Alexander Fufaev
Ich heiße Alexander FufaeV und hier erkläre ich das folgende Thema:

Coulomb-Gesetz mittels 1. Maxwell-Gleichung

Im Folgenden wird das Coulomb-Gesetz aus der 1. Maxwell-Gleichung für elektrostatische elektrische Felder unter zuhilfenahme des Gauß-Integraltheorems hergeleitet.

Divergenz-Integraltheorem
Gauß-Integraltheorem veranschaulicht.

Das folgende Gauß-Integraltheorem funktioniert sowohl für bewegte als auch unbewegte Ladungen:

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Das folgende Coulomb-Gesetz (mit einer im Koordinatenursprung platzierten Punktladung \( Q \)) funktioniert nur für unbewegte (stationäre) Ladungen, oder für Ladungen, die sich sehr sehr langsam bewegen:

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Streng genommen lässt sich das Coulomb-Gesetz 2 nur dann aus dem Gauß-Integraltheorem 1 herleiten, wenn zusätzlich eine sphärische Symmetrie des elektrischen Feldes \( \boldsymbol{E} \) einer Punktladung angenommen wird.

Die Divergenz des E-Feldes auf der rechten Seite des Gauß-Integraltheorems 1, lässt sich mit der ersten Maxwell-Gleichung in differentieller Form \(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0}\) umschreiben:

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Das Integral der Ladungsdichte \( \rho \) über das Volumen \( V \) in 3 ergibt die gesamte, von diesem Volumen eingeschlossene Ladung \( Q \), denn Ladungsdichte ist definiert als Ladung pro Volumen \( \rho = Q / V \). Gleichung 3 verwandelt sich also zu:

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Um das Flächenintegral auf der linken Seite von 4 zu berechnen, muss zuerst das Skalarprodukt \( \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \) berechnet werden. Dazu wird angenommen, dass das elektrische Feld \( \boldsymbol{E} \) an jedem Punkt der Oberfläche \( A \) konstant ist. Dies ist gewährleistet, wenn eine radiale Symmetrie des elektrischen Feldes angenommen wird. Dann zeigt das elektrische Feld stets radial nach außen.

fufaev.org Gedachte Kugeloberfläche um eine Punktladung
Eine von einer gedachten Kugel eingeschlossene Punktladung. Der E-Feldvektor auf der Kugeloberfläche ist parallel zum Flächenelement.

Die Richtung des E-Feldes wird durch den radialen Einheitsvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_{\text r} \) in Kugelkoordinaten repräsentiert: \( \boldsymbol{E} ~=~ E \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\text r} \). Hierbei ist \( E := |\boldsymbol{E}| \) der Betrag des Feldvektors \( \boldsymbol{E} \).

Als nächstes rechnen wir das Skalarprodukt des E-Feldvektors mit dem infinitesimalen Flächenelement \( \text{d}\boldsymbol{a} \) aus:

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Beim zweiten Schritt haben wir ausgenutzt, dass das Flächenelement \( \text{d}\boldsymbol{a} = \text{d}a \, \hat{\boldsymbol{a}} \) ebenfalls senkrecht auf einer radial symmetrischen Oberfläche steht und damit der Orthonormalenvektor \( \hat{\boldsymbol{a}} = \boldsymbol{\hat{e}}_{\text r} \) des Flächenelements parallel zum elektrischen Feld verläuft.

Setzen wir 5 in 4 ein und ziehen den konstanten Betrag \( E \) des elektrischen Feldes vor das Integral:

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Das Flächenintegral in 6 entspricht - wegen der Kugelsymmetrie - dem Flächeninhalt einer Kugeloberfläche und beträgt damit \( A ~=~ 4\pi \, r^2 \):

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Der Betrag \(E\) des elektrischen Feldes ist definiert als (elektrische) Kraft \(F_{\text e}\) pro Ladung \(q\): \(E ~=~ \frac{}{q}\). Anders gesagt: Wird eine kleine Ladung \(q\) (klein, damit sie nicht zu stark das Feld \( E \) mit seinem eigenen E-Feld stört) irgendwo an einem Ort platziert, wo das elektrische Feld \(E\) herrscht. Dann erfährt diese Ladung eine elektrische Kraft \( F_{\text e} \).

Setze den E-Feld-Betrag in Gl. 7 ein:

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Stelle Gl. 8 nach der elektrischen Kraft um. Dann bekommst Du das gesuchte Coulomb-Gesetz, also den Betrag der elektrischen Kraft für eine Punktladung \( q \) in einem elektrischen Feld, das von einer anderen Ladung \( Q \) verursacht wird:

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Zusammen mit dem radialen Einheitsvektor \(\boldsymbol{\hat{e}}_{\text r}\) kannst du das Coulomb-Gesetz als Vektorgleichung schreiben:

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