Archimedes-Prinzip: Der Auftrieb in Flüssigkeiten und Gasen
Das Archimedes-Prinzip besagt, dass ein in eine Flüssigkeit (oder in ein Gas) eingetauchter Körper eine Auftriebskraft \(F_{\text A}\) erfährt, die gleich der Gewichtskraft \(F_{\text g}\) der verdrängten Flüssigkeit (oder des verdrängten Gases) ist. Dieses Prinzip wurde nach dem antiken griechischen Mathematiker und Physiker Archimedes benannt, der es entdeckte.
Hierbei ist \( \class{blue}{\rho} \) die Massendichte der jeweiligen Flüssigkeit. Diese sagt aus, wie schwer ein Kubikmeter der Flüssigkeit ist. Beispielsweise beträgt die Dichte des Wassers: \( \class{blue}{\rho} ~=~ 10^3 \, \frac{ \text{kg} }{ \text{m}^3} \). Und \( \class{red}{V} \) ist das Volumen der Flüssigkeit, welches vom eingetauchten Körper verdrängt wurde. Also genau das Volumen des in die Flüssigkeit eingetauchten Körpers. \( g ~=~ 9.8 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \) ist die Fallbeschleunigung.
Der Fisch verändert das Volumen seiner Schwimmblase. Durch ein größeres Volumen verdrängt er mehr Wasser, was eine größere Auftriebskraft verursacht.
Was ist das hydrostatische Paradoxon?
Betrachte dazu beispielsweise sogenannte kommunizierende Röhren. Diese haben eine unterschiedliche Form. Sie sind oben offen und unten miteinander verbunden.
Füllst Du sie mit Wasser aus, so ist die Füllhöhe \( h \) in allen Röhren gleich groß, obwohl man eher denken würde, dass wegen der unterschiedlichen Form der Röhren unterschiedliche Menge Wasser drin ist und in jeder Röhre die dortige Wassermenge unterschiedlich stark nach unten drückt, sodass in dünneren Röhren die Füllhöhe größer sein sollte. Dieser Sachverhalt wird als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet.
In Wirklichkeit ist die Füllhöhe unabhängig von der Form der Röhre, wie die Formel für den Schweredruck preisgibt: $$h ~=~ \frac{\Pi}{\rho \, g}$$
Übungen mit Lösungen
Nutze diese Formelsammlung, wenn du Probleme mit Physikaufgaben hast.Aufgabe #1: Größe vom Heißluftballon zum Aufsteigen
Ein Heißluftballon besitzt ein Gesamtgewicht von \( m = 400 \, \mathrm{kg}\). Das Innere des Ballons ist mit Luft gefüllt. Die Luft hat die Temperatur \(T = 30^{\circ}\mathrm{C}\).
Welchen Radius \(r\) muss ein Heißluftballon besitzen, damit dieser bei \(10^{\circ} \mathrm{C}\) aufsteigen kann?
Die Luftdichte \(\rho_{\text T}\) für die entsprechende Temperatur \(T\) (unter Normaldruck) ist in der folgenden Tabelle gegeben.
| Temperatur \(T\) in \(^{\circ}\text{C}\) | Dichte \( \rho_{\text T} \) in \(\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\) |
|---|---|
| 30 | 1.1644 |
| 20 | 1.2041 |
| 10 | 1.2466 |
| 5 | 1.2690 |
| 0 | 1.2920 |
Lösung zur Aufgabe #1
Damit der Heißluftballon aufsteigen kann, muss auf ihn einwirkende Fallkraft \(m\,g\) durch die Auftriebskraft \(\rho \, V \, g\) kompensiert werden. Zur Gewichtskraft muss noch neben der Masse \(m\) des Heißluftballons, auch noch die Masse der Luft \(m_{\text L}\) berücksichtigt werden, die sich im Ballon befindet. Es muss also gelten: 1 \[ m \, g ~+~ m_{\text L} \, g ~=~ \rho_{10} \, V \, g \]
Die Fallbeschleunigung \(g\) kürzt sich in 1
weg:
2
\[ m ~+~ m_{\text L} ~=~ \rho_{10}\, V \]
Dabei ist \( \rho_{10} \) die Dichte der Luft bei \(10^{\circ} \, \text{C}\), die der Tabelle aus dem Lösungshinweis entnommen wurde. Und \( V \) ist das Volumen der vom Heißluftballon verdrängten Luft, also genau das Volumen des Ballons. Das Volumen der Gondel kann hier vernachlässigt werden.
Da die Masse \(m_{\text L}\) der Luft im Inneren des Ballons nicht bekannt ist, wird sie mithilfe der bekannten Dichte \(\rho_{30}\) (bei 30 Grad Celsius) ausgedrückt: \( m_{\text L} ~=~ \rho_{30}\, V \): 3 \[ m ~+~ \rho_{30} \, V ~=~ \rho_{10} \, V \]
Das Volumen \(V\) muss mit dem gesuchten Radius \(r\) des Heißluftballons ausgedrückt werden. Es wird angenommen, dass der Ballon näherungsweise kugelförmig ist. Dann beträgt das Volumen: \( V ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \). Einsetzen in 3
:
4
\[ m ~+~ \rho_{30} \, \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 ~=~ \rho_{10} \, \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \]
Forme Gleichung 4
nach dem Radius um:
5
\[ r ~=~ \sqrt[3]{ \frac{3m}{4\pi (\rho_{10} - \rho_{30} )} } \]
Die Dichte der Luft bei 10 Grad beträgt laut der Tabelle im Lösungshinweis \( \rho_{10} ~=~ 1.2466 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \). Und bei 30 Grad: \( \rho_{30} ~=~ 1.644 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \). Einsetzen der gegebenen Werte in 5
ergibt den Radius:
6
\[ r ~=~ \sqrt[3]{ \frac{ 3 ~\cdot~ 400 \, \text{kg} }{4\pi \left( 1.2466 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} ~-~ 1.644 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \right) }} ~=~ 10.51 \, \text{m} \]