verknüpft:
$$ \begin{align} \mathit{\Pi}(h) ~=~ \mathit{\Pi}_0 \, \mathrm{e}^{-h/H} \end{align} $$
Hierbei ist \( H ~=~ 8005 \, \mathrm{m} \) und der mittlere Luftdruck auf der Meereshöhe \(\mathit{\Pi}_0 = 101 \, \mathrm{kPa} = 1 \, \mathrm{bar} \). Die Formel sagt aus, dass der Luftdruck mit zunehmender Höhe \( h \) exponentiell abnimmt.
Ein Höhenmesser misst also den Luftdruck \( \mathit{\Pi} \) und berechnet daraus die Höhe, auf der dieser Luftdruck herrscht:
$$ \begin{align} h ~=~ 8005 \, \mathrm{m} \,\cdot\, \ln\left(\frac{ \mathit{\Pi} }{ 101 000 \, \mathrm{Pa} }\right) \end{align} $$